Biên độ tán xạ (Scattering Amplitude)

Định nghĩa:

Xét một hạt tới với động lượng $k_i$ tương tác với một thế năng. Sau tương tác, hạt bị tán xạ với động lượng $k_f$. Biên độ tán xạ, ký hiệu là $f(\theta, \phi)$, liên hệ sóng tới và sóng tán xạ ở khoảng cách xa nguồn tán xạ. Cụ thể hơn, tại khoảng cách rất xa so với vùng tương tác, hàm sóng tán xạ $\psi(r)$ có dạng tiệm cận:

$\psi(r) \approx e^{ik_i z} + f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r}$

Trong đó:

• $e^{ik_i z}$ đại diện cho sóng phẳng tới dọc theo trục z.
• $f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r}$ đại diện cho sóng cầu tán xạ, với $(\theta, \phi)$ là các góc cầu xác định hướng tán xạ.
• $r$ là khoảng cách từ tâm tán xạ đến điểm quan sát.
• $k = |k_i| = |k_f|$ là độ lớn của vectơ sóng (trong trường hợp tán xạ đàn hồi, năng lượng được bảo toàn).

Ý nghĩa Vật lý

Biên độ tán xạ $f(\theta, \phi)$ mang thông tin về xác suất hạt bị tán xạ theo hướng $(\theta, \phi)$. Cụ thể, tiết diện vi phân, một đại lượng đo lường xác suất tán xạ vào một góc đặc, được cho bởi:

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, \phi)|^2$

Trong đó:

• $d\sigma$ là tiết diện tán xạ vào góc đặc $d\Omega$.
• $d\Omega = \sin\theta d\theta d\phi$ là góc đặc.

Tính toán Biên độ Tán xạ

Việc tính toán biên độ tán xạ phụ thuộc vào bản chất của tương tác. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

• Phương pháp sóng riêng phần: Biểu diễn hàm sóng tán xạ dưới dạng tổng của các sóng riêng phần và sử dụng điều kiện biên để xác định hệ số của các sóng riêng phần, từ đó tính toán biên độ tán xạ. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả cho các thế đối xứng cầu.
• Phương pháp Born: Một phương pháp xấp xỉ được sử dụng khi thế năng tán xạ yếu. Xấp xỉ Born cho phép tính toán biên độ tán xạ một cách trực tiếp từ thế năng.
• Phương pháp T-ma trận: Một phương pháp tổng quát hơn, liên hệ sóng tới và sóng tán xạ thông qua ma trận T. Ma trận T chứa đựng toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ.

Ứng dụng

Biên độ tán xạ có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, bao gồm:

• Vật lý hạt nhân: Nghiên cứu cấu trúc hạt nhân thông qua tán xạ hạt nhân.
• Vật lý nguyên tử và phân tử: Nghiên cứu tương tác giữa các nguyên tử và phân tử.
• Vật lý vật chất ngưng tụ: Nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng tán xạ neutron hay X-quang.
• Quang học: Nghiên cứu tán xạ ánh sáng.
• Thiết kế vật liệu: Tìm kiếm, chế tạo các loại vật liệu mới.

Tóm lại, biên độ tán xạ là một đại lượng cơ bản trong vật lý tán xạ, cung cấp thông tin về xác suất tán xạ và cho phép chúng ta hiểu sâu hơn về tương tác giữa các hạt và các hệ vật lý.

Liên hệ giữa Biên độ Tán xạ và Thế năng

Biên độ tán xạ chứa đựng toàn bộ thông tin về thế năng tán xạ. Trong khuôn khổ của xấp xỉ Born, biên độ tán xạ có thể được biểu diễn dưới dạng biến đổi Fourier của thế năng $V(\textbf{r})$:

$f(\theta, \phi) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2} \int e^{i\textbf{q}\cdot\textbf{r}} V(\textbf{r}) d^3r$

Trong đó:

• $m$ là khối lượng của hạt bị tán xạ.
• $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn.
• $\textbf{q} = \textbf{k}_f – \textbf{k}_i$ là vectơ truyền động lượng, với $q = 2k\sin(\theta/2)$ (trong trường hợp tán xạ đàn hồi).

Công thức này cho thấy biên độ tán xạ và thế năng liên hệ với nhau thông qua biến đổi Fourier. Bằng cách đo biên độ tán xạ ở các góc khác nhau, ta có thể tái tạo lại thông tin về thế năng tán xạ.

Biên độ Tán xạ trong Cơ học Lượng tử

Trong cơ học lượng tử, biên độ tán xạ được tính toán bằng cách sử dụng phương trình Schrödinger. Đối với thế năng $V(\textbf{r})$, biên độ tán xạ có thể được biểu diễn thông qua toán tử T:

$f(\theta, \phi) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2} \langle \textbf{k}_f | T | \textbf{k}_i \rangle$

Trong đó:

• $|\textbf{k}_i\rangle$ và $|\textbf{k}_f\rangle$ là các trạng thái động lượng của hạt trước và sau khi tán xạ.
• $T$ là toán tử T, liên hệ với thế năng $V$ thông qua phương trình Lippmann-Schwinger: $T = V + V G_0 T$, với $G_0$ là hàm Green của hạt tự do.

Ví dụ

Một ví dụ đơn giản là tán xạ Rutherford, trong đó một hạt alpha được tán xạ bởi một hạt nhân nặng. Biên độ tán xạ trong trường hợp này (trong xấp xỉ Born) được cho bởi:

$f(\theta) = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{16 \pi \epsilon_0 E \sin^2(\theta/2)}$

Trong đó:

• $Z_1$ và $Z_2$ là số nguyên tử của hạt alpha và hạt nhân.
• $e$ là điện tích cơ bản.
• $E$ là năng lượng của hạt alpha.
• $\theta$ là góc tán xạ.
• $\epsilon_0$ là hằng số điện môi của chân không.

• J.J. Sakurai, “Modern Quantum Mechanics”, Addison-Wesley (1994).
• R.G. Newton, “Scattering Theory of Waves and Particles”, Springer (1982).
• D. Griffiths, “Introduction to Quantum Mechanics”, Pearson (2005).
• N. Zettili, “Quantum Mechanics: Concepts and Applications”, Wiley (2009).

Câu hỏi và Giải đáp

Câu 1: Làm thế nào để tính toán biên độ tán xạ cho một thế năng phức tạp, không thể giải tích bằng các phương pháp đơn giản như phương pháp Born?

Trả lời: Đối với các thế năng phức tạp, ta thường sử dụng các phương pháp số để tính toán biên độ tán xạ. Ví dụ, phương pháp sai phân hữu hạn hoặc phương pháp phần tử hữu hạn có thể được sử dụng để giải phương trình Schrödinger và tìm hàm sóng tán xạ. Từ hàm sóng này, ta có thể trích xuất biên độ tán xạ. Ngoài ra, các phương pháp xấp xỉ khác như phương pháp DWBA (Distorted Wave Born Approximation) cũng có thể được áp dụng.

Câu 2: Vai trò của pha của biên độ tán xạ là gì? Liệu chỉ có module của biên độ tán xạ ($|f(\theta, \phi)|$) là đủ để mô tả quá trình tán xạ hay không?

Trả lời: Pha của biên độ tán xạ rất quan trọng vì nó chứa thông tin về sự giao thoa giữa các sóng tán xạ. Trong các thí nghiệm tán xạ, sự giao thoa này có thể dẫn đến các hiệu ứng quan sát được, ví dụ như các vân giao thoa. Chỉ có module của biên độ tán xạ là không đủ để mô tả đầy đủ quá trình tán xạ, vì nó chỉ cho biết xác suất tán xạ theo một hướng nhất định mà không chứa thông tin về pha.

Câu 3: Định lý quang học nói gì về biên độ tán xạ tiến ($f(0)$)?

Trả lời: Định lý quang học thiết lập mối liên hệ giữa phần ảo của biên độ tán xạ tiến $f(0)$ và tổng tiết diện tán xạ $\sigma_t$:

$Im[f(0)] = \frac{k}{4\pi} \sigma_t$

Trong đó $k$ là số sóng. Định lý này thể hiện sự bảo toàn xác suất trong quá trình tán xạ.

Câu 4: Biên độ tán xạ có liên hệ như thế nào với ma trận S trong lý thuyết tán xạ?

Trả lời: Ma trận S (Scattering matrix) chứa đựng toàn bộ thông tin về quá trình tán xạ. Biên độ tán xạ có thể được rút ra từ các phần tử của ma trận S. Cụ thể, biên độ tán xạ từ trạng thái ban đầu $|i\rangle$ sang trạng thái cuối cùng $|f\rangle$ được cho bởi:

$f_{fi} propto \langle f |S – 1| i \rangle$

Trong đó, $S-1$ được gọi là ma trận chuyển tiếp T.

Câu 5: Làm thế nào để đo biên độ tán xạ trong thực nghiệm?

Trả lời: Trong thực nghiệm, ta không đo trực tiếp biên độ tán xạ mà đo tiết diện vi phân tán xạ $\frac{d\sigma}{d\Omega}$. Bằng cách đo cường độ của chùm hạt tán xạ theo các góc khác nhau, ta có thể xác định tiết diện vi phân. Từ tiết diện vi phân, ta có thể suy ra module của biên độ tán xạ: $|f(\theta, \phi)| = \sqrt{\frac{d\sigma}{d\Omega}}$. Để xác định pha của biên độ tán xạ, cần phải thực hiện các phép đo giao thoa phức tạp hơn.