Biến đổi Fourier (Fourier transform)

Biến đổi Fourier liên tục

Đối với một hàm số liên tục $f(t)$, biến đổi Fourier của nó, ký hiệu là $F(\omega)$ hoặc $\hat{f}(\omega)$, được định nghĩa bởi:

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$

trong đó:

• $t$ là biến độc lập trong miền thời gian (ví dụ: thời gian).
• $\omega = 2\pi f$ là tần số góc, với $f$ là tần số.
• $i$ là đơn vị ảo ($i^2 = -1$).
• $e^{-i\omega t}$ là hàm mũ phức, đại diện cho một dao động phức với tần số góc $\omega$.

Biến đổi ngược Fourier, dùng để khôi phục hàm gốc $f(t)$ từ $F(\omega)$, được cho bởi:

$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega$

Ý nghĩa của biến đổi Fourier: $F(\omega)$ biểu diễn biên độ và pha của mỗi thành phần tần số $\omega$ có trong hàm $f(t)$. Giá trị tuyệt đối $|F(\omega)|$ thể hiện biên độ của thành phần tần số $\omega$, trong khi argument của $F(\omega)$ (là $\arg(F(\omega))$) thể hiện pha của thành phần tần số đó. Nói cách khác, biến đổi Fourier phân tích hàm $f(t)$ thành một tổng vô hạn các dao động phức với các tần số khác nhau.

Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)

Trong thực tế, ta thường làm việc với dữ liệu rời rạc. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) được sử dụng để phân tích các chuỗi số hữu hạn. Cho một chuỗi $x[n]$ với $N$ mẫu, DFT của nó $X[k]$ được định nghĩa là:

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i\frac{2\pi}{N} kn}$

với $k = 0, 1, …, N-1$.

Biến đổi ngược DFT được cho bởi:

$x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i\frac{2\pi}{N} kn}$

Mối quan hệ giữa DFT và biến đổi Fourier liên tục: DFT có thể được xem như là một phép xấp xỉ của biến đổi Fourier liên tục cho các tín hiệu rời rạc và hữu hạn.

Ứng dụng

Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật, bao gồm:

• Xử lý tín hiệu: Phân tích phổ tần số, lọc tín hiệu, nén dữ liệu âm thanh và hình ảnh.
• Xử lý ảnh: Nén ảnh, lọc nhiễu, nhận dạng mẫu.
• Giải phương trình vi phân: Biến đổi Fourier có thể đơn giản hóa việc giải một số phương trình vi phân.
• Viễn thông: Điều chế và giải điều chế tín hiệu.
• Y học: Chụp cộng hưởng từ (MRI), chụp cắt lớp điện toán (CT).

Ý nghĩa vật lý

Biến đổi Fourier cho ta biết mức độ đóng góp của mỗi thành phần tần số trong một hàm số. $|F(\omega)|$ đại diện cho biên độ của thành phần tần số $\omega$, trong khi $\arg(F(\omega))$ đại diện cho pha của nó. Phân tích phổ: Biểu đồ của $|F(\omega)|$ theo $\omega$ được gọi là phổ biên độ và cung cấp thông tin về cường độ của mỗi thành phần tần số. Biểu đồ của $\arg(F(\omega))$ theo $\omega$ được gọi là phổ pha.

Một số tính chất quan trọng

• Tuyến tính: Biến đổi Fourier của tổng hai hàm số bằng tổng biến đổi Fourier của từng hàm số. Điều này có nghĩa là nếu $f(t)$ và $g(t)$ là hai hàm số và $a$ và $b$ là hai hằng số thì $\mathcal{F}{af(t) + bg(t)} = a\mathcal{F}{f(t)} + b\mathcal{F}{g(t)}$, trong đó $\mathcal{F}$ biểu thị phép biến đổi Fourier.
• Dịch chuyển thời gian: Dịch chuyển hàm số trong miền thời gian tương ứng với nhân với một hàm mũ phức trong miền tần số. Cụ thể, $\mathcal{F}{f(t-t_0)} = F(\omega)e^{-i\omega t_0}$.
• Co giãn thời gian: Co giãn hàm số trong miền thời gian tương ứng với giãn nở và chia tỉ lệ trong miền tần số. Cụ thể, $\mathcal{F}{f(at)} = \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a})$.

Biến đổi Fourier nhanh (FFT)

Tính toán DFT trực tiếp theo công thức có độ phức tạp $O(N^2)$. Biến đổi Fourier nhanh (FFT) là một thuật toán hiệu quả để tính DFT với độ phức tạp $O(N \log N)$. FFT tận dụng tính đối xứng và tính tuần hoàn của hàm mũ phức để giảm số lượng phép tính. Có nhiều thuật toán FFT khác nhau, phổ biến nhất là thuật toán Cooley-Tukey. FFT đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng xử lý tín hiệu thời gian thực.

Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT)

Biến đổi Fourier cung cấp thông tin về thành phần tần số của toàn bộ tín hiệu. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, ta cần phân tích sự thay đổi của tần số theo thời gian. Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) được sử dụng để phân tích các tín hiệu không dừng, tức là tín hiệu có tần số thay đổi theo thời gian. STFT chia tín hiệu thành các đoạn nhỏ và tính biến đổi Fourier cho từng đoạn. Kết quả là một biểu diễn hai chiều của tín hiệu, theo cả thời gian và tần số.

STFT của một tín hiệu $x(t)$ được định nghĩa là:

$STFT(t, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) w(\tau – t) e^{-i\omega \tau} d\tau$

trong đó $w(t)$ là một hàm cửa sổ (ví dụ: hàm Gaussian, hàm Hamming). Hàm cửa sổ giới hạn tín hiệu trong một khoảng thời gian nhỏ xung quanh thời điểm $t$. Nhược điểm của STFT: STFT có một hạn chế là độ phân giải thời gian và tần số cố định. Một cửa sổ hẹp cho độ phân giải thời gian tốt nhưng độ phân giải tần số kém, và ngược lại.

Biến đổi Fourier phân số (FRFT)

Biến đổi Fourier phân số (FRFT) là một khái quát của biến đổi Fourier. Nó xoay miền thời gian-tần số của một tín hiệu theo một góc tùy ý. FRFT có ứng dụng trong xử lý tín hiệu chirp, phân tích thời gian-tần số, và quang học.

Mối quan hệ với các biến đổi khác

Biến đổi Fourier có liên hệ chặt chẽ với các biến đổi khác như biến đổi Laplace, biến đổi Z, và biến đổi wavelet. Biến đổi Laplace là một khái quát của biến đổi Fourier cho các tín hiệu phức. Biến đổi Z là phiên bản rời rạc của biến đổi Laplace. Biến đổi wavelet cung cấp một biểu diễn thời gian-tần số linh hoạt hơn so với STFT, cho phép phân tích tín hiệu ở các độ phân giải thời gian và tần số khác nhau. Biến đổi wavelet khắc phục được nhược điểm của STFT bằng cách sử dụng cửa sổ có kích thước thay đổi, cho phép độ phân giải thời gian cao ở tần số cao và độ phân giải tần số cao ở tần số thấp.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa biến đổi Fourier liên tục và biến đổi Fourier rời rạc là gì?

Trả lời: Biến đổi Fourier liên tục hoạt động trên các hàm liên tục được định nghĩa trên toàn bộ trục số thực, trong khi biến đổi Fourier rời rạc hoạt động trên các chuỗi rời rạc, hữu hạn. Điều này có nghĩa là tích phân trong biến đổi Fourier liên tục được thay thế bằng tổng hữu hạn trong biến đổi Fourier rời rạc. Về mặt ứng dụng, biến đổi Fourier liên tục thường được sử dụng trong phân tích lý thuyết, trong khi biến đổi Fourier rời rạc được sử dụng cho dữ liệu thực tế trên máy tính.

Tại sao biến đổi Fourier nhanh (FFT) lại quan trọng trong xử lý tín hiệu?

Trả lời: FFT là một thuật toán tối ưu hóa việc tính toán DFT, giảm độ phức tạp từ $O(N^2)$ xuống $O(Nlog N)$. Điều này cho phép tính toán DFT nhanh hơn rất nhiều, đặc biệt là với dữ liệu lớn, mở ra khả năng xử lý tín hiệu thời gian thực trong nhiều ứng dụng như viễn thông, âm thanh và xử lý hình ảnh.

Hàm cửa sổ trong STFT có vai trò gì? Cho ví dụ về một số hàm cửa sổ thường được sử dụng.

Trả lời: Hàm cửa sổ trong STFT được sử dụng để khoanh vùng tín hiệu trong một khoảng thời gian ngắn. Việc này giúp giảm thiểu hiện tượng rò rỉ phổ và cải thiện độ phân giải thời gian. Một số hàm cửa sổ thường được sử dụng bao gồm hàm rectangular, hàm Hamming, hàm Hanning, và hàm Gaussian. Mỗi hàm cửa sổ có những đặc điểm riêng và ảnh hưởng khác nhau đến kết quả STFT.

Biến đổi Fourier được ứng dụng như thế nào trong xử lý ảnh?

Trả lời: Trong xử lý ảnh, biến đổi Fourier được sử dụng để phân tích và thao tác hình ảnh trong miền tần số. Một số ứng dụng bao gồm: nén ảnh (JPEG), lọc nhiễu, nâng cao độ nét, phân đoạn ảnh và nhận dạng mẫu. Ví dụ, trong nén JPEG, DFT được sử dụng để loại bỏ các thành phần tần số cao, ít quan trọng hơn đối với nhận thức thị giác, từ đó giảm kích thước tệp ảnh.

Làm thế nào để giải thích ý nghĩa vật lý của biên độ và pha của biến đổi Fourier?

Trả lời: Biên độ $|F(\omega)|$ của biến đổi Fourier tại tần số $\omega$ thể hiện cường độ của thành phần tần số đó trong tín hiệu gốc. Pha $arg(F(\omega))$ thể hiện sự dịch chuyển pha của thành phần tần số đó so với gốc thời gian. Nói cách khác, biên độ cho biết “mức độ mạnh yếu” của mỗi tần số, trong khi pha cho biết “vị trí” của mỗi tần số trong tín hiệu. Cả biên độ và pha đều cần thiết để tái tạo lại tín hiệu gốc một cách hoàn chỉnh.