Biến đổi Galileo (Galilean transformation)

Biến đổi Galileo là một tập hợp các phương trình mô tả mối quan hệ giữa tọa độ và thời gian của một sự kiện được quan sát từ hai hệ quy chiếu quán tính chuyển động tịnh tiến đều so với nhau với vận tốc không đổi. Nó là một phần của cơ học cổ điển và được đặt tên theo Galileo Galilei. Biến đổi này hoạt động tốt trong phạm vi vận tốc nhỏ so với tốc độ ánh sáng, nhưng không còn chính xác ở vận tốc cao, khi cần sử dụng biến đổi Lorentz của thuyết tương đối hẹp.

Giả thiết:

Có hai hệ quy chiếu quán tính: $S$ và $S’$.
Hệ $S’$ chuyển động với vận tốc không đổi $\mathbf{v}$ dọc theo trục $x$ của hệ $S$. Ta có thể tổng quát hóa cho trường hợp $\mathbf{v}$ là một vector bất kỳ, nhưng để đơn giản, thường xét trường hợp này.
Tại thời điểm $t=0$, gốc tọa độ của hai hệ trùng nhau.
Thời gian là tuyệt đối, nghĩa là thời gian trôi qua giống nhau trong cả hai hệ quy chiếu. Đây là một giả thiết quan trọng của cơ học cổ điển, khác với thuyết tương đối.

Công thức biến đổi

Tọa độ $(x, y, z)$ và thời gian $t$ của một sự kiện trong hệ $S$ liên hệ với tọa độ $(x’, y’, z’)$ và thời gian $t’$ của cùng sự kiện đó trong hệ $S’$ theo các công thức sau:

$x’ = x – vt$
$y’ = y$
$z’ = z$
$t’ = t$

Trong đó:

$x, y, z$ là tọa độ của sự kiện trong hệ $S$.
$x’, y’, z’$ là tọa độ của sự kiện trong hệ $S’$.
$t$ là thời gian của sự kiện trong hệ $S$.
$t’$ là thời gian của sự kiện trong hệ $S’$.
$v$ là vận tốc của hệ $S’$ so với hệ $S$ dọc theo trục $x$.

Biến đổi ngược:

Để chuyển từ tọa độ trong hệ $S’$ sang hệ $S$, ta dùng các công thức sau:

$x = x’ + vt’$
$y = y’$
$z = z’$
$t = t’$

Ý nghĩa và ứng dụng

Biến đổi Galileo cho phép ta chuyển đổi các đại lượng vật lý, chẳng hạn như vị trí, vận tốc và gia tốc, giữa các hệ quy chiếu quán tính khác nhau. Ví dụ, biết được vận tốc của một vật trong hệ $S$, ta có thể tính được vận tốc của vật đó trong hệ $S’$ đang chuyển động so với $S$.
Nó là nền tảng cho cơ học Newton và được sử dụng rộng rãi trong các bài toán cơ học cổ điển. Nhiều định luật vật lý được phát biểu dưới dạng bất biến khi biến đổi Galileo, ví dụ như định luật II Newton.
Biến đổi Galileo chỉ chính xác trong giới hạn vận tốc nhỏ so với tốc độ ánh sáng ($c$). Đối với vận tốc lớn, cần sử dụng biến đổi Lorentz của thuyết tương đối hẹp. Sự khác biệt giữa biến đổi Galileo và Lorentz trở nên đáng kể khi vận tốc của vật thể tiệm cận tốc độ ánh sáng.

Hạn chế

Biến đổi Galileo không còn chính xác khi vận tốc của các vật thể tiếp cận tốc độ ánh sáng. Trong trường hợp này, phải sử dụng biến đổi Lorentz của thuyết tương đối hẹp. Điều này xuất phát từ việc giả thiết thời gian tuyệt đối của biến đổi Galileo không còn đúng trong thuyết tương đối.
Nó không tương thích với các nguyên lý của điện từ học. Các phương trình Maxwell, miêu tả các hiện tượng điện từ, không bất biến dưới biến đổi Galileo.

Ví dụ

Một đoàn tàu chạy với vận tốc 20 m/s so với mặt đất. Một người trên tàu đi bộ với vận tốc 2 m/s theo hướng chuyển động của tàu. Vận tốc của người đó so với mặt đất là bao nhiêu?

Hệ $S$: Mặt đất
Hệ $S’$: Đoàn tàu
$v = 20$ m/s (vận tốc của tàu so với mặt đất)
$u’ = 2$ m/s (vận tốc của người so với tàu)

Vận tốc của người so với mặt đất ($u$) được tính theo công thức cộng vận tốc Galileo:

$u = u’ + v = 2 + 20 = 22$ m/s.

Biến đổi vận tốc Galileo

Ngoài biến đổi tọa độ và thời gian, biến đổi Galileo còn cho phép chuyển đổi vận tốc giữa hai hệ quy chiếu. Nếu một vật có vận tốc $\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z)$ trong hệ $S$ và vận tốc $\mathbf{u’} = (u’_x, u’_y, u’_z)$ trong hệ $S’$, thì mối quan hệ giữa chúng là:

$u’_x = u_x – v$
$u’_y = u_y$
$u’_z = u_z$

Và ngược lại:

$u_x = u’_x + v$
$u_y = u’_y$
$u_z = u_z$

Biến đổi gia tốc Galileo

Gia tốc của một vật thể là đạo hàm của vận tốc theo thời gian. Vì thời gian là tuyệt đối trong biến đổi Galileo ($t = t’$), nên đạo hàm theo thời gian trong hai hệ quy chiếu là như nhau. Do đó, gia tốc của vật trong hai hệ quy chiếu là bằng nhau:

$\mathbf{a’} = \frac{d\mathbf{u’}}{dt’} = \frac{d\mathbf{u’}}{dt} = \frac{d}{dt}(\mathbf{u} – \mathbf{v}) = \frac{d\mathbf{u}}{dt} = \mathbf{a}$

Điều này có nghĩa là định luật II Newton ($F = ma$) có dạng giống nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính.

Liên hệ với nguyên lý tương đối Galileo

Nguyên lý tương đối Galileo phát biểu rằng các định luật cơ học là như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Biến đổi Galileo là biểu thức toán học của nguyên lý này. Vì các phương trình chuyển động có dạng giống nhau trong tất cả các hệ quy chiếu liên hệ với nhau bằng biến đổi Galileo, nên không thể thực hiện một thí nghiệm cơ học nào để phân biệt giữa các hệ quy chiếu quán tính.

Sự thay thế bởi biến đổi Lorentz

Như đã đề cập trước đó, biến đổi Galileo chỉ là một xấp xỉ chính xác khi vận tốc tương đối giữa các hệ quy chiếu nhỏ so với tốc độ ánh sáng. Khi vận tốc này trở nên đáng kể, cần phải sử dụng biến đổi Lorentz của thuyết tương đối hẹp. Biến đổi Lorentz bảo toàn tốc độ ánh sáng là hằng số trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính, một điều mà biến đổi Galileo không làm được.

Tóm tắt về Biến đổi Galileo

Biến đổi Galileo cung cấp một cách để liên hệ tọa độ và thời gian của một sự kiện được quan sát từ hai hệ quy chiếu quán tính chuyển động tương đối với nhau với vận tốc không đổi. Các phương trình biến đổi giả định thời gian là tuyệt đối và không đổi giữa các hệ quy chiếu, một giả định chỉ đúng với vận tốc nhỏ so với tốc độ ánh sáng.

Các công thức biến đổi cốt lõi liên hệ vị trí và thời gian là: $x’ = x – vt$, $y’ = y$, $z’ = z$, và $t’ = t$. Ở đây, $(x, y, z, t)$ đại diện cho tọa độ và thời gian trong một hệ quy chiếu, trong khi $(x’, y’, z’, t’)$ đại diện cho cùng một sự kiện được nhìn từ hệ quy chiếu chuyển động với vận tốc $v$ dọc theo trục x. Lưu ý rằng chỉ thành phần x của vị trí bị ảnh hưởng bởi chuyển động tương đối.

Từ các biến đổi vị trí và thời gian, chúng ta có thể suy ra các biến đổi cho vận tốc và gia tốc. Biến đổi vận tốc Galileo là $u’_x = u_x – v$, $u’_y = u_y$, và $u’_z = u_z$. Điều này có nghĩa là vận tốc trong hệ quy chiếu chuyển động đơn giản là hiệu của vận tốc trong hệ quy chiếu tĩnh và vận tốc tương đối giữa hai hệ quy chiếu. Điều quan trọng cần nhớ là gia tốc không đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính, tức là $a’ = a$.

Biến đổi Galileo là nền tảng của cơ học Newton và nguyên lý tương đối Galileo, khẳng định rằng các định luật vật lý là như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Tuy nhiên, điều quan trọng cần nhớ là biến đổi Galileo chỉ là một xấp xỉ, chỉ có giá trị khi vận tốc tương đối nhỏ so với tốc độ ánh sáng. Đối với vận tốc cao, cần sử dụng biến đổi Lorentz của thuyết tương đối hẹp. Biến đổi Lorentz tính đến tính chất không tuyệt đối của thời gian và cho kết quả chính xác hơn ở tốc độ cao.

Tài liệu tham khảo:

Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2018). Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons.
Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2014). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics. Cengage Learning.
Young, H. D., & Freedman, R. A. (2012). Sears and Zemansky’s University Physics with Modern Physics. Addison-Wesley.
Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (2011). The Feynman Lectures on Physics, Vol. I: Mainly Mechanics, Radiation, and Heat. Basic Books.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa biến đổi Galileo và biến đổi Lorentz là gì, và tại sao sự khác biệt này lại quan trọng?

Trả lời: Sự khác biệt chính nằm ở cách chúng xử lý thời gian. Biến đổi Galileo giả định thời gian là tuyệt đối, nghĩa là nó trôi qua như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu. Biến đổi Lorentz, mặt khác, thừa nhận rằng thời gian là tương đối và phụ thuộc vào chuyển động tương đối giữa các hệ quy chiếu. Sự khác biệt này rất quan trọng vì đối với vận tốc gần bằng tốc độ ánh sáng, giả định thời gian tuyệt đối của biến đổi Galileo không còn chính xác, trong khi biến đổi Lorentz vẫn giữ được tính chính xác.

Nếu một quả bóng được ném thẳng đứng lên trên với vận tốc $u’_y = 10 m/s$ từ một đoàn tàu đang chuyển động theo phương ngang với vận tốc $v = 20 m/s$, vận tốc của quả bóng đối với mặt đất là bao nhiêu?

Trả lời: Sử dụng biến đổi Galileo cho vận tốc, ta có $u_x = v = 20 m/s$ và $u_y = u’_y = 10 m/s$. Vận tốc của quả bóng đối với mặt đất là tổng hợp vector của hai thành phần này: $\mathbf{u} = (20, 10) m/s$. Độ lớn của vận tốc là $\sqrt{u_x^2 + u_y^2} = \sqrt{20^2 + 10^2} \approx 22.4 m/s$.

Tại sao gia tốc không đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính theo biến đổi Galileo?

Trả lời: Vì thời gian là tuyệt đối trong biến đổi Galileo ($t = t’$), đạo hàm của vận tốc theo thời gian là như nhau trong cả hai hệ quy chiếu. Do đó, gia tốc, là đạo hàm của vận tốc theo thời gian, cũng không đổi.

Làm thế nào nguyên lý tương đối Galileo liên quan đến biến đổi Galileo?

Trả lời: Biến đổi Galileo là biểu thức toán học của nguyên lý tương đối Galileo. Nguyên lý này phát biểu rằng các định luật vật lý là như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Biến đổi Galileo cho phép ta chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu này mà không làm thay đổi dạng của các định luật vật lý.

Hạn chế chính của biến đổi Galileo là gì?

Trả lời: Hạn chế chính là nó chỉ áp dụng cho vận tốc nhỏ so với tốc độ ánh sáng. Khi vận tốc tiếp cận tốc độ ánh sáng, biến đổi Galileo trở nên không chính xác và phải được thay thế bằng biến đổi Lorentz của thuyết tương đối hẹp. Một hạn chế khác là nó không tương thích với các định luật của điện từ học.

Một số điều thú vị về Biến đổi Galileo

Galileo không thực sự viết ra “Biến đổi Galileo”: Mặc dù được đặt theo tên ông, Galileo Galilei không chính thức đưa ra các phương trình biến đổi mà chúng ta sử dụng ngày nay. Khái niệm về tính tương đối của ông được thể hiện qua các ví dụ và thí nghiệm tư tưởng, nổi bật nhất là trong cuốn sách “Đối thoại về hai hệ thống thế giới chính”. Các phương trình chính thức được phát triển sau này, dựa trên công trình của ông.
Biến đổi Galileo là một trường hợp đặc biệt của biến đổi Lorentz: Khi vận tốc tương đối giữa các hệ quy chiếu tiến đến không, biến đổi Lorentz thu gọn về biến đổi Galileo. Điều này cho thấy cơ học cổ điển, dựa trên biến đổi Galileo, là một trường hợp đặc biệt của thuyết tương đối hẹp, áp dụng cho vận tốc thấp.
Biến đổi Galileo ngầm định thời gian tuyệt đối: Một trong những giả định cốt lõi của biến đổi Galileo là thời gian là tuyệt đối, nghĩa là nó trôi qua giống nhau trong tất cả các hệ quy chiếu. Thuyết tương đối hẹp đã chứng minh điều này là không đúng, cho thấy thời gian bị ảnh hưởng bởi chuyển động tương đối và trường hấp dẫn.
Không có “biến đổi Galileo” cho ánh sáng: Ánh sáng đặt ra một thách thức cho biến đổi Galileo. Vì tốc độ ánh sáng là hằng số trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính, việc cộng vận tốc Galileo sẽ dẫn đến kết quả không chính xác khi áp dụng cho ánh sáng. Đây là một trong những điểm bất thường dẫn đến sự phát triển của thuyết tương đối hẹp.
Biến đổi Galileo vẫn cực kỳ hữu ích: Mặc dù bị thay thế bởi biến đổi Lorentz trong các tình huống liên quan đến vận tốc cao, biến đổi Galileo vẫn là một công cụ cực kỳ hữu ích và được sử dụng rộng rãi trong vật lý cổ điển và kỹ thuật. Đối với hầu hết các tình huống hàng ngày, nơi vận tốc nhỏ so với tốc độ ánh sáng, biến đổi Galileo cung cấp độ chính xác đủ và đơn giản hơn nhiều so với biến đổi Lorentz. Ví dụ, nó được sử dụng trong cơ học Newton, động lực học chất lưu và nhiều ứng dụng kỹ thuật khác.
Biến đổi Galileo liên quan đến phép cộng vận tốc cổ điển: Bản chất của biến đổi vận tốc Galileo chính là phép cộng vận tốc cổ điển. Khi một vật chuyển động trong một hệ quy chiếu đang chuyển động, vận tốc của vật đối với hệ quy chiếu đứng yên được tính bằng cách cộng vectơ vận tốc của vật trong hệ quy chiếu chuyển động và vận tốc của hệ quy chiếu chuyển động.