Biến đổi Legendre (Legendre transformation)

Định nghĩa

Cho hàm $f(x)$, biến đổi Legendre của nó, ký hiệu là $g(p)$, được định nghĩa như sau:

$g(p) = px – f(x)$

trong đó $p$ là biến liên hợp của $x$ và được định nghĩa là đạo hàm của $f(x)$ theo $x$:

$p = \frac{df}{dx}$

Điều kiện cần thiết để biến đổi Legendre tồn tại và là duy nhất là hàm $f(x)$ phải là hàm lồi (convex) hoặc lõm (concave). Tính chất này đảm bảo rằng mối quan hệ giữa $x$ và $p$ là một-một. Ví dụ, nếu $f(x)$ là hàm lồi, thì $\frac{d^2f}{dx^2} > 0$.

Điều kiện áp dụng

Để biến đổi Legendre được xác định rõ ràng, hàm $f(x)$ phải là hàm lồi (convex) hoặc lõm (concave). Điều này đảm bảo rằng quan hệ giữa $x$ và $p$ là một-một, nghĩa là mỗi giá trị của $x$ tương ứng với một giá trị duy nhất của $p$ và ngược lại. Nói cách khác, đạo hàm $\frac{df}{dx}$ phải là đơn điệu (nghĩa là luôn tăng hoặc luôn giảm).

Cách thực hiện biến đổi Legendre

Để thực hiện biến đổi Legendre, ta làm theo các bước sau:

1. Tính đạo hàm của $f(x)$ theo $x$: $p = \frac{df}{dx}$.
2. Biểu diễn $x$ theo $p$ từ phương trình ở bước 1. Bước này yêu cầu đạo hàm $p = \frac{df}{dx}$ phải khả nghịch.
3. Thay biểu thức của $x$ theo $p$ vào định nghĩa của biến đổi Legendre: $g(p) = px – f(x)$.

Ví dụ

Xét hàm $f(x) = \frac{1}{2}ax^2$, với $a$ là hằng số và $a>0$ (đảm bảo hàm lồi).

1. Tính đạo hàm: $p = \frac{df}{dx} = ax$.
2. Biểu diễn $x$ theo $p$: $x = \frac{p}{a}$.
3. Thay vào định nghĩa biến đổi Legendre: $g(p) = p(\frac{p}{a}) – \frac{1}{2}a(\frac{p}{a})^2 = \frac{p^2}{2a}$.

Vậy, biến đổi Legendre của $f(x) = \frac{1}{2}ax^2$ là $g(p) = \frac{p^2}{2a}$.

Ứng dụng

Biến đổi Legendre có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, bao gồm:

• Nhiệt động lực học: Chuyển đổi giữa các thế nhiệt động lực học, ví dụ, từ nội năng ($U$) sang enthalpy ($H$), Helmholtz free energy ($F$) hoặc Gibbs free energy ($G$). Việc chuyển đổi này cho phép biểu diễn các đại lượng nhiệt động lực học theo các biến độc lập khác nhau, phù hợp với điều kiện của hệ thống đang xét (ví dụ, áp suất không đổi, thể tích không đổi, v.v.).
• Cơ học cổ điển: Chuyển đổi giữa Lagrangian và Hamiltonian. Lagrangian là hàm của tọa độ tổng quát và vận tốc tổng quát, trong khi Hamiltonian là hàm của tọa độ tổng quát và động lượng tổng quát. Sự chuyển đổi này giúp đơn giản hóa việc phân tích các hệ thống cơ học phức tạp.
• Lý thuyết tối ưu hóa: Giải quyết các bài toán tối ưu hóa bằng phương pháp đối ngẫu Lagrange. Biến đổi Legendre đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng hàm đối ngẫu Lagrange.

Biến đổi Legendre kép (Double Legendre Transformation)

Áp dụng biến đổi Legendre hai lần sẽ trả về hàm ban đầu, ngoại trừ một dấu trừ nếu hàm ban đầu là lõm. Điều này thể hiện tính chất đối xứng (involution) của biến đổi Legendre.

Tính chất của Biến đổi Legendre

Biến đổi Legendre có một số tính chất quan trọng, giúp cho việc áp dụng nó trở nên linh hoạt và hữu ích:

• Đối xứng (Involution): Như đã đề cập ở phần trước, áp dụng biến đổi Legendre hai lần sẽ trả về hàm ban đầu (với một dấu trừ nếu hàm ban đầu là lõm). Cụ thể, nếu $g(p)$ là biến đổi Legendre của $f(x)$, thì biến đổi Legendre của $g(p)$ sẽ là $f(x)$ (hoặc $-f(x)$).
• Đạo hàm: Đạo hàm của hàm biến đổi Legendre liên quan đến đạo hàm của hàm gốc. Cụ thể:
  • $\frac{dg}{dp} = x$
  • $\frac{d^2g}{dp^2} = \frac{dx}{dp} = \frac{1}{\frac{d^2f}{dx^2}}$

  Điều này cho thấy mối quan hệ nghịch đảo giữa độ cong của hàm gốc $f(x)$ và hàm biến đổi Legendre $g(p)$. Nếu $f(x)$ rất cong (đạo hàm bậc hai lớn), thì $g(p)$ sẽ ít cong (đạo hàm bậc hai nhỏ) và ngược lại.

• Tính tuyến tính: Biến đổi Legendre có tính chất tuyến tính đối với phép cộng. Nếu $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$, thì biến đổi Legendre của $f(x)$ là tổng của biến đổi Legendre của $f_1(x)$ và $f_2(x)$.

Mở rộng cho nhiều biến

Biến đổi Legendre có thể được mở rộng cho các hàm của nhiều biến. Ví dụ, cho hàm $f(x_1, x_2, …, x_n)$, biến đổi Legendre theo biến $x_i$ được định nghĩa là:

$g(p_i, x1, …, x{i-1}, x_{i+1}, …, x_n) = p_ix_i – f(x_1, x_2, …, x_n)$

với $p_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}$.

Ý nghĩa hình học

Biến đổi Legendre có thể được hiểu theo quan điểm hình học. Giá trị của $g(p)$ tại một điểm $p$ bằng với phần chặn trên trục tung của đường thẳng tiếp tuyến với đồ thị của $f(x)$ tại điểm có đạo hàm bằng $p$.

Ví dụ thêm về ứng dụng trong Nhiệt động lực học:

Nội năng $U(S,V)$ (với $S$ là entropy và $V$ là thể tích) có thể được biến đổi Legendre thành enthalpy $H(S,P)$ (với $P$ là áp suất) bằng cách biến đổi theo biến $V$:

$H(S,P) = PV + U(S,V)$

với $P = -\frac{\partial U}{\partial V}$. Lưu ý dấu trừ xuất hiện do quy ước trong nhiệt động lực học.

• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko. Classical Mechanics (3rd Edition). Addison-Wesley, 2001.
• R. K. Pathria. Statistical Mechanics (3rd Edition). Butterworth-Heinemann, 2011.
• Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker. Thermodynamics and Statistical Mechanics. Springer, 1995.

Câu hỏi và Giải đáp

Ngoài điều kiện lồi/lõm, còn điều kiện nào khác để đảm bảo biến đổi Legendre được xác định rõ ràng và duy nhất?

Trả lời: Ngoài tính lồi/lõm, hàm $f(x)$ cần phải khả vi liên tục trên miền xác định của nó. Điều này đảm bảo đạo hàm $p = \frac{df}{dx}$ tồn tại và liên tục, từ đó đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của biến đổi Legendre.

Làm thế nào để áp dụng biến đổi Legendre cho hàm không lồi/lõm?

Trả lời: Đối với hàm không lồi/lõm, biến đổi Legendre có thể không được xác định rõ ràng hoặc duy nhất. Tuy nhiên, ta có thể áp dụng biến đổi Legendre theo từng đoạn lồi/lõm của hàm. Mỗi đoạn lồi/lõm sẽ có một biến đổi Legendre riêng. Ngoài ra, có thể sử dụng các khái niệm mở rộng của biến đổi Legendre, ví dụ như biến đổi Fenchel, để xử lý các hàm không lồi.

Biến đổi Legendre có ý nghĩa vật lý như thế nào trong nhiệt động lực học?

Trả lời: Trong nhiệt động lực học, biến đổi Legendre thể hiện sự chuyển đổi giữa các đại lượng vật lý liên hợp. Ví dụ, biến đổi từ nội năng $U(S,V)$ sang enthalpy $H(S,P)$ thể hiện sự thay đổi biến độc lập từ thể tích $V$ sang áp suất $P$, với áp suất là biến liên hợp của thể tích. Việc lựa chọn biến độc lập phù hợp với điều kiện của hệ giúp đơn giản hóa việc phân tích.

Mối liên hệ giữa biến đổi Legendre và nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển là gì?

Trả lời: Biến đổi Legendre liên kết Lagrangian, được sử dụng trong nguyên lý tác dụng tối thiểu, với Hamiltonian. Nguyên lý tác dụng tối thiểu phát biểu theo Lagrangian, trong khi phương trình Hamilton, thu được từ Hamiltonian, cung cấp một cách tiếp cận khác để phân tích chuyển động. Biến đổi Legendre là cầu nối giữa hai phương pháp này.

Tại sao biến đổi Legendre lại hữu ích trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa?

Trả lời: Trong tối ưu hóa, biến đổi Legendre cho phép chuyển đổi một bài toán tối ưu hóa sang bài toán đối ngẫu của nó. Bài toán đối ngẫu thường có dạng đơn giản hơn và dễ giải quyết hơn bài toán ban đầu. Việc giải bài toán đối ngẫu cung cấp thông tin về nghiệm của bài toán ban đầu.