Biến đổi Lorentz (Lorentz transformation)

Bối cảnh

Trước thuyết tương đối hẹp, các phép biến đổi Galilei được sử dụng để chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu. Tuy nhiên, các phép biến đổi Galilei không tương thích với các phương trình Maxwell của điện từ học và tốc độ ánh sáng hữu hạn. Einstein đã đề xuất biến đổi Lorentz như một giải pháp thay thế, duy trì tốc độ ánh sáng không đổi trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. Sự không tương thích này xuất phát từ việc phép biến đổi Galilei giả định thời gian là tuyệt đối, trong khi thuyết tương đối hẹp cho rằng thời gian là tương đối và phụ thuộc vào hệ quy chiếu. Chính sự khác biệt này dẫn đến sự cần thiết của phép biến đổi Lorentz.

Các phương trình

Đối với hai hệ quy chiếu quán tính S và S’, trong đó S’ chuyển động với vận tốc v dọc theo trục x dương của S, biến đổi Lorentz cho các tọa độ (x, y, z, t) trong S thành (x’, y’, z’, t’) trong S’ được cho bởi:

$x’ = \gamma (x – vt)$
$y’ = y$
$z’ = z$
$t’ = \gamma (t – \frac{vx}{c^2})$

trong đó:

• $c$ là tốc độ ánh sáng trong chân không.
• $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}$ là hệ số Lorentz.

Ý nghĩa vật lý

Biến đổi Lorentz dẫn đến một số hệ quả quan trọng, bao gồm:

• Giãn nở thời gian: Thời gian trôi chậm hơn trong một hệ quy chiếu chuyển động so với hệ quy chiếu đứng yên. Một khoảng thời gian $\Delta t$ đo trong S sẽ được đo là $\Delta t’ = \gamma \Delta t$ trong S’. Cần lưu ý rằng $\Delta t$ ở đây là thời gian riêng, tức là thời gian giữa hai sự kiện xảy ra tại cùng một vị trí trong hệ S.
• Co độ dài: Độ dài của một vật thể chuyển động bị co lại theo hướng chuyển động. Một độ dài $\Delta x$ đo trong S sẽ được đo là $\Delta x’ = \frac{\Delta x}{\gamma}$ trong S’. Tương tự như giãn nở thời gian, $\Delta x$ ở đây là độ dài riêng, tức là độ dài của vật thể khi nó đứng yên trong hệ S.
• Tính tương đối của đồng thời: Hai sự kiện xảy ra đồng thời trong một hệ quy chiếu có thể không đồng thời trong một hệ quy chiếu khác chuyển động so với hệ quy chiếu đầu tiên.
• Tốc độ ánh sáng không đổi: Biến đổi Lorentz đảm bảo rằng tốc độ ánh sáng là như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính, bất kể chuyển động của nguồn sáng hay người quan sát.

Trường hợp đặc biệt

• $v << c$: Khi vận tốc $v$ nhỏ hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng $c$, hệ số Lorentz $\gamma$ tiến đến 1, và biến đổi Lorentz xấp xỉ bằng biến đổi Galilei.
• $v = 0$: Nếu hai hệ quy chiếu đứng yên so với nhau ($v=0$), biến đổi Lorentz trở thành phép biến đổi đồng nhất, tức là $x’ = x$, $y’ = y$, $z’ = z$, và $t’ = t$.

Ứng dụng

Biến đổi Lorentz có những ứng dụng quan trọng trong vật lý hiện đại, bao gồm:

• Thuyết tương đối hẹp: Chúng là nền tảng của thuyết tương đối hẹp và được sử dụng để mô tả các hiện tượng như giãn nở thời gian, co độ dài, và hiệu ứng Doppler tương đối tính.
• Vật lý hạt: Biến đổi Lorentz là cần thiết để hiểu được hành vi của các hạt cơ bản ở tốc độ cao, như trong các máy gia tốc hạt.
• Điện động lực học: Chúng được sử dụng để liên hệ các trường điện và từ trong các hệ quy chiếu khác nhau.
• Vũ trụ học: Biến đổi Lorentz đóng vai trò trong việc nghiên cứu vũ trụ ở quy mô lớn.

Biến đổi Lorentz cho vận tốc

Không chỉ tọa độ không gian và thời gian, mà cả vận tốc cũng biến đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính. Nếu một vật thể có vận tốc $u_x$, $u_y$, và $u_z$ trong hệ S, thì vận tốc của nó trong hệ S’ ($u_x’$, $u_y’$, và $u_z’$) được cho bởi:

$u_x’ = \frac{u_x – v}{1 – \frac{vu_x}{c^2}}$

$u_y’ = \frac{u_y}{\gamma(1 – \frac{vu_x}{c^2})}$

$u_z’ = \frac{u_z}{\gamma(1 – \frac{vu_x}{c^2})}$

Biến đổi Lorentz dưới dạng ma trận

Biến đổi Lorentz có thể được biểu diễn gọn gàng dưới dạng ma trận:

$\begin{pmatrix} ct’ \ x’ \ y’ \ z’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\beta\gamma & 0 & 0 \ -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct \ x \ y \ z \end{pmatrix}$

Trong đó $\beta = \frac{v}{c}$. Dạng ma trận này hữu ích cho các phép tính phức tạp hơn và cho thấy rõ ràng tính chất tuyến tính của biến đổi.

Biến đổi nghịch đảo

Để biến đổi từ hệ S’ về S, ta chỉ cần thay $v$ bằng $-v$ trong các phương trình biến đổi Lorentz:

$x = \gamma (x’ + vt’)$
$y = y’$
$z = z’$
$t = \gamma (t’ + \frac{vx’}{c^2})$

Liên hệ với biến đổi Galilei

Như đã đề cập, khi $v << c$, biến đổi Lorentz xấp xỉ biến đổi Galilei:

$x’ \approx x – vt$
$y’ = y$
$z’ = z$
$t’ \approx t$

Điều này cho thấy biến đổi Galilei là một trường hợp đặc biệt của biến đổi Lorentz ở tốc độ thấp.

Hạn chế và mở rộng

Biến đổi Lorentz chỉ áp dụng cho các hệ quy chiếu quán tính, tức là các hệ quy chiếu chuyển động đều so với nhau. Đối với các hệ quy chiếu phi quán tính, cần phải sử dụng thuyết tương đối rộng, một lý thuyết tổng quát hơn của Einstein, bao gồm cả trọng lực.

• Einstein, A. (1905). Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik, 322(10), 891-921.
• French, A. P. (1968). Special Relativity. W. W. Norton & Company.
• Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. S. (2003). Physics. John Wiley & Sons.
• Taylor, E. F., & Wheeler, J. A. (1992). Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity. W. H. Freeman.

Câu hỏi và Giải đáp

Làm thế nào để suy ra biến đổi Lorentz từ hai tiên đề của thuyết tương đối hẹp?

Trả lời: Hai tiên đề của thuyết tương đối hẹp là: (1) Các định luật vật lý giống nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính. (2) Tốc độ ánh sáng trong chân không là như nhau đối với tất cả các quan sát viên, bất kể chuyển động của nguồn sáng. Bằng cách yêu cầu các phương trình biến đổi giữa hai hệ quy chiếu quán tính phải thỏa mãn hai tiên đề này (ví dụ, bằng cách xem xét một xung ánh sáng lan truyền từ gốc tọa độ), ta có thể suy ra các phương trình biến đổi Lorentz. Chi tiết toán học của phép suy ra này có thể tìm thấy trong nhiều sách giáo khoa về thuyết tương đối.

Biến đổi Lorentz ảnh hưởng đến động lượng và năng lượng của một hạt như thế nào?

Trả lời: Biến đổi Lorentz không chỉ ảnh hưởng đến không gian và thời gian mà còn ảnh hưởng đến động lượng và năng lượng. Động lượng tương đối tính được cho bởi $p = \gamma mv$, trong đó m là khối lượng nghỉ của hạt và v là vận tốc của nó. Năng lượng tương đối tính được cho bởi $E = \gamma mc^2$. Khi v tiến đến c, cả động lượng và năng lượng đều tiến đến vô cùng.

Sự khác biệt chính giữa biến đổi Galilei và biến đổi Lorentz là gì?

Trả lời: Biến đổi Galilei giả định thời gian là tuyệt đối, nghĩa là thời gian trôi qua giống nhau trong tất cả các hệ quy chiếu. Biến đổi Lorentz, mặt khác, cho thấy thời gian là tương đối và phụ thuộc vào chuyển động tương đối của các hệ quy chiếu. Sự khác biệt này trở nên đáng kể ở tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng.

Nếu một vật thể di chuyển với tốc độ ánh sáng, biến đổi Lorentz sẽ dự đoán điều gì?

Trả lời: Biến đổi Lorentz không được xác định cho các vật thể di chuyển với tốc độ ánh sáng. Hệ số Lorentz $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}}}$ trở nên vô cùng khi $v = c$. Điều này phù hợp với thuyết tương đối hẹp, trong đó nói rằng không có vật thể nào có khối lượng có thể đạt tới tốc độ ánh sáng.

Ngoài không gian và thời gian, còn đại lượng vật lý nào khác bị ảnh hưởng bởi biến đổi Lorentz?

Trả lời: Nhiều đại lượng vật lý khác cũng bị ảnh hưởng bởi biến đổi Lorentz, bao gồm vận tốc, động lượng, năng lượng, trường điện từ, và thậm chí cả mật độ điện tích và dòng điện. Biến đổi Lorentz cung cấp một khuôn khổ nhất quán để mô tả tất cả các đại lượng vật lý này trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau.