Dao động cưỡng bức (Forced oscillation)

Dao động cưỡng bức là dao động của một hệ cơ học chịu tác dụng của một ngoại lực tuần hoàn (ngoại lực cưỡng bức). Khác với dao động tự do, dao động cưỡng bức tồn tại vĩnh viễn chừng nào ngoại lực cưỡng bức còn tác dụng.

Cơ chế

Khi một hệ dao động chịu tác dụng của ngoại lực cưỡng bức, ban đầu nó dao động phức tạp. Tuy nhiên, sau một thời gian (giai đoạn quá độ), hệ sẽ dao động với tần số bằng tần số của ngoại lực cưỡng bức. Dao động này gọi là dao động cưỡng bức ổn định. Cụ thể hơn, dao động ban đầu là sự chồng chập của dao động riêng của hệ và dao động cưỡng bức. Dao động riêng sẽ bị tắt dần do ma sát hoặc lực cản, chỉ còn lại dao động cưỡng bức. Tần số của dao động cưỡng bức ổn định luôn bằng tần số của ngoại lực cưỡng bức, không phụ thuộc vào các đặc trưng của hệ dao động như tần số riêng hay hệ số tắt dần.

Phương trình vi phân

Xét một con lắc lò xo nằm ngang khối lượng $m$, độ cứng lò xo $k$, chịu tác dụng của lực ma sát nhớt $F_{ms} = -bv$ ($b$ là hệ số ma sát) và ngoại lực cưỡng bức $F = F_0 \cos(\omega t)$, với $F_0$ là biên độ và $\omega$ là tần số góc của ngoại lực. Phương trình vi phân mô tả chuyển động của vật là:

$m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = F_0 \cos(\omega t)$

Nghiệm của phương trình

Nghiệm của phương trình vi phân trên gồm hai phần:

Nghiệm riêng: Dao động cưỡng bức ổn định có dạng $x = A \cos(\omega t + \phi)$, trong đó:
- $A$ là biên độ dao động cưỡng bức: $A = \frac{F_0}{\sqrt{(k – m\omega^2)^2 + (b\omega)^2}}$
- $\phi$ là độ lệch pha giữa li độ và ngoại lực: $\tan\phi = \frac{b\omega}{k – m\omega^2}$
Nghiệm tổng quát: Là nghiệm của phương trình thuần nhất (khi $F_0 = 0$). Nghiệm này biểu diễn dao động tắt dần và bị triệt tiêu sau một thời gian. Do đó, ta chỉ quan tâm đến nghiệm riêng, tức dao động cưỡng bức ổn định.

Hiện tượng cộng hưởng

Biên độ dao động cưỡng bức $A$ phụ thuộc vào tần số góc $\omega$ của ngoại lực. Khi $\omega$ gần bằng tần số góc riêng $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$ của hệ, biên độ dao động cưỡng bức đạt giá trị cực đại. Hiện tượng này gọi là cộng hưởng.

Tần số góc cộng hưởng $\omega_{cr}$ được xác định bởi:

$\omega_{cr} = \sqrt{\omega_0^2 – \frac{b^2}{2m^2}}$

Lưu ý: Công thức này chỉ đúng khi hệ số tắt dần $b$ nhỏ. Khi $b$ lớn, hiện tượng cộng hưởng không rõ rệt hoặc không xảy ra. Khi $b$ rất nhỏ, tần số cộng hưởng xấp xỉ bằng tần số riêng $\omega_0$.

Ứng dụng và tác hại

Ứng dụng: Dao động cưỡng bức được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như: chế tạo máy rung, máy sàng, động cơ, mạch điện xoay chiều,… Ví dụ, trong mạch điện xoay chiều, dao động cưỡng bức của dòng điện được sử dụng để truyền tải năng lượng.
Tác hại: Cộng hưởng có thể gây ra những hậu quả nghiêm trọng như: sập cầu, đổ nhà, hỏng máy móc,… Do đó, cần phải tránh hiện tượng cộng hưởng trong các công trình và thiết bị. Ví dụ, khi thiết kế cầu, cần phải tính toán để tần số riêng của cầu không trùng với tần số của các dao động bên ngoài như gió hoặc xe cộ.

Dao động cưỡng bức là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên và kỹ thuật. Việc hiểu rõ cơ chế và các đặc điểm của dao động cưỡng bức giúp ta ứng dụng nó một cách hiệu quả và tránh được những tác hại tiềm ẩn.

Các yếu tố ảnh hưởng đến dao động cưỡng bức

Biên độ và pha của dao động cưỡng bức ổn định phụ thuộc vào các yếu tố sau:

Tần số góc của ngoại lực cưỡng bức ($\omega$): Như đã đề cập, biên độ dao động đạt cực đại khi $\omega$ gần bằng tần số riêng $\omega_0$ của hệ. Độ lệch pha $\phi$ cũng thay đổi theo $\omega$. Khi $\omega < \omega_0$, ngoại lực và li độ gần như cùng pha ($\phi$ gần bằng 0). Khi $\omega = \omega_0$, $\phi = -\pi/2$. Khi $\omega > \omega_0$, ngoại lực và li độ gần như ngược pha ($\phi$ gần bằng $-\pi$).
Độ lớn của ngoại lực cưỡng bức ($F_0$): Biên độ dao động cưỡng bức tỉ lệ thuận với $F_0$. Độ lớn của ngoại lực không ảnh hưởng đến tần số hay pha của dao động cưỡng bức ổn định.
Hệ số ma sát ($b$): Hệ số ma sát ảnh hưởng đến biên độ dao động cưỡng bức, đặc biệt là tại vùng cộng hưởng. Khi $b$ càng lớn, biên độ dao động cực đại càng nhỏ, và hiện tượng cộng hưởng càng ít rõ rệt. Hệ số ma sát cũng ảnh hưởng đến độ lệch pha $\phi$.
Khối lượng ($m$) và độ cứng ($k$) của hệ: Khối lượng và độ cứng của hệ quyết định tần số riêng $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, từ đó ảnh hưởng đến tần số cộng hưởng và biên độ dao động cưỡng bức.

Biểu diễn đồ thị

Biên độ A và độ lệch pha $\phi$ của dao động cưỡng bức có thể được biểu diễn dưới dạng đồ thị theo tần số góc $\omega$ của ngoại lực. Đồ thị biên độ A theo $\omega$ cho thấy rõ hiện tượng cộng hưởng. Đồ thị $\phi$ theo $\omega$ cho thấy sự thay đổi pha giữa li độ và ngoại lực.

So sánh dao động cưỡng bức và dao động tự do

Đặc điểm	Dao động cưỡng bức	Dao động tự do
Nguyên nhân	Ngoại lực tuần hoàn	Năng lượng ban đầu
Tần số	Bằng tần số của ngoại lực	Bằng tần số riêng của hệ
Biên độ	Phụ thuộc vào biên độ và tần số của ngoại lực, hệ số ma sát, khối lượng và độ cứng của hệ	Giảm dần theo thời gian do ma sát
Thời gian tồn tại	Tồn tại chừng nào ngoại lực còn tác dụng	Tắt dần theo thời gian

Tóm tắt về Dao động cưỡng bức

Dao động cưỡng bức là dao động xảy ra khi một hệ chịu tác dụng của một ngoại lực tuần hoàn. Điểm mấu chốt cần nhớ là tần số của dao động cưỡng bức ổn định sẽ bằng tần số của ngoại lực cưỡng bức, không phải tần số riêng của hệ. Biên độ và pha của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào nhiều yếu tố, bao gồm biên độ và tần số của ngoại lực ($F_0$ và $\omega$), hệ số ma sát ($b$), khối lượng ($m$) và độ cứng ($k$) của hệ.

Một hiện tượng quan trọng liên quan đến dao động cưỡng bức là cộng hưởng. Cộng hưởng xảy ra khi tần số của ngoại lực gần bằng tần số riêng của hệ ($\omega \approx \omega0 = \sqrt{k/m}$). Khi cộng hưởng, biên độ dao động đạt giá trị cực đại. Cần lưu ý rằng, tần số cộng hưởng $\omega{cr}$ hơi nhỏ hơn tần số riêng $\omega_0$ khi có ma sát. Hệ số ma sát càng lớn, biên độ cộng hưởng càng nhỏ và hiện tượng cộng hưởng càng ít rõ rệt.

Việc hiểu rõ dao động cưỡng bức và hiện tượng cộng hưởng rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật. Cộng hưởng có thể được ứng dụng trong nhiều thiết bị, nhưng cũng có thể gây ra những hư hỏng nghiêm trọng nếu không được kiểm soát. Do đó, cần phải tính toán và thiết kế để tránh hiện tượng cộng hưởng trong các công trình và thiết bị khi không mong muốn. Ví dụ, trong thiết kế cầu, cần phải đảm bảo rằng tần số riêng của cầu không trùng với tần số của các lực cưỡng bức có thể tác động lên cầu (như gió hoặc xe cộ).

Tài liệu tham khảo:

Đại cương Vật lý 1, Nguyễn Xuân Chánh (chủ biên), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
Vật lý đại cương 1, Halliday, Resnick, Walker, John Wiley & Sons.
Vibrations and Waves, A.P. French, CRC Press.

Câu hỏi và Giải đáp

Làm thế nào để xác định tần số cộng hưởng của một hệ dao động cưỡng bức trong thực tế, khi hệ số ma sát không phải lúc nào cũng dễ dàng xác định?

Trả lời: Trong thực tế, tần số cộng hưởng có thể được xác định bằng thực nghiệm. Ta thay đổi tần số của ngoại lực cưỡng bức và đo biên độ dao động tương ứng. Tần số tại đó biên độ dao động đạt giá trị cực đại chính là tần số cộng hưởng. Phương pháp này không yêu cầu biết chính xác hệ số ma sát.

Ngoài lực ma sát nhớt, còn có những loại lực cản nào khác ảnh hưởng đến dao động cưỡng bức? Chúng ảnh hưởng như thế nào đến hiện tượng cộng hưởng?

Trả lời: Ngoài lực ma sát nhớt ($F = -bv$), còn có lực cản khô (lực ma sát tĩnh và động), lực cản tỉ lệ với bình phương vận tốc (lực cản của không khí ở tốc độ cao). Các lực cản này làm phức tạp thêm phương trình dao động và khó giải tích hơn. Nhìn chung, chúng làm giảm biên độ dao động, đặc biệt là ở vùng cộng hưởng, và làm cho hiện tượng cộng hưởng ít rõ rệt hơn.

Dao động cưỡng bức có thể xảy ra với các hệ dao động phi tuyến tính không? Nếu có, hiện tượng cộng hưởng trong các hệ này có gì khác so với hệ tuyến tính?

Trả lời: Dao động cưỡng bức cũng có thể xảy ra với các hệ phi tuyến tính. Trong hệ phi tuyến tính, mối quan hệ giữa lực phục hồi và li độ không phải là tuyến tính (ví dụ, $F = -kx^3$). Hiện tượng cộng hưởng trong hệ phi tuyến tính phức tạp hơn nhiều so với hệ tuyến tính. Tần số cộng hưởng có thể phụ thuộc vào biên độ dao động, và có thể xuất hiện nhiều tần số cộng hưởng khác nhau.

Trong trường hợp ngoại lực cưỡng bức không phải là hàm cosin hay sin, ví dụ như hàm dạng răng cưa hay xung vuông, dao động cưỡng bức ổn định sẽ như thế nào?

Trả lời: Khi ngoại lực cưỡng bức có dạng phức tạp, ta có thể phân tích nó thành tổng của các hàm điều hòa (chuỗi Fourier). Dao động cưỡng bức ổn định sẽ là tổng hợp của các dao động cưỡng bức ứng với mỗi thành phần điều hòa trong chuỗi Fourier.

Làm thế nào để giảm thiểu tác hại của cộng hưởng trong các công trình xây dựng?

Trả lời: Có nhiều cách để giảm thiểu tác hại của cộng hưởng:

Thiết kế sao cho tần số riêng của công trình khác xa tần số của các lực cưỡng bức dự kiến.
Tăng hệ số giảm chấn của công trình: Ví dụ, sử dụng các bộ giảm chấn, vật liệu hấp thụ năng lượng.
Giám sát và kiểm soát các lực cưỡng bức: Ví dụ, hạn chế tốc độ gió tác động lên cầu bằng cách thiết kế các tấm chắn gió.
Theo dõi và phát hiện sớm các dấu hiệu của cộng hưởng: Ví dụ, lắp đặt các cảm biến để đo dao động của công trình.

Một số điều thú vị về Dao động cưỡng bức

Cầu Tacoma Narrows sập (1940): Đây là một ví dụ điển hình về tác hại của cộng hưởng. Gió thổi qua cầu đã tạo ra các xoáy, gây ra lực cưỡng bức tuần hoàn. Tần số của lực này trùng với tần số riêng của cầu, dẫn đến dao động cộng hưởng với biên độ ngày càng lớn, cuối cùng khiến cầu sập. Tuy nhiên, nguyên nhân chính xác của sự sập cầu phức tạp hơn dao động cưỡng bức đơn thuần và liên quan đến hiện tượng aeroelastic flutter.
Đồng hồ cơ: Bộ điều tốc của đồng hồ cơ hoạt động dựa trên nguyên lý dao động cưỡng bức. Một bánh xe cân bằng dao động với tần số ổn định nhờ một lò xo xoắn và một cơ chế escapement cung cấp năng lượng từ dây cót. Cơ chế này hoạt động như một ngoại lực cưỡng bức, duy trì dao động của bánh xe cân bằng và đảm bảo độ chính xác của đồng hồ.
Cộng hưởng trong mạch LC: Mạch LC, bao gồm một cuộn cảm (L) và một tụ điện (C), cũng thể hiện hiện tượng cộng hưởng. Khi mạch được kích thích bởi một nguồn điện xoay chiều có tần số bằng tần số riêng của mạch, dòng điện trong mạch đạt giá trị cực đại.
MRI (Chụp cộng hưởng từ): Kỹ thuật chụp cộng hưởng từ (MRI) sử dụng nguyên lý cộng hưởng từ hạt nhân. Các hạt nhân nguyên tử (thường là hydro) trong cơ thể được đặt trong một từ trường mạnh và chịu tác dụng của sóng radio có tần số riêng. Khi tần số sóng radio trùng với tần số riêng của hạt nhân, các hạt nhân hấp thụ năng lượng và sau đó phát ra tín hiệu. Tín hiệu này được thu thập và xử lý để tạo ra hình ảnh của các cơ quan bên trong cơ thể. Lưu ý rằng, “cộng hưởng” trong MRI chỉ mang tính chất tên gọi và không hoàn toàn giống với cộng hưởng cơ học.
“Quân đội phá cầu”: Truyền thuyết kể rằng các đội quân hành quân qua cầu phải phá vỡ bước đều để tránh tạo ra lực cưỡng bức trùng với tần số riêng của cầu, gây ra cộng hưởng và sập cầu. Mặc dù ý tưởng này có cơ sở khoa học, nhưng trường hợp cầu sập do quân đội hành quân qua rất hiếm khi xảy ra trong thực tế.
Âm nhạc và nhạc cụ: Nhiều nhạc cụ hoạt động dựa trên nguyên lý cộng hưởng. Ví dụ, dây đàn guitar dao động cưỡng bức khi được gảy. Hộp đàn đóng vai trò là bộ cộng hưởng, khuếch đại âm thanh bằng cách cộng hưởng với các tần số nhất định.