Dao động điều hòa (Simple harmonic motion)

Đặc điểm của dao động điều hòa:

• Tuần hoàn: Chuyển động lặp đi lặp lại theo thời gian. Chu kỳ của dao động là thời gian vật thực hiện một dao động toàn phần.
• Biến thiên theo hàm sin hoặc cosin: Phương trình mô tả dao động có dạng hình sin hoặc cosin theo thời gian. Ví dụ: $x = A\cos(\omega t + \phi)$, với $x$ là li độ, $A$ là biên độ, $\omega$ là tần số góc, $t$ là thời gian và $\phi$ là pha ban đầu.
• Lực kéo về: Luôn hướng về vị trí cân bằng và độ lớn tỉ lệ với li độ. Đặc điểm này phân biệt dao động điều hòa với các loại dao động khác.

Các đại lượng đặc trưng

Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa bao gồm:

• Li độ (x): Độ lệch của vật khỏi vị trí cân bằng tại một thời điểm nhất định. Đơn vị thường là mét (m) hoặc centimet (cm).
• Biên độ (A): Giá trị tuyệt đối của li độ cực đại. Biên độ thể hiện độ lệch xa nhất của vật so với vị trí cân bằng. Đơn vị giống li độ.
• Tần số góc (ω): Đại lượng đặc trưng cho tốc độ biến thiên của pha dao động. Đơn vị là radian trên giây (rad/s). Liên hệ với chu kỳ và tần số theo công thức $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$.
• Chu kỳ (T): Thời gian vật thực hiện một dao động toàn phần. Đơn vị là giây (s).
• Tần số (f): Số dao động vật thực hiện trong một giây. Đơn vị là Hertz (Hz).
• Pha ban đầu (φ): Trạng thái ban đầu của dao động tại thời điểm t=0. Đơn vị là radian (rad). Nó thể hiện vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm bắt đầu khảo sát.

Phương trình dao động điều hòa

Phương trình li độ theo thời gian có dạng:

$x = A\cos(\omega t + \phi)$

Trong đó:

• $x$: Li độ
• $A$: Biên độ
• $\omega$: Tần số góc
• $t$: Thời gian
• $\phi$: Pha ban đầu

Phương trình vận tốc

Vận tốc của vật dao động điều hòa là đạo hàm của li độ theo thời gian:

$v = \frac{dx}{dt} = -\omega A\sin(\omega t + \phi)$

Vận tốc cực đại: $v_{max} = \omega A$ (đạt được khi vật đi qua vị trí cân bằng).

Phương trình gia tốc

Gia tốc của vật dao động điều hòa là đạo hàm của vận tốc theo thời gian (đạo hàm bậc hai của li độ):

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 A\cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x$

Gia tốc cực đại: $a_{max} = \omega^2 A$ (đạt được khi vật ở vị trí biên). Lưu ý rằng gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng và ngược dấu với li độ.

Lực kéo về

Lực kéo về là lực tác dụng lên vật làm cho vật dao động điều hòa. Lực này luôn hướng về vị trí cân bằng và có độ lớn tỉ lệ với li độ:

$F = -kx = ma$

Trong đó:

• $k$: Hệ số đàn hồi (hay độ cứng). Đơn vị là N/m.
• $m$: Khối lượng vật. Đơn vị là kg.

Từ phương trình gia tốc và lực kéo về, ta có:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Ví dụ và ứng dụng

Con lắc lò xo, con lắc đơn (với góc lệch nhỏ) là những ví dụ điển hình của dao động điều hòa.

Dao động điều hòa có ứng dụng rộng rãi trong khoa học và kỹ thuật, ví dụ như trong đồng hồ cơ, phân tích âm thanh và rung động, nghiên cứu sóng điện từ, xây dựng cầu đường,…

Năng lượng trong dao động điều hòa

Trong quá trình dao động điều hòa, năng lượng của vật được chuyển đổi qua lại giữa động năng và thế năng. Tổng năng lượng của hệ dao động được bảo toàn (bỏ qua ma sát).

• Động năng:

$W_đ = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2\sin^2(\omega t + \phi)$

• Thế năng:

Thế năng của dao động điều hòa phụ thuộc vào hệ dao động cụ thể. Ví dụ, đối với con lắc lò xo, thế năng đàn hồi được tính bằng:

$W_t = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\cos^2(\omega t + \phi)$

• Cơ năng:

Tổng năng lượng (cơ năng) của hệ dao động là tổng của động năng và thế năng:

$W = W_đ + W_t = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 = \frac{1}{2}kA^2$

Nhận xét: Cơ năng tỉ lệ với bình phương biên độ.

Dao động tắt dần và dao động cưỡng bức

Trong thực tế, dao động điều hòa thường bị ảnh hưởng bởi lực cản của môi trường.

• Dao động tắt dần: Khi có lực cản, biên độ dao động giảm dần theo thời gian.
• Dao động cưỡng bức: Khi có ngoại lực tuần hoàn tác dụng lên vật dao động, vật sẽ dao động với tần số của ngoại lực. Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi tần số của ngoại lực bằng tần số riêng của hệ dao động.

Mối liên hệ với chuyển động tròn đều

Dao động điều hòa có thể được coi là hình chiếu của một chất điểm chuyển động tròn đều lên một đường kính của đường tròn. Bán kính của đường tròn chính là biên độ dao động. Tốc độ góc của chuyển động tròn đều chính là tần số góc của dao động điều hòa.

Một số dạng bài tập thường gặp

• Xác định các đại lượng đặc trưng của dao động (A, ω, T, f, φ) từ phương trình dao động.
• Tính li độ, vận tốc, gia tốc tại một thời điểm cho trước.
• Tính thời gian vật đi từ vị trí này đến vị trí khác.
• Bài toán liên quan đến năng lượng.
• Bài toán về dao động tắt dần và dao động cưỡng bức.

• Vật Lý 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
• Fundamentals of Physics – Halliday, Resnick, and Walker
• Sách bài tập Vật Lý 12 – Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
• Vibrations and Waves – A.P. French

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa dao động điều hòa và dao động tuần hoàn khác là gì?

Trả lời: Mọi dao động điều hòa đều là dao động tuần hoàn, nhưng không phải dao động tuần hoàn nào cũng là dao động điều hòa. Điểm khác biệt chính nằm ở lực kéo về. Trong dao động điều hòa, lực kéo về luôn hướng về vị trí cân bằng và tỉ lệ với li độ (F = -kx). Các dao động tuần hoàn khác có thể có lực kéo về phức tạp hơn, không tuân theo quy luật này.

Nếu một vật dao động điều hòa với phương trình $x = 5\cos(2\pi t + \frac{\pi}{3})$ (cm), hãy xác định biên độ, tần số góc, chu kì, tần số và pha ban đầu của dao động.

Trả lời:

• Biên độ A = 5 cm
• Tần số góc ω = 2π rad/s
• Chu kì T = $ \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ s
• Tần số f = $\frac{1}{T} = 1$ Hz
• Pha ban đầu φ = $\frac{\pi}{3}$ rad

Làm thế nào để tính năng lượng của một con lắc lò xo dao động điều hòa tại một thời điểm bất kỳ?

Trả lời: Năng lượng của con lắc lò xo tại thời điểm t được tính bằng tổng động năng và thế năng tại thời điểm đó:

• Động năng: $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$
• Thế năng: $W_t = \frac{1}{2}kx^2$
• Cơ năng: $W = W_đ + W_t = \frac{1}{2}kA^2 = \frac{1}{2}m\omega^2A^2$

Trong đó, x và v lần lượt là li độ và vận tốc của vật tại thời điểm t. Có thể tính x và v từ phương trình dao động và phương trình vận tốc.

Hiện tượng cộng hưởng có ý nghĩa gì trong thực tế?

Trả lời: Hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi tần số của ngoại lực cưỡng bức bằng tần số riêng của hệ dao động. Khi đó, biên độ dao động tăng lên rất mạnh. Hiện tượng này có thể gây ra những hậu quả nghiêm trọng như sập cầu, đổ nhà trong các trận động đất. Tuy nhiên, cộng hưởng cũng có thể được ứng dụng hữu ích trong nhiều lĩnh vực, ví dụ như trong việc khuếch đại âm thanh của nhạc cụ.

Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều được ứng dụng như thế nào trong việc giải bài tập?

Trả lời: Việc hình dung dao động điều hòa như hình chiếu của chuyển động tròn đều giúp ta dễ dàng xác định các đại lượng như li độ, vận tốc, gia tốc tại một thời điểm bất kỳ. Đặc biệt, việc sử dụng vectơ quay trong mặt phẳng phức giúp giải quyết các bài toán liên quan đến pha dao động và thời gian một cách hiệu quả và trực quan. Ví dụ, việc xác định thời gian vật đi từ vị trí này đến vị trí khác có thể được thực hiện bằng cách tính góc quét của vectơ quay tương ứng trên đường tròn.