Định luật Ampere (Ampère’s circuital law)

1. Dạng tích phân:

Dạng tích phân của định luật Ampere phát biểu rằng tích phân đường của từ trường ($\vec{B}$) dọc theo một đường cong kín (C) bằng $\mu0$ nhân với tổng dòng điện ($I{enc}$) đi qua mặt phẳng giới hạn bởi đường cong kín đó.

Công thức toán học:

$\o\int_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu0 I{enc}$

Trong đó:

• $\o\int_C$ là tích phân đường theo đường cong kín C.
• $\vec{B}$ là vectơ cảm ứng từ.
• $d\vec{l}$ là vectơ vi phân đường dọc theo đường cong C.
• $\mu_0$ là hằng số từ thẩm của chân không ($\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$).
• $I_{enc}$ là tổng dòng điện đi qua mặt phẳng giới hạn bởi đường cong kín C. Dòng điện được coi là dương nếu nó có cùng chiều với quy tắc nắm tay phải đối với hướng đi của đường cong C. Ngược lại, nếu dòng điện ngược chiều với quy tắc nắm tay phải, nó được coi là âm.

2. Dạng vi phân:

Dạng vi phân của định luật Ampere sử dụng toán tử rot (xoáy) và liên hệ mật độ dòng điện ($\vec{J}$) với từ trường.

Công thức toán học:

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$

Trong đó:

• $\nabla \times \vec{B}$ là rot của vectơ cảm ứng từ.
• $\vec{J}$ là vectơ mật độ dòng điện.

Dạng vi phân này thể hiện mối quan hệ cục bộ giữa từ trường và mật độ dòng điện tại mỗi điểm trong không gian.

3. Định luật Ampere-Maxwell:

Định luật Ampere ban đầu chỉ đúng cho trường hợp tĩnh điện. James Clerk Maxwell đã bổ sung thêm một thành phần vào định luật Ampere để phù hợp với trường hợp điện động. Định luật Ampere-Maxwell là một trong bốn phương trình Maxwell, là nền tảng của điện động lực học cổ điển. Sự bổ sung này rất quan trọng vì nó liên kết điện trường và từ trường, cho thấy chúng có thể tạo ra lẫn nhau.

Công thức toán học (dạng tích phân):

$\o\int_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu0 (I{enc} + \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt})$

Và dạng vi phân:

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Trong đó:

• $\epsilon_0$ là hằng số điện môi của chân không.
• $\frac{d\Phi_E}{dt}$ là đạo hàm theo thời gian của thông lượng điện trường qua mặt phẳng giới hạn bởi đường cong kín C. Thành phần này được gọi là dòng dịch chuyển.
• $\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ là đạo hàm riêng theo thời gian của điện trường.

4. Ứng dụng:

Định luật Ampere được sử dụng rộng rãi để tính toán từ trường tạo ra bởi các cấu hình dòng điện khác nhau, chẳng hạn như:

• Dây dẫn thẳng dài.
• Solenoid.
• Toroid.

Ngoài ra, định luật Ampere-Maxwell đóng vai trò then chốt trong việc hiểu sóng điện từ và nhiều hiện tượng điện từ khác.

5. Giới hạn:

Định luật Ampere ở dạng ban đầu chỉ áp dụng cho dòng điện ổn định (không đổi theo thời gian). Nói cách khác, nó không chính xác khi có sự biến thiên của điện trường theo thời gian. Định luật Ampere-Maxwell khắc phục hạn chế này và áp dụng cho cả dòng điện thay đổi theo thời gian.

Tóm lại, định luật Ampere là một công cụ quan trọng trong vật lý để hiểu và tính toán từ trường tạo ra bởi dòng điện. Định luật Ampere-Maxwell mở rộng định luật này để bao gồm cả trường hợp điện động, là một phần quan trọng của lý thuyết điện từ.

6. Ví dụ minh họa:

Các ví dụ sau đây minh họa cách áp dụng định luật Ampere để tính toán từ trường trong một số trường hợp đối xứng đơn giản:

a) Dây dẫn thẳng dài: Xét một dây dẫn thẳng dài vô hạn mang dòng điện I. Để tính từ trường tại một điểm cách dây dẫn một khoảng r, ta chọn đường cong kín là một đường tròn đồng tâm với dây dẫn và có bán kính r. Do tính đối xứng, từ trường B có độ lớn không đổi trên đường tròn và hướng tiếp tuyến với đường tròn. Áp dụng định luật Ampere:

$\o\int_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = B \o\int_C dl = B(2\pi r) = \mu_0 I$

Từ đó, ta có:

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

b) Solenoid: Một solenoid là một cuộn dây dẫn dài được quấn thành nhiều vòng. Bên trong một solenoid dài vô hạn, từ trường là đều và song song với trục của solenoid. Áp dụng định luật Ampere cho một vòng dây hình chữ nhật bao quanh N vòng dây của solenoid, ta có:

$B l = \mu_0 N I$

Với l là chiều dài của solenoid. Mật độ vòng dây n = N/l, do đó:

$B = \mu_0 n I$

c) Toroid: Một toroid là một solenoid được uốn thành hình xuyến. Từ trường bên trong toroid có độ lớn không đổi trên mỗi vòng tròn đồng tâm với toroid và hướng tiếp tuyến với vòng tròn. Áp dụng định luật Ampere cho một vòng tròn bán kính r bên trong toroid, ta có:

$B (2\pi r) = \mu_0 N I$

Trong đó N là tổng số vòng dây của toroid.

$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$

7. Mối quan hệ với các định luật khác:

Định luật Ampere có liên hệ mật thiết với định luật Biot-Savart. Định luật Biot-Savart cho phép tính từ trường tạo ra bởi một phân bố dòng điện bất kỳ, trong khi định luật Ampere thường được sử dụng cho các trường hợp có tính đối xứng cao. Trong các trường hợp này, định luật Ampere cung cấp một cách tính toán từ trường đơn giản hơn so với định luật Biot-Savart. Có thể chứng minh định luật Ampere từ định luật Biot-Savart.

8. Hạn chế của Định luật Ampere (dạng tích phân):

Dạng tích phân của định luật Ampere chỉ áp dụng cho các trường hợp mà dòng điện đi qua một mặt phẳng được xác định rõ ràng. Trong các trường hợp phức tạp hơn, việc xác định mặt phẳng này có thể khó khăn. Chính vì vậy, dạng vi phân của định luật Ampere và định luật Ampere-Maxwell tỏ ra hữu dụng hơn trong các tình huống tổng quát.

• David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th Edition (Pearson, 2013).
• John R. Reitz, Frederick J. Milford, and Robert W. Christy, Foundations of Electromagnetic Theory, 4th Edition (Addison-Wesley, 1993).
• Edward M. Purcell and David J. Morin, Electricity and Magnetism, 3rd Edition (Cambridge University Press, 2013).

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa định luật Ampere và định luật Biot-Savart là gì? Khi nào nên sử dụng định luật này hơn định luật kia?

Trả lời: Định luật Biot-Savart tính toán từ trường tạo ra bởi một phân tố dòng điện nhỏ, trong khi định luật Ampere liên hệ từ trường dọc theo một đường cong kín với tổng dòng điện đi qua mặt phẳng giới hạn bởi đường cong đó. Nên sử dụng định luật Biot-Savart khi cần tính từ trường của một phân bố dòng điện phức tạp, không có tính đối xứng. Định luật Ampere lại hữu ích hơn khi hệ có tính đối xứng cao, cho phép chọn đường cong kín sao cho việc tính toán trở nên đơn giản.

Tại sao định luật Ampere ban đầu cần được Maxwell sửa đổi? Thành phần nào đã được thêm vào và ý nghĩa của nó là gì?

Trả lời: Định luật Ampere ban đầu chỉ đúng cho dòng điện ổn định. Maxwell nhận ra rằng định luật này không tương thích với phương trình liên tục của điện tích trong trường hợp dòng điện không ổn định. Ông đã thêm vào một thành phần gọi là dòng dịch chuyển, tỉ lệ với đạo hàm theo thời gian của thông lượng điện trường: $\epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$. Dòng dịch chuyển đảm bảo tính liên tục của dòng điện và cho phép định luật Ampere-Maxwell áp dụng cho cả dòng điện thay đổi theo thời gian.

Giải thích cách áp dụng định luật Ampere để tính từ trường bên trong một solenoid dài.

Trả lời: Chọn một đường cong kín hình chữ nhật với một cạnh nằm bên trong solenoid và cạnh đối diện nằm bên ngoài. Do từ trường bên ngoài solenoid rất yếu, tích phân đường dọc theo cạnh này xấp xỉ bằng không. Tích phân đường dọc theo hai cạnh vuông góc với trục solenoid cũng bằng không vì $\vec{B}$ vuông góc với $d\vec{l}$. Vậy, $o\int_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = Bl$, với l là chiều dài cạnh nằm bên trong solenoid. Tổng dòng điện đi qua mặt phẳng giới hạn bởi đường cong kín là $NI$, với N là số vòng dây trong chiều dài l và I là dòng điện. Áp dụng định luật Ampere: $Bl = \mu_0 NI$, suy ra $B = \mu_0 nI$, với $n = N/l$ là mật độ vòng dây.

Mối liên hệ giữa dòng dịch chuyển và sự lan truyền của sóng điện từ là gì?

Trả lời: Dòng dịch chuyển là yếu tố then chốt cho phép sự lan truyền của sóng điện từ. Nó tạo ra từ trường thay đổi, từ trường thay đổi này lại tạo ra điện trường thay đổi, và cứ thế tiếp diễn. Quá trình này tạo thành sóng điện từ lan truyền trong không gian.

Cho ví dụ về một trường hợp mà việc sử dụng định luật Ampere để tính từ trường là không thuận tiện.

Trả lời: Định luật Ampere khó áp dụng khi hệ không có tính đối xứng cao, khiến cho việc chọn đường cong kín phù hợp trở nên khó khăn. Ví dụ, tính từ trường của một dây dẫn có hình dạng bất kỳ. Trong trường hợp này, việc sử dụng định luật Biot-Savart hoặc các phương pháp số sẽ thuận tiện hơn.