Định luật Ampère (Ampère’s Law)

1. Dạng tích phân:

Dạng tích phân của định luật Ampère phát biểu rằng tích phân đường của từ trường ($ \vec{B} $) dọc theo một đường cong kín (C) bằng $ \mu0 $ nhân với tổng dòng điện ($ I{enc} $) đi qua bề mặt được giới hạn bởi đường cong đó.

Công thức toán học:

$ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu0 I{enc} $

Trong đó:

• $ \oint_C $ là tích phân đường theo đường cong kín C.
• $ \vec{B} $ là vectơ cảm ứng từ.
• $ d\vec{l} $ là vectơ vi phân đường dọc theo đường cong C.
• $ \mu_0 $ là độ từ thẩm của chân không ($ 4\pi \times 10^{-7} $ T·m/A).
• $ I_{enc} $ là tổng dòng điện đi qua bề mặt được giới hạn bởi đường cong C. Dòng điện được coi là dương nếu nó cùng chiều với quy tắc nắm tay phải đối với đường cong C.

Định luật Ampère ở dạng tích phân rất hữu ích để tính toán từ trường trong các trường hợp có tính đối xứng cao, chẳng hạn như dây dẫn thẳng dài, ống dây và hình xuyến. Việc lựa chọn đường cong C phù hợp (đường cong Ampère) là rất quan trọng để áp dụng định luật này một cách hiệu quả.

2. Dạng vi phân:

Dạng vi phân của định luật Ampère, được phát biểu bằng toán tử rot (xoáy), liên hệ mật độ dòng điện ($ \vec{J} $) với sự thay đổi của từ trường trong không gian. Dạng này tổng quát hơn dạng tích phân và được sử dụng trong các trường hợp phức tạp hơn.

Công thức toán học:

$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} $

Trong đó:

• $ \nabla \times $ là toán tử rot.
• $ \vec{J} $ là vectơ mật độ dòng điện.

Lưu ý: Dạng vi phân này của định luật Ampère chỉ đúng trong trường hợp tĩnh điện.

3. Định luật Ampère-Maxwell:

Định luật Ampère ban đầu chỉ áp dụng cho trường hợp tĩnh điện. James Clerk Maxwell sau này đã bổ sung thêm một thành phần liên quan đến dòng dịch điện, tạo ra định luật Ampère-Maxwell, một trong bốn phương trình Maxwell của điện từ học. Sự bổ sung này cho phép định luật áp dụng cho cả trường hợp điện động.

Công thức toán học (dạng tích phân):

$ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu0 (I{enc} + \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}) $

và (dạng vi phân):

$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 (\vec{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) $

Trong đó:

• $ \epsilon_0 $ là hằng số điện môi của chân không.
• $ \Phi_E $ là thông lượng điện qua bề mặt giới hạn bởi đường cong C.
• $ \frac{d\Phi_E}{dt} $ là đạo hàm thời gian của thông lượng điện, còn gọi là dòng dịch điện.
• $ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $ là đạo hàm riêng của điện trường theo thời gian. Thành phần này thể hiện sự đóng góp của điện trường biến thiên theo thời gian vào từ trường.

4. Ứng dụng:

Định luật Ampère và Ampère-Maxwell được sử dụng rộng rãi trong việc tính toán từ trường tạo ra bởi các dòng điện có hình dạng đối xứng, chẳng hạn như:

• Dây dẫn thẳng dài: Tính toán từ trường xung quanh dây dẫn.
• Solenoid (ống dây): Tính toán từ trường bên trong solenoid.
• Toroid (hình xuyến): Tính toán từ trường bên trong toroid.

Ngoài ra, định luật Ampère-Maxwell còn đóng vai trò quan trọng trong việc lý giải sự lan truyền của sóng điện từ.

5. Giới hạn của Định luật Ampère (dạng ban đầu):

Định luật Ampère ở dạng ban đầu chỉ đúng cho trường hợp dòng điện ổn định (không đổi theo thời gian). Trong trường hợp dòng điện biến thiên theo thời gian, cần sử dụng định luật Ampère-Maxwell. Sự hạn chế này xuất phát từ việc định luật Ampère ban đầu không tính đến sự tích tụ điện tích, dẫn đến dòng dịch điện.

6. So sánh Định luật Ampère và Định luật Biot-Savart:

Cả định luật Ampère và định luật Biot-Savart đều mô tả mối quan hệ giữa dòng điện và từ trường. Tuy nhiên, chúng có những điểm khác biệt quan trọng:

• Định luật Biot-Savart: Cho phép tính từ trường tại một điểm do một phân bố dòng điện bất kỳ tạo ra. Nó là một phương pháp tổng quát nhưng thường phức tạp hơn trong tính toán. Công thức của định luật Biot-Savart là: $ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} $, trong đó $ d\vec{B} $ là vectơ từ trường vi phân, $ I $ là dòng điện, $ d\vec{l} $ là vectơ vi phân của dây dẫn mang dòng điện, $ \vec{r} $ là vectơ nối từ phần tử dòng điện đến điểm cần tính từ trường, và $ r $ là độ lớn của $ \vec{r} $.
• Định luật Ampère: Chỉ áp dụng được cho các trường hợp có tính đối xứng cao. Nó đơn giản hơn định luật Biot-Savart trong việc tính toán từ trường trong những trường hợp này. Tuy nhiên, khi tính toán với định luật Ampère, việc chọn đường cong Ampère phù hợp rất quan trọng.

Nói cách khác, định luật Biot-Savart giống như “cái búa” – một công cụ mạnh mẽ có thể được sử dụng trong nhiều tình huống, trong khi định luật Ampère giống như “cái tua vít” – một công cụ chuyên dụng hiệu quả hơn trong các tình huống cụ thể.

7. Ví dụ áp dụng Định luật Ampère:

a) Dây dẫn thẳng dài: Xét một dây dẫn thẳng dài vô hạn mang dòng điện $ I $. Áp dụng định luật Ampère cho một đường tròn đồng tâm với dây dẫn, bán kính $ r $, ta có: $ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = B(2\pi r) = \mu_0 I $, suy ra $ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $.

b) Solenoid dài: Xét một solenoid dài với $ n $ vòng dây trên một đơn vị chiều dài mang dòng điện $ I $. Áp dụng định luật Ampère cho một đường khép kín hình chữ nhật bên trong solenoid, ta có: $ \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = Bl = \mu_0 nIl $, suy ra $ B = \mu_0 nI $, trong đó $ l $ là chiều dài của cạnh hình chữ nhật nằm song song với trục solenoid. Từ trường bên ngoài solenoid lý tưởng được coi là bằng không.

8. Mở rộng:

Định luật Ampère, cùng với định luật Gauss cho từ trường, định luật Faraday và định luật Gauss cho điện trường, tạo thành bốn phương trình Maxwell, nền tảng của điện động lực học cổ điển. Các phương trình Maxwell là tập hợp các phương trình vi phân mô tả đầy đủ các hiện tượng điện từ.

• Griffiths, D. J. (2007). Introduction to Electrodynamics (4th ed.). Pearson.
• Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (2011). The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2: Mainly Electromagnetism and Matter. Basic Books.
• Purcell, E. M., & Morin, D. J. (2013). Electricity and Magnetism (3rd ed.). Cambridge University Press.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa định luật Ampère và định luật Biot-Savart là gì, và khi nào nên sử dụng định luật nào?

Trả lời: Định luật Biot-Savart tính toán từ trường tại một điểm do một phân bố dòng điện bất kỳ tạo ra bằng cách cộng góp từ trường từ từng phần tử dòng điện. Công thức: $ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} $. Định luật Ampère liên hệ tích phân đường của từ trường dọc theo một đường cong kín với tổng dòng điện đi qua bề mặt giới hạn bởi đường cong đó: $ oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu0 I{enc} $. Nên dùng Biot-Savart cho trường hợp tổng quát, còn Ampère chỉ hiệu quả khi có đối xứng cao giúp đơn giản hóa việc tính toán.

Tại sao Maxwell phải bổ sung dòng dịch điện vào định luật Ampère? Việc bổ sung này có ý nghĩa gì?

Trả lời: Maxwell nhận thấy định luật Ampère ban đầu không tương thích với phương trình liên tục của dòng điện trong trường hợp dòng điện không ổn định. Ông bổ sung dòng dịch điện, $ \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} $, để đảm bảo sự bảo toàn điện tích và tạo ra định luật Ampère-Maxwell: $ oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu0 (I{enc} + \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}) $. Việc bổ sung này cho phép định luật áp dụng cho cả trường hợp điện động và dự đoán sự tồn tại của sóng điện từ.

Làm thế nào để chọn đường cong tích phân C phù hợp khi áp dụng định luật Ampère?

Trả lời: Đường cong C cần được chọn sao cho từ trường $ \vec{B} $ có độ lớn không đổi và song song hoặc vuông góc với $ d\vec{l} $ dọc theo đường cong. Điều này giúp đơn giản hóa tích phân đường. Tính đối xứng của bài toán sẽ quyết định hình dạng của đường cong C (ví dụ: hình tròn cho dây dẫn thẳng, hình chữ nhật cho solenoid).

Giải thích ý nghĩa vật lý của toán tử rot ($ \nabla \times $) trong dạng vi phân của định luật Ampère.

Trả lời: Toán tử rot ($ \nabla \times $) mô tả “độ xoáy” của trường vectơ. Trong dạng vi phân của định luật Ampère, $ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} $, nó biểu thị rằng mật độ dòng điện $ \vec{J} $ là nguồn tạo ra “độ xoáy” của từ trường $ \vec{B} $. Nói cách khác, dòng điện chạy theo một hướng sẽ tạo ra từ trường xoáy quanh nó.

Cho ví dụ về một hệ thống mà định luật Ampère không thể áp dụng trực tiếp để tính toán từ trường.

Trả lời: Một dây dẫn có hình dạng phức tạp, không có đối xứng, là một ví dụ mà định luật Ampère khó áp dụng trực tiếp. Trong trường hợp này, định luật Biot-Savart sẽ là công cụ phù hợp hơn để tính toán từ trường. Một ví dụ khác là trường hợp dòng điện biến thiên nhanh trong một mạch điện phức tạp, khi đó cần sử dụng dạng đầy đủ của phương trình Maxwell để mô tả chính xác hiện tượng.