Định luật Biot-Savart (Biot-Savart Law)

Phát biểu:

Định luật Biot-Savart phát biểu rằng vectơ cảm ứng từ $d\vec{B}$ tại một điểm P do một phần tử dòng điện $I d\vec{l}$ tạo ra được xác định bởi:

$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$

Trong đó:

• $d\vec{B}$: Vectơ cảm ứng từ tại điểm P do phần tử dòng điện $I d\vec{l}$ tạo ra.
• $\mu_0$: Độ từ thẩm của chân không ($\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$).
• $I$: Cường độ dòng điện.
• $d\vec{l}$: Vectơ phần tử dòng điện, có hướng trùng với chiều dòng điện.
• $\vec{r}$: Vectơ nối từ phần tử dòng điện $d\vec{l}$ đến điểm P.
• $r$: Khoảng cách từ phần tử dòng điện $d\vec{l}$ đến điểm P ($r = |\vec{r}|$).
• $\times$: Tích có hướng giữa $d\vec{l}$ và $\vec{r}$.

Công thức này cho phép ta tính toán $d\vec{B}$ – một phần đóng góp vô cùng nhỏ vào từ trường tại điểm P. Để tìm được tổng từ trường $\vec{B}$ tại điểm P do toàn bộ dòng điện tạo ra, ta cần phải lấy tích phân của $d\vec{B}$ trên toàn bộ chiều dài của dòng điện:

$\vec{B} = \int d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$

Ý nghĩa

• Hướng của $d\vec{B}$: Vuông góc với mặt phẳng chứa $d\vec{l}$ và $\vec{r}$, tuân theo quy tắc bàn tay phải. Nắm bàn tay phải sao cho các ngón tay cuộn theo chiều từ $d\vec{l}$ đến $\vec{r}$, ngón tay cái sẽ chỉ hướng của $d\vec{B}$.
• Độ lớn của $d\vec{B}$: Tỷ lệ thuận với cường độ dòng điện $I$, độ dài phần tử dòng điện $|d\vec{l}|$, sin của góc giữa $d\vec{l}$ và $\vec{r}$, và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $r^2$. Điều này có nghĩa là từ trường mạnh hơn khi dòng điện lớn hơn, phần tử dòng điện dài hơn, góc giữa $d\vec{l}$ và $\vec{r}$ gần $90^{\circ}$, và khoảng cách đến điểm P nhỏ hơn.

Ứng dụng

Định luật Biot-Savart được sử dụng để tính toán từ trường do nhiều dạng dòng điện tạo ra, ví dụ như:

• Từ trường của một dây dẫn thẳng dài: $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$. Công thức này cho thấy từ trường giảm dần khi khoảng cách đến dây dẫn tăng lên.
• Từ trường tại tâm của một vòng dây tròn: $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$. Ở đây, R là bán kính của vòng dây.
• Từ trường của một solenoid: $B = \mu_0 nI$, với $n$ là số vòng dây trên một đơn vị chiều dài. Solenoid là một cuộn dây dài, và công thức này chỉ áp dụng cho các điểm nằm bên trong solenoid, ở xa các đầu cuộn dây.

Hạn chế

Định luật Biot-Savart chỉ áp dụng cho dòng điện ổn định (tức là dòng điện không đổi theo thời gian). Đối với dòng điện thay đổi theo thời gian, cần sử dụng các định luật tổng quát hơn như định luật Ampère-Maxwell.

So sánh với định luật Ampère

Định luật Ampère cũng được sử dụng để tính toán từ trường, nhưng nó liên hệ từ trường với dòng điện bao quanh một đường cong kín. Định luật Biot-Savart lại liên hệ từ trường với từng phần tử dòng điện. Trong nhiều trường hợp, sử dụng định luật Ampère sẽ đơn giản hơn so với việc tích phân định luật Biot-Savart. Tuy nhiên, định luật Biot-Savart lại tổng quát hơn và có thể áp dụng cho các trường hợp mà định luật Ampère không áp dụng được. Cụ thể, định luật Ampère dạng tích phân chỉ dễ áp dụng khi hệ có tính đối xứng cao.

Tổng quát hóa cho dòng điện phân bố liên tục

Đối với dòng điện phân bố liên tục trong một thể tích, cường độ dòng điện được thay thế bằng mật độ dòng điện $\vec{J}$. Định luật Biot-Savart được viết lại thành:

$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{J} \, dV \times \vec{r}}{r^3}$

Trong đó:

• $\vec{J}$: Vectơ mật độ dòng điện.
• $dV$: Phần tử thể tích.

Để tính tổng từ trường tại điểm P do toàn bộ dòng điện tạo ra, ta cần tích phân biểu thức trên:

$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_V \frac{\vec{J} \times \vec{r}}{r^3} \, dV$

Tương tự, đối với dòng điện phân bố trên một mặt phẳng, ta sử dụng mật độ dòng điện mặt $\vec{K}$:

$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_S \frac{\vec{K} \times \vec{r}}{r^3} \, dA$

Trong đó:

• $\vec{K}$: Vectơ mật độ dòng điện mặt.
• $dA$: Phần tử diện tích.

Ví dụ

Tính từ trường tại một điểm cách dây dẫn thẳng dài mang dòng điện I một khoảng r.

Sử dụng định luật Biot-Savart: $d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}$.

Do tính đối xứng, ta chỉ cần xét thành phần từ trường vuông góc với dây dẫn. Sau khi tính toán và tích phân, ta thu được kết quả:

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Kết luận

Định luật Biot-Savart là một công cụ mạnh mẽ để tính toán từ trường do các dòng điện phân bố bất kỳ tạo ra. Mặc dù việc tính toán tích phân có thể phức tạp trong một số trường hợp, nhưng nó cung cấp một phương pháp tổng quát để giải quyết các bài toán từ học. Việc hiểu rõ định luật này là nền tảng cho việc nghiên cứu sâu hơn về điện từ học.

• Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, Serway and Jewett.
• Introduction to Electrodynamics, David Griffiths.
• Electricity and Magnetism, Purcell and Morin.

Câu hỏi và Giải đáp

Tại sao định luật Biot-Savart lại liên quan đến tích có hướng của $d\vec{l}$ và $\vec{r}$?

Trả lời: Tích có hướng $d\vec{l} \times \vec{r}$ phản ánh bản chất vector của từ trường. Hướng của từ trường do một phần tử dòng điện tạo ra luôn vuông góc với cả hướng dòng điện ($d\vec{l}$) và hướng của vector vị trí ($\vec{r}$). Quy tắc bàn tay phải được sử dụng để xác định hướng của vectơ từ trường. Nếu sử dụng tích vô hướng, ta sẽ không thể hiện được tính chất vector này của từ trường.

Làm thế nào để tính từ trường của một dây dẫn thẳng dài vô hạn mang dòng điện bằng định luật Biot-Savart?

Trả lời: Cần thiết lập tích phân $ \vec{B} = \frac{\mu0 I}{4\pi} int{-\infty}^{\infty} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} $ dọc theo dây dẫn. Sau khi biểu diễn $d\vec{l}$, $\vec{r}$ và $r$ theo các biến thích hợp (ví dụ, góc và khoảng cách đến dây), ta có thể tính toán tích phân này và thu được kết quả $ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $, trong đó $r$ là khoảng cách từ điểm cần tính từ trường đến dây dẫn.

Sự khác biệt chính giữa định luật Biot-Savart và định luật Ampère là gì? Khi nào nên sử dụng định luật nào?

Trả lời: Định luật Biot-Savart tính toán từ trường dựa trên từng phần tử dòng điện, trong khi định luật Ampère liên hệ từ trường với dòng điện bao quanh một đường cong kín. Định luật Ampère thường dễ sử dụng hơn cho các trường hợp có tính đối xứng cao, trong khi định luật Biot-Savart tổng quát hơn và có thể áp dụng cho mọi phân bố dòng điện, kể cả khi không có đối xứng.

Định luật Biot-Savart có áp dụng được cho dòng điện thay đổi theo thời gian không? Tại sao?

Trả lời: Không. Định luật Biot-Savart chỉ áp dụng cho dòng điện ổn định (không đổi theo thời gian). Đối với dòng điện thay đổi theo thời gian, cần sử dụng định luật Ampère-Maxwell, một dạng tổng quát hơn của định luật Ampère, có tính đến dòng dịch chuyển.

Mật độ dòng điện $\vec{J}$ đóng vai trò gì trong định luật Biot-Savart khi xét đến phân bố dòng điện liên tục?

Trả lời: Mật độ dòng điện $\vec{J}$ cho biết cường độ dòng điện trên một đơn vị diện tích. Khi xét đến phân bố dòng điện liên tục, ta không thể sử dụng $Id\vec{l}$ như trong trường hợp dòng điện chạy trong dây dẫn mỏng. Thay vào đó, ta sử dụng $\vec{J}dV$, trong đó $dV$ là phần tử thể tích, để biểu diễn dòng điện trong phần tử thể tích đó. Công thức Biot-Savart được viết lại thành $ d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{J} dV \times \vec{r}}{r^3} $. Để tính tổng từ trường, ta cần tích phân biểu thức này trên toàn bộ thể tích chứa dòng điện.