Định luật Darcy (Darcy’s Law)

Định luật Darcy thiết lập một mối quan hệ tuyến tính giữa tốc độ dòng chảy, độ nhớt của chất lỏng và gradien áp suất. Đây được xem là một trong những nền tảng quan trọng nhất của ngành địa chất thủy văn và là cơ sở cho nhiều phân tích trong các lĩnh vực khoa học Trái Đất khác.

Ngày nay, định luật Darcy được ứng dụng rộng rãi không chỉ trong thủy văn học mà còn trong các lĩnh vực như kỹ thuật dầu khí, kỹ thuật hóa học và địa chất công trình để mô hình hóa và dự báo chuyển động của các chất lỏng trong lòng đất.

Phát biểu Định luật

Định luật Darcy mô tả mối quan hệ giữa lưu lượng dòng chảy của một chất lỏng qua môi trường xốp với các thuộc tính của chất lỏng và chính môi trường đó. Phương trình toán học của định luật này được biểu diễn như sau:

$Q = – \frac{kA}{\mu} \frac{(P_b – P_a)}{L}$

Trong đó:

• $Q$: Lưu lượng thể tích của chất lỏng (đơn vị: m³/s).
• $k$: Độ thấm của môi trường xốp (đơn vị: m²). Đây là một hằng số nội tại của môi trường, đặc trưng cho khả năng cho phép chất lỏng chảy qua nó.
• $A$: Diện tích mặt cắt ngang của môi trường vuông góc với phương của dòng chảy (đơn vị: m²).
• $\mu$: Độ nhớt động lực học của chất lỏng (đơn vị: Pa·s).
• $(P_b – P_a)$: Độ chênh lệch áp suất giữa hai điểm b và a (đơn vị: Pa).
• $L$: Khoảng cách giữa hai điểm a và b theo phương của dòng chảy (đơn vị: m).

Dấu trừ (-) trong công thức là một quy ước quan trọng, cho thấy rằng dòng chảy luôn di chuyển từ vùng có áp suất cao đến vùng có áp suất thấp. Điều này có nghĩa là nếu áp suất tại điểm cuối ($P_b$) thấp hơn áp suất tại điểm đầu ($P_a$), thì gradien áp suất $(P_b – P_a)/L$ sẽ âm, dẫn đến lưu lượng $Q$ có giá trị dương, phù hợp với chiều quy ước của dòng chảy.

Vận tốc Darcy (Darcy Velocity)

Từ phương trình cơ bản, người ta thường định nghĩa một đại lượng gọi là vận tốc Darcy (còn gọi là thông lượng Darcy hay vận tốc lọc), ký hiệu là $q$. Đại lượng này được tính bằng cách lấy lưu lượng thể tích $Q$ chia cho diện tích mặt cắt ngang $A$:

$q = \frac{Q}{A} = – \frac{k}{\mu} \frac{(P_b – P_a)}{L}$

Điều quan trọng cần lưu ý là vận tốc Darcy không phải là vận tốc thực tế mà các phân tử chất lỏng di chuyển bên trong các lỗ rỗng. Nó là một vận tốc giả định, được tính toán như thể dòng chảy được phân bố đều trên toàn bộ diện tích mặt cắt ngang $A$ (bao gồm cả phần hạt rắn và lỗ rỗng). Vận tốc thực tế của dòng chảy trong các lỗ rỗng (còn gọi là vận tốc thấm) sẽ lớn hơn, do chất lỏng chỉ có thể di chuyển qua phần diện tích rỗng của môi trường.

Vận tốc thấm thực tế (Seepage Velocity)

Trong khi vận tốc Darcy là một đại lượng hữu ích cho việc tính toán lưu lượng tổng thể, nó không phản ánh tốc độ di chuyển thực sự của các phân tử chất lỏng. Vận tốc thấm thực tế, còn gọi là vận tốc kẽ hở (ký hiệu là $v$), mô tả vận tốc trung bình của dòng chảy bên trong các kênh rỗng của môi trường.

Vận tốc này luôn lớn hơn vận tốc Darcy vì chất lỏng chỉ có thể chảy qua phần không gian rỗng, không phải toàn bộ diện tích mặt cắt ngang. Mối quan hệ giữa hai vận tốc này được xác định thông qua độ rỗng hiệu dụng ($\phi_e$) của môi trường:

$v = \frac{q}{\phi_e} = \frac{Q}{A \phi_e}$

Độ rỗng hiệu dụng ($\phi_e$) là tỷ lệ giữa thể tích của các lỗ rỗng có kết nối với nhau (cho phép dòng chảy đi qua) so với tổng thể tích của môi trường. Vì $\phi_e$ luôn nhỏ hơn 1, vận tốc thấm thực tế ($v$) sẽ luôn lớn hơn vận tốc Darcy ($q$).

Định luật Darcy dưới dạng Gradient Thủy lực

Trong các ứng dụng thực tế của địa chất thủy văn và kỹ thuật dân dụng, việc sử dụng chênh lệch áp suất đôi khi không thuận tiện bằng việc sử dụng cột nước thủy lực (hydraulic head). Cột nước ($h$) tại một điểm là tổng của cột áp suất và cột độ cao, thể hiện tổng năng lượng của dòng chảy. Gradient thủy lực ($i$) được định nghĩa là sự thay đổi của cột nước trên một đơn vị chiều dài dòng chảy:

$i = \frac{\Delta h}{L}$

Khi đó, định luật Darcy có thể được viết lại dưới một dạng rất phổ biến:

$q = -K \cdot i$

Ở đây, $K$ là độ dẫn thủy lực (hydraulic conductivity), một thông số cực kỳ quan trọng trong thủy văn. Không giống như độ thấm ($k$) chỉ là thuộc tính của môi trường xốp, độ dẫn thủy lực ($K$) là một thông số kết hợp, phụ thuộc vào cả đặc tính của môi trường ($k$) và đặc tính của chất lỏng (khối lượng riêng $\rho$ và độ nhớt $\mu$):

$K = \frac{k \rho g}{\mu}$

Trong đó $g$ là gia tốc trọng trường. Dạng phương trình này rất hữu ích khi nghiên cứu dòng chảy của nước trong đất và các tầng ngậm nước.

Phạm vi áp dụng và Giới hạn

Định luật Darcy là một công cụ mạnh mẽ nhưng chỉ chính xác trong những điều kiện nhất định.

Phạm vi áp dụng:

• Định luật Darcy mô tả chính xác dòng chảy tầng (laminar flow), nơi các lớp chất lỏng di chuyển song song một cách trật tự. Điều này tương ứng với các dòng chảy có số Reynolds ($Re$) thấp, thường là $Re < 1$, mặc dù giới hạn này có thể mở rộng đến 10 trong một số trường hợp cụ thể.

Các giới hạn chính:

• Dòng chảy rối (Turbulent Flow): Khi vận tốc dòng chảy tăng cao (ví dụ, gần các giếng bơm công suất lớn hoặc trong các môi trường có lỗ rỗng lớn như sỏi cuội), các hiệu ứng quán tính trở nên đáng kể, dòng chảy chuyển sang trạng thái rối và mối quan hệ tuyến tính của Darcy không còn đúng. Lúc này cần dùng các phương trình như phương trình Forchheimer.
• Môi trường không đồng nhất và dị hướng: Định luật Darcy giả định môi trường là đồng nhất (độ thấm không đổi tại mọi điểm) và đẳng hướng (độ thấm như nhau theo mọi hướng). Trong thực tế, các thành tạo địa chất thường không đồng nhất và dị hướng. Khi đó, độ thấm $k$ không còn là một giá trị vô hướng mà trở thành một tenxơ.
• Dòng chảy không bão hòa: Định luật Darcy nguyên bản được phát triển cho môi trường bão hòa (tất cả lỗ rỗng đều chứa đầy chất lỏng). Trong vùng không bão hòa (ví dụ, đất ở trên mực nước ngầm), sự có mặt của không khí làm giảm khả năng thấm của chất lỏng. Độ dẫn thủy lực lúc này không phải là hằng số mà trở thành một hàm phụ thuộc vào độ bão hòa của nước.
• Môi trường nứt nẻ: Trong các khối đá cứng bị nứt nẻ, dòng chảy tập trung chủ yếu trong các khe nứt thay vì chảy qua ma trận đá. Dòng chảy trong các khe nứt này tuân theo các quy luật khác (như định luật khối lập phương – cubic law) và không thể mô tả chính xác bằng định luật Darcy.

Ứng dụng

Định luật Darcy là nền tảng cho vô số ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật:

• Trong địa chất thủy văn, nó là công cụ không thể thiếu để tính toán dòng chảy của nước ngầm, xác định vùng ảnh hưởng của giếng khoan, và mô hình hóa sự di chuyển của nước trong các tầng chứa nước.
• Trong kỹ thuật dầu khí, định luật này được dùng để mô hình hóa và dự báo dòng chảy của dầu, khí và nước trong các tầng chứa, từ đó giúp tối ưu hóa các chiến lược khai thác và thu hồi dầu.
• Trong khoa học môi trường, nó giúp đánh giá và dự báo sự lan truyền của các chất ô nhiễm trong đất và nước ngầm, hỗ trợ cho việc thiết kế các giải pháp xử lý và khắc phục ô nhiễm.
• Trong kỹ thuật xây dựng, nó được áp dụng để phân tích sự ổn định của mái dốc, thiết kế hệ thống tiêu thoát nước cho đập đất, và tính toán thấm qua nền móng công trình.
• Trong nông nghiệp và khoa học đất, định luật Darcy giúp nghiên cứu sự di chuyển của nước tưới và các chất dinh dưỡng trong đất, ảnh hưởng đến sự phát triển của cây trồng.

Định luật Darcy là một công cụ cơ bản và mạnh mẽ để mô tả và dự đoán dòng chảy của chất lỏng trong môi trường xốp. Mặc dù có một số giới hạn, định luật này vẫn là nền tảng cho nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật. Việc hiểu rõ các dạng khác nhau của định luật và phạm vi áp dụng của nó là rất quan trọng để sử dụng định luật này một cách hiệu quả.

Định luật Darcy mở rộng (Extended Darcy’s Law)

Để khắc phục các giới hạn của định luật Darcy cổ điển, nhiều phương trình mở rộng đã được phát triển.

Phương trình Brinkman

Phương trình Brinkman mở rộng định luật Darcy bằng cách thêm vào một số hạng thể hiện sự khuếch tán mô men do lực nhớt, tương tự như trong phương trình Navier-Stokes. Điều này rất quan trọng khi phân tích dòng chảy ở các vùng chuyển tiếp, chẳng hạn như ranh giới giữa một môi trường xốp và một kênh dòng chảy tự do, hoặc trong các môi trường có độ rỗng rất cao.

$-\nabla P – \frac{\mu}{k} \mathbf{u} + \mu_{eff} \nabla^2 \mathbf{u} = 0$

Trong đó:

• $-\nabla P$: Gradien áp suất, động lực của dòng chảy.
• $\frac{\mu}{k} \mathbf{u}$: Số hạng Darcy, đại diện cho lực cản do ma trận xốp gây ra.
• $\mu_{eff} \nabla^2 \mathbf{u}$: Số hạng Brinkman (hay số hạng nhớt), mô tả ứng suất cắt trong lòng chất lỏng, với $\mu_{eff}$ là độ nhớt hiệu dụng.

Phương trình Forchheimer

Khi số Reynolds tăng và các hiệu ứng quán tính trở nên đáng kể, phương trình Forchheimer được sử dụng. Nó bổ sung một số hạng phi tuyến bậc hai vào định luật Darcy để tính đến sự tiêu hao năng lượng do quán tính.

$-\nabla P = \frac{\mu}{k} \mathbf{u} + \beta \rho |\mathbf{u}| \mathbf{u}$

Trong đó:

• $\beta$: Hệ số Forchheimer (còn gọi là hệ số quán tính), phụ thuộc vào cấu trúc hình học của môi trường xốp.
• Số hạng $\beta \rho |\mathbf{u}| \mathbf{u}$ đại diện cho sự sụt áp do các hiệu ứng quán tính (sự uốn lượn, co hẹp và mở rộng đột ngột của các kênh rỗng).

Định luật Darcy cho dòng chảy đa pha

Khi có nhiều hơn một pha chất lỏng không trộn lẫn (ví dụ: dầu, nước và khí) cùng tồn tại và di chuyển trong môi trường xốp, định luật Darcy được khái quát hóa cho từng pha. Khái niệm độ thấm tương đối ($k_{ri}$) được đưa vào để mô tả sự giảm khả năng chảy của một pha do sự cản trở của các pha khác.

$\mathbf{u}i = -\frac{k \cdot k{ri}}{\mu_i} (\nabla P_i – \rho_i \mathbf{g})$

Trong đó:

• $\mathbf{u}_i$: Vận tốc Darcy của pha $i$.
• $k_{ri}$: Độ thấm tương đối của pha $i$, là một hàm phi tuyến (giá trị từ 0 đến 1) của độ bão hòa các pha.
• $\mu_i$: Độ nhớt của pha $i$.
• $\nabla P_i$: Gradien áp suất trong pha $i$.

Trong dòng chảy đa pha, sự chênh lệch áp suất giữa các pha tại mặt phân cách (áp suất mao dẫn) cũng đóng một vai trò quyết định đến sự phân bố và chuyển động của các pha.

Xác định Độ thấm

Độ thấm ($k$) là một thuộc tính cốt lõi của môi trường xốp và việc xác định nó một cách chính xác là rất quan trọng.

• Thí nghiệm trong phòng thí nghiệm: Các mẫu lõi đá hoặc đất được đưa vào thiết bị gọi là thấm kế (permeameter). Bằng cách cho chất lỏng chảy qua mẫu dưới một chênh lệch áp suất đã biết và đo lưu lượng, độ thấm có thể được tính toán trực tiếp từ công thức Darcy.
• Thí nghiệm tại hiện trường: Các thí nghiệm bơm hút (pumping tests) hoặc thí nghiệm slug (slug tests) được tiến hành tại các giếng khoan. Bằng cách theo dõi sự thay đổi mực nước theo thời gian, các nhà thủy văn có thể suy ra các đặc tính thủy lực của tầng chứa nước trên quy mô lớn, bao gồm cả độ thấm hoặc độ dẫn thủy lực.
• Mô hình thực nghiệm và lý thuyết: Độ thấm có thể được ước tính từ các đặc điểm cấu trúc vi mô của môi trường xốp, chẳng hạn như phân bố kích thước hạt, độ rỗng và độ uốn lượn của kênh rỗng, thông qua các mối quan hệ thực nghiệm như phương trình Kozeny-Carman.

Tài liệu tham khảo

• Darcy, H. (1856). Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Victor Dalmont, Paris. (Công bố gốc của Darcy)
• Bear, J. (1972). Dynamics of Fluids in Porous Media. Dover Publications. (Cuốn sách kinh điển về động lực học chất lỏng trong môi trường xốp)
• Dullien, F. A. L. (1992). Porous Media: Fluid Transport and Pore Structure. Academic Press. (Một cuốn sách chuyên sâu về cấu trúc và vận chuyển trong môi trường xốp)
• Fetter, C. W. (2001). Applied Hydrogeology. Prentice Hall. (Cuốn sách giáo trình về thủy văn học ứng dụng)
• Scheidegger, A. E. (1974). The Physics of Flow through Porous Media. University of Toronto Press. (Cuốn sách về các khía cạnh vật lý của dòng chảy trong môi trường xốp)
• Whitaker, S. (1986). Flow in porous media I: A theoretical derivation of Darcy’s law. Transport in Porous Media, 1(1), 3-25. (Bài báo khoa học về nguồn gốc lý thuyết của Định luật Darcy)
• Hubbert, M. K. (1940). The theory of ground-water motion. The Journal of Geology, 48(8, Part 1), 785-944.

Tóm tắt về Định luật Darcy

Định luật Darcy mô tả dòng chảy của chất lỏng qua môi trường xốp. Đây là một định luật thực nghiệm, được phát biểu bởi Henry Darcy vào năm 1856. Nó là nền tảng của thủy văn học, kỹ thuật dầu khí và nhiều lĩnh vực khác.

Công thức cốt lõi của Định luật Darcy là: $Q = – \frac{kA}{\mu} \frac{\Delta P}{L}$. Lưu lượng thể tích ($Q$) tỉ lệ thuận với độ chênh lệch áp suất ($\Delta P$) và diện tích mặt cắt ngang ($A$), tỉ lệ nghịch với chiều dài dòng chảy ($L$) và độ nhớt của chất lỏng ($\mu$). Độ thấm ($k$) là một đặc tính quan trọng của môi trường xốp, thể hiện khả năng cho chất lỏng đi qua. Dấu trừ (-) cho biết dòng chảy diễn ra từ nơi áp suất cao đến nơi áp suất thấp.

Vận tốc Darcy ($q = Q/A$) là một đại lượng trung bình, không phải vận tốc thực tế của chất lỏng trong lỗ rỗng. Vận tốc thực ($v = q/\phi$) liên quan đến vận tốc Darcy qua độ rỗng ($\phi$). Trong thủy văn học, Định luật Darcy thường được viết dưới dạng gradient thủy lực ($i = -\Delta h/L$), với $q = -Ki$, và $K$ là độ dẫn thủy lực.

Định luật Darcy có giới hạn áp dụng. Nó chỉ chính xác cho dòng chảy tầng (laminar flow), khi số Reynolds nhỏ. Đối với dòng chảy rối, phương trình Forchheimer được sử dụng, có thêm một số hạng bậc hai để tính đến ảnh hưởng của quán tính. Phương trình Brinkman xét đến lực nhớt trong bản thân chất lỏng. Đối với dòng chảy đa pha, khái niệm độ thấm tương đối được sử dụng.

Độ thấm có thể được xác định bằng nhiều phương pháp, bao gồm thí nghiệm trong phòng thí nghiệm, thí nghiệm hiện trường và mô hình hóa. Việc hiểu rõ các giới hạn và biến thể của Định luật Darcy là rất quan trọng để áp dụng nó một cách chính xác và hiệu quả trong các bài toán thực tế.

Câu hỏi và Giải đáp

Tại sao Định luật Darcy lại sử dụng gradient áp suất ($\Delta P / L$) thay vì áp suất tuyệt đối ($P$) để mô tả dòng chảy?

Trả lời: Định luật Darcy sử dụng gradient áp suất ($\Delta P / L$) vì dòng chảy trong môi trường xốp được thúc đẩy bởi sự chênh lệch áp suất giữa hai điểm, chứ không phải bởi giá trị áp suất tuyệt đối tại một điểm. Chất lỏng sẽ di chuyển từ nơi có áp suất cao đến nơi có áp suất thấp, bất kể giá trị áp suất tuyệt đối là bao nhiêu. Gradient áp suất thể hiện độ dốc của áp suất dọc theo chiều dài dòng chảy, và đây mới là yếu tố quyết định tốc độ dòng chảy. Sử dụng áp suất tuyệt đối sẽ không phản ánh được hướng và cường độ của dòng chảy.

Trong trường hợp nào thì Định luật Darcy không còn chính xác, và tại sao?

Trả lời: Định luật Darcy không còn chính xác trong các trường hợp sau:

• Dòng chảy rối (Turbulent Flow): Khi vận tốc dòng chảy quá cao, dòng chảy chuyển từ tầng (laminar) sang rối (turbulent). Lúc này, các lực quán tính trở nên đáng kể so với lực nhớt, và Định luật Darcy (vốn chỉ xét đến lực nhớt) không còn mô tả chính xác mối quan hệ giữa lưu lượng và gradient áp suất. Phương trình Forchheimer ($\nabla P = \frac{\mu}{k} \mathbf{u} + \beta \rho |\mathbf{u}| \mathbf{u}$) được sử dụng thay thế, có thêm một số hạng bậc hai để tính đến ảnh hưởng của quán tính.
• Môi trường không đồng nhất (Heterogeneous) và không đẳng hướng (Anisotropic): Định luật Darcy giả định môi trường xốp là đồng nhất (tính chất như nhau tại mọi điểm) và đẳng hướng (tính chất như nhau theo mọi hướng). Trong thực tế, độ thấm ($k$) của môi trường có thể thay đổi theo vị trí và hướng, làm cho Định luật Darcy không còn chính xác.
• Dòng chảy không bão hòa (Unsaturated Flow): Định luật Darcy mô tả dòng chảy bão hòa (tất cả các lỗ rỗng chứa đầy chất lỏng). Trong trường hợp không bão hòa, độ thấm và độ dẫn thủy lực trở thành hàm của độ bão hòa, làm cho mối quan hệ trở nên phức tạp hơn.
• Dòng chảy trong môi trường có khe nứt, hang động (fractured/karst media): Dòng chảy trong các môi trường này thường tập trung trong các khe nứt hoặc hang động, không tuân theo quy luật phân bố đều trong môi trường xốp như giả định của Định luật Darcy.

Làm thế nào để xác định độ thấm ($k$) của một môi trường xốp trong thực tế?

Trả lời: Độ thấm ($k$) có thể được xác định bằng các phương pháp sau:

• Thí nghiệm trong phòng thí nghiệm (Laboratory Tests): Mẫu lõi (core samples) được lấy từ môi trường xốp. Các thí nghiệm đo lưu lượng ($Q$), gradient áp suất ($\Delta P / L$), diện tích mặt cắt ngang ($A$) và độ nhớt ($\mu$) được thực hiện trong điều kiện kiểm soát. Sau đó, độ thấm được tính toán từ Định luật Darcy: $k = -\frac{Q \mu L}{A \Delta P}$.
• Thí nghiệm hiện trường (Field Tests): Các phép thử bơm (pumping tests) là phương pháp phổ biến. Nước được bơm ra khỏi giếng khoan với một lưu lượng nhất định, và sự thay đổi mực nước trong giếng và các giếng quan trắc xung quanh được ghi lại. Dữ liệu này được phân tích bằng các phương trình lý thuyết (ví dụ: phương trình Theis) để ước tính độ thấm của tầng chứa nước.
• Mô hình hóa (Modeling): Các mô hình dựa trên cấu trúc hình học của môi trường xốp (kích thước hạt, độ rỗng, độ uốn lượn…) có thể được sử dụng để ước tính độ thấm. Các mô hình này thường dựa trên các mối quan hệ thực nghiệm hoặc lý thuyết giữa độ thấm và các thông số cấu trúc. Ví dụ: công thức Kozeny-Carman.

Định luật Darcy có thể áp dụng cho chất khí không? Nếu có, cần lưu ý điều gì?

Trả lời: Có, Định luật Darcy có thể áp dụng cho chất khí, nhưng cần lưu ý một số điểm sau:

• Tính nén được của chất khí: Chất khí có tính nén được cao hơn nhiều so với chất lỏng. Điều này có nghĩa là khối lượng riêng ($\rho$) của chất khí thay đổi đáng kể theo áp suất. Do đó, khi áp dụng Định luật Darcy cho chất khí, cần phải xem xét sự thay đổi của khối lượng riêng dọc theo dòng chảy.
• Hiệu ứng Klinkenberg (Klinkenberg Effect): Ở áp suất thấp, độ thấm của chất khí có thể cao hơn so với dự đoán của Định luật Darcy. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Klinkenberg, xảy ra do sự trượt của các phân tử khí trên bề mặt của các hạt rắn trong môi trường xốp. Hiệu ứng này trở nên đáng kể khi kích thước lỗ rỗng tương đương với quãng đường tự do trung bình của các phân tử khí.
  • Độ thấm Klinkenberg: $kg = k (1 + \frac{b}{P{avg}})$.
  • Trong đó:
  • $k_g$ là độ thấm của chất khí
  • $k$ là độ thấm tuyệt đối (ở áp suất cao).
    • $b$ là hệ số Klinkenberg.
    • $P_{avg}$ là áp suất trung bình.
• Định luật Darcy thường được viết dưới dạng khác cho chất khí: Thay vì sử dụng lưu lượng thể tích ($Q$), người ta thường sử dụng lưu lượng khối ($Q_m = \rho Q$). Định luật Darcy có thể được viết lại dưới dạng: $Q_m = – \frac{kA}{\mu} \frac{\Delta (P^2)}{2L}$. Công thức này đã xét đến sự thay đổi của khối lượng riêng theo áp suất (giả sử khí lý tưởng).

Mối quan hệ giữa Định luật Darcy và phương trình Navier-Stokes là gì?

Trả lời: Phương trình Navier-Stokes là phương trình tổng quát mô tả chuyển động của chất lỏng nhớt. Định luật Darcy có thể được coi là một trường hợp đặc biệt, một dạng đơn giản hóa của phương trình Navier-Stokes trong môi trường xốp, dưới các giả định sau:

• Dòng chảy tầng (Laminar Flow): Số Reynolds ($Re$) nhỏ, các lực quán tính không đáng kể so với lực nhớt.
• Môi trường xốp đồng nhất và đẳng hướng: Độ thấm ($k$) là hằng số.
• Chất lỏng không nén được: Khối lượng riêng ($\rho$) không đổi.
• Bỏ qua gia tốc: Trường vận tốc không thay đổi theo thời gian ($\partial \mathbf{u} / \partial t = 0$).

Khi bỏ qua các số hạng quán tính và gia tốc trong phương trình Navier-Stokes, và thay thế lực nhớt bằng một số hạng tỉ lệ với vận tốc (theo Định luật Darcy), ta sẽ thu được một phương trình tương đương với Định luật Darcy. Nói cách khác, Định luật Darcy là một “phiên bản trung bình” của phương trình Navier-Stokes trong môi trường xốp, khi các hiệu ứng vi mô (dòng chảy trong từng lỗ rỗng) được thay thế bằng các thông số vĩ mô (độ thấm, vận tốc Darcy).