Định luật Fourier về dẫn nhiệt (Fourier’s law of heat conduction)

Phát biểu toán học:

Dạng vi phân của định luật Fourier được biểu diễn như sau:

$q = -k \nabla T$

Trong đó:

• $q$ là mật độ dòng nhiệt (vector), đơn vị là W/m² (Watts trên mét vuông). Nó biểu thị lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian.
• $k$ là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu, đơn vị là W/(m·K) (Watts trên mét Kelvin). Hệ số này thể hiện khả năng dẫn nhiệt của vật liệu. Giá trị $k$ càng cao thì vật liệu dẫn nhiệt càng tốt.
• $\nabla T$ là gradient nhiệt độ (vector), đơn vị là K/m (Kelvin trên mét). Nó biểu thị sự thay đổi nhiệt độ theo khoảng cách. Gradient nhiệt độ chỉ hướng tăng nhiệt độ, trong khi dòng nhiệt $q$ lại hướng từ nơi có nhiệt độ cao đến nơi có nhiệt độ thấp, do đó xuất hiện dấu trừ trong công thức. Dấu trừ này thể hiện rằng nhiệt luôn truyền từ vùng có nhiệt độ cao hơn sang vùng có nhiệt độ thấp hơn.

Truyền nhiệt một chiều

Trong trường hợp truyền nhiệt một chiều (ví dụ, qua một bức tường phẳng), định luật Fourier có thể được đơn giản hóa thành:

$q = -k \frac{dT}{dx}$

Trong đó:

• $q$ là mật độ dòng nhiệt theo hướng x.
• $dT/dx$ là gradient nhiệt độ theo hướng x. Nói cách khác, đây là đạo hàm của nhiệt độ theo biến x, thể hiện sự thay đổi nhiệt độ trên mỗi đơn vị chiều dài theo hướng x.

Dạng tích phân

Dạng tích phân của định luật Fourier, áp dụng cho trường hợp ổn định (nhiệt độ không đổi theo thời gian), được viết là:

$Q = -kA \frac{\Delta T}{\Delta x}$

Trong đó:

• $Q$ là tốc độ truyền nhiệt (công suất nhiệt), đơn vị là W (Watts).
• $A$ là diện tích mặt cắt ngang mà nhiệt truyền qua, đơn vị là m².
• $\Delta T$ là hiệu số nhiệt độ giữa hai điểm. Cụ thể hơn, $\Delta T = T_2 – T_1$ với $T_2$ là nhiệt độ tại điểm nóng hơn và $T_1$ là nhiệt độ tại điểm lạnh hơn.
• $\Delta x$ là khoảng cách giữa hai điểm đó, hay nói cách khác là độ dày của vật liệu mà nhiệt truyền qua.

Ứng dụng

Định luật Fourier có nhiều ứng dụng quan trọng trong kỹ thuật và khoa học, bao gồm:

• Thiết kế hệ thống sưởi ấm và làm lạnh cho tòa nhà, giúp tối ưu hóa hiệu suất năng lượng và đảm bảo nhiệt độ thoải mái.
• Tính toán tốc độ truyền nhiệt qua các bộ phận của động cơ, giúp dự đoán nhiệt độ vận hành và thiết kế hệ thống làm mát phù hợp.
• Phân tích sự truyền nhiệt trong các quá trình công nghiệp, chẳng hạn như trong lò nung, thiết bị trao đổi nhiệt, và các quy trình sản xuất khác.
• Dự đoán nhiệt độ trong các vật liệu khi chịu tác động của nguồn nhiệt, giúp đánh giá tính an toàn và hiệu suất của vật liệu trong các ứng dụng cụ thể.

Hạn chế

Định luật Fourier là một mô hình gần đúng và có một số hạn chế:

• Nó giả định rằng vật liệu đồng nhất và đẳng hướng, nghĩa là tính chất của vật liệu không thay đổi theo vị trí và hướng. Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều vật liệu không đồng nhất và/hoặc không đẳng hướng.
• Nó không áp dụng cho các trường hợp truyền nhiệt bức xạ hoặc đối lưu. Định luật Fourier chỉ mô tả sự truyền nhiệt qua dẫn truyền, trong khi bức xạ và đối lưu là các cơ chế truyền nhiệt khác biệt.
• Nó không chính xác ở nhiệt độ rất cao hoặc rất thấp, hoặc trong các vật liệu có cấu trúc vi mô phức tạp. Ở nhiệt độ cực cao hoặc cực thấp, các tính chất nhiệt của vật liệu có thể thay đổi đáng kể, ảnh hưởng đến độ chính xác của định luật Fourier.

Mặc dù có những hạn chế này, định luật Fourier vẫn là một công cụ quan trọng để hiểu và dự đoán sự truyền nhiệt trong nhiều tình huống thực tế.

Mở rộng cho trường hợp ba chiều

Như đã đề cập, dạng tổng quát của định luật Fourier sử dụng toán tử gradient $\nabla$. Trong hệ tọa độ Descartes ba chiều (x, y, z), định luật Fourier được viết là:

$q_x = -k \frac{\partial T}{\partial x}$
$q_y = -k \frac{\partial T}{\partial y}$
$q_z = -k \frac{\partial T}{\partial z}$

Ở đây, $q_x$, $q_y$, và $q_z$ là các thành phần của vector mật độ dòng nhiệt $q$ theo các hướng x, y, và z tương ứng. Tổng hợp lại, ta có $q = -k(\frac{\partial T}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial T}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial T}{\partial z} \hat{k})$, với $\hat{i}$, $\hat{j}$, và $\hat{k}$ là các vector đơn vị theo hướng x, y, và z.

Phương trình nhiệt

Kết hợp định luật Fourier với định luật bảo toàn năng lượng, ta có thể suy ra phương trình nhiệt, một phương trình vi phân riêng mô tả sự thay đổi nhiệt độ theo thời gian và không gian. Đối với vật liệu đồng nhất và đẳng hướng, phương trình nhiệt có dạng:

$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = k \nabla^2 T + Q_g$

Trong đó:

• $\rho$ là khối lượng riêng của vật liệu.
• $c_p$ là nhiệt dung riêng của vật liệu ở áp suất không đổi.
• $t$ là thời gian.
• $\nabla^2 T$ là toán tử Laplace của nhiệt độ, biểu thị độ cong của phân bố nhiệt độ. Trong hệ tọa độ Descartes, $\nabla^2 T = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$.
• $Q_g$ là tốc độ sinh nhiệt bên trong vật liệu (ví dụ, do phản ứng hóa học hoặc dòng điện).

Ảnh hưởng của tính dị hướng

Trong vật liệu dị hướng, hệ số dẫn nhiệt $k$ không phải là một hằng số vô hướng mà là một tensor hạng hai. Điều này có nghĩa là khả năng dẫn nhiệt của vật liệu phụ thuộc vào hướng. Trong trường hợp này, định luật Fourier được viết là:

$q = – \mathbf{k} \nabla T$

Trong đó $\mathbf{k}$ là tensor dẫn nhiệt.

Một số ví dụ về giá trị hệ số dẫn nhiệt

Một số ví dụ về giá trị hệ số dẫn nhiệt $k$ của một số vật liệu ở nhiệt độ phòng:

• Đồng: ~400 W/(m·K)
• Nhôm: ~200 W/(m·K)
• Thép: ~50 W/(m·K)
• Gỗ: ~0.1 W/(m·K)
• Không khí: ~0.025 W/(m·K)

• Incropera, Frank P., and David P. DeWitt. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, 2011.
• Bergman, Theodore L., et al. Fundamentals of heat and mass transfer. John Wiley & Sons, 2017.
• Çengel, Yunus A., and Afshin J. Ghajar. Heat and mass transfer: fundamentals and applications. McGraw-Hill Education, 2015.

Câu hỏi và Giải đáp

Định luật Fourier có áp dụng cho mọi loại vật liệu không? Có những ngoại lệ nào?

Trả lời: Định luật Fourier áp dụng tốt cho hầu hết các vật liệu rắn, lỏng và khí trong điều kiện nhiệt độ và áp suất thông thường. Tuy nhiên, nó có thể kém chính xác hơn với các vật liệu có cấu trúc vi mô phức tạp, như vật liệu xốp hoặc vật liệu composite. Ngoài ra, ở nhiệt độ rất cao hoặc rất thấp, hoặc trong trường hợp gradien nhiệt độ cực lớn, định luật Fourier có thể không còn chính xác. Một số siêu vật liệu cũng có thể thể hiện hành vi dẫn nhiệt không tuân theo định luật Fourier.

Làm thế nào để xác định hệ số dẫn nhiệt $k$ của một vật liệu?

Trả lời: Có nhiều phương pháp để đo hệ số dẫn nhiệt $k$. Một số phương pháp phổ biến bao gồm phương pháp thanh ổn định, phương pháp đĩa nóng bảo vệ, và phương pháp flash laser. Các phương pháp này đều dựa trên việc đo dòng nhiệt qua một mẫu vật liệu khi có gradien nhiệt độ xác định.

Sự khác biệt giữa dẫn nhiệt, đối lưu và bức xạ là gì? Tại sao định luật Fourier chỉ áp dụng cho dẫn nhiệt?

Trả lời: Dẫn nhiệt là sự truyền nhiệt qua vật chất mà không có sự di chuyển của vật chất đó. Đối lưu là sự truyền nhiệt bằng sự chuyển động của chất lỏng hoặc khí. Bức xạ là sự truyền nhiệt bằng sóng điện từ. Định luật Fourier chỉ áp dụng cho dẫn nhiệt vì nó dựa trên sự tương tác giữa các phân tử trong vật liệu, trong khi đối lưu và bức xạ liên quan đến các cơ chế truyền nhiệt khác.

Trong phương trình nhiệt, $\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = k \nabla^2 T + Q_g$, ý nghĩa của toán tử Laplace $\nabla^2 T$ là gì?

Trả lời: Toán tử Laplace $\nabla^2 T$ biểu thị độ cong của phân bố nhiệt độ trong không gian. Nó thể hiện sự thay đổi của gradien nhiệt độ. Giá trị dương của $\nabla^2 T$ tại một điểm cho biết nhiệt độ tại điểm đó thấp hơn nhiệt độ trung bình của các điểm xung quanh, và ngược lại.

Nếu một vật liệu có hệ số dẫn nhiệt thay đổi theo hướng (dị hướng), làm thế nào để áp dụng định luật Fourier?

Trả lời: Trong trường hợp vật liệu dị hướng, hệ số dẫn nhiệt $k$ không phải là một hằng số vô hướng mà là một tensor. Định luật Fourier được viết dưới dạng $q = -\mathbf{k} \nabla T$, trong đó $\mathbf{k}$ là tensor dẫn nhiệt. Việc tính toán dòng nhiệt trong trường hợp này phức tạp hơn và thường yêu cầu các phương pháp số.