Định luật Gauss cho điện trường (Gauss’s Law for Electric Fields)

Nội dung: Thông lượng điện trường qua một mặt kín bất kỳ bằng tổng điện tích bên trong mặt kín đó chia cho hằng số điện môi của môi trường. Điều này có thể được biểu diễn bằng công thức toán học sau:

$\Phi_E = \ointS \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q{in}}{\epsilon}$

Trong đó:

• $\Phi_E$ là thông lượng điện trường qua mặt kín $S$.
• $\mathbf{E}$ là vectơ cường độ điện trường.
• $d\mathbf{A}$ là vectơ diện tích vi phân hướng ra ngoài mặt kín.
• $Q_{in}$ là tổng điện tích bên trong mặt kín $S$.
• $\epsilon$ là hằng số điện môi của môi trường.

Công thức Toán học

Công thức toán học của định luật Gauss được biểu diễn như sau:

$\Phi_E = \ointS \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q{in}}{\epsilon_0}$

Trong đó:

• $\Phi_E$ là thông lượng điện trường qua mặt kín $S$.
• $\mathbf{E}$ là vectơ cường độ điện trường.
• $d\mathbf{A}$ là vectơ diện tích vi phân hướng ra ngoài mặt kín.
• $\oint_S$ là tích phân mặt trên toàn mặt kín $S$.
• $Q_{in}$ là tổng điện tích bên trong mặt kín $S$.
• $\epsilon_0$ là hằng số điện môi trong chân không, $\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} C^2/Nm^2$.

Trong môi trường điện môi:

Công thức được sửa đổi thành:

$\Phi_E = \ointS \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q{in}}{\epsilon}$

Với $\epsilon = \epsilon_r \epsilon_0$ là hằng số điện môi của môi trường, $\epsilon_r$ là hằng số điện môi tương đối của môi trường.

Ý nghĩa Vật lý

Định luật Gauss mang những ý nghĩa vật lý quan trọng sau:

• Mối liên hệ giữa điện trường và điện tích nguồn: Định luật Gauss liên hệ trực tiếp giữa điện trường và điện tích nguồn tạo ra nó. Điện tích là nguồn của điện trường.
• Tính độc lập của thông lượng với hình dạng và kích thước mặt kín: Thông lượng điện trường qua một mặt kín chỉ phụ thuộc vào điện tích bên trong mặt kín đó, không phụ thuộc vào hình dạng hay kích thước của mặt kín.
• Ảnh hưởng của điện tích bên ngoài: Điện tích nằm ngoài mặt kín không đóng góp vào thông lượng điện trường qua mặt kín đó.

Ứng dụng

Định luật Gauss được sử dụng để tính toán điện trường trong các trường hợp có tính đối xứng cao, chẳng hạn như:

• Điện trường của một điện tích điểm.
• Điện trường của một dây dẫn thẳng dài vô hạn mang điện tích đều.
• Điện trường của một mặt phẳng vô hạn mang điện tích đều.
• Điện trường của một quả cầu mang điện tích đều.
• Điện trường giữa hai bản tụ điện phẳng song song.

Lưu ý:

• Định luật Gauss chỉ dễ áp dụng khi bài toán có tính đối xứng cao, cho phép ta xác định được hướng của điện trường và chọn mặt Gauss phù hợp.
• Việc chọn mặt Gauss phù hợp là rất quan trọng để đơn giản hóa việc tính toán. Mặt Gauss thường được chọn sao cho điện trường song song hoặc vuông góc với mặt Gauss.

Ví dụ:

Xét một quả cầu bán kính R mang điện tích Q phân bố đều. Ta chọn mặt Gauss là một mặt cầu đồng tâm với quả cầu mang điện và có bán kính r.

• Nếu r > R: $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\epsilon_0} \Rightarrow E = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$
• Nếu r < R: $E \cdot 4\pi r^2 = \frac{Q’}{\epsilon_0}$ với $Q’ = \frac{r^3}{R^3} Q$ là điện tích bên trong mặt Gauss. Vậy $E = \frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 R^3}$

Mối quan hệ với Định luật Coulomb

Định luật Gauss và định luật Coulomb là hai cách diễn đạt khác nhau của cùng một hiện tượng vật lý. Thực tế, định luật Gauss có thể được suy ra từ định luật Coulomb và ngược lại. Định luật Coulomb mô tả lực tương tác giữa hai điện tích điểm, trong khi định luật Gauss mô tả mối quan hệ giữa điện trường và phân bố điện tích.

Đối với một điện tích điểm q, ta có thể chứng minh định luật Gauss từ định luật Coulomb. Xét một mặt cầu bán kính r bao quanh điện tích q. Điện trường tại mỗi điểm trên mặt cầu có độ lớn $E = \frac{kq}{r^2}$ và hướng ra ngoài (hoặc vào trong nếu q < 0). Thông lượng điện trường qua mặt cầu là:

$\Phi_E = \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = E \oint_S dA = E(4\pi r^2) = \frac{kq}{r^2}(4\pi r^2) = 4\pi kq$

Vì $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$, nên $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0}$, chính là định luật Gauss.

Hình dạng của mặt Gauss

Mặt Gauss là một mặt tưởng tượng khép kín bất kỳ mà ta chọn để áp dụng định luật Gauss. Việc lựa chọn mặt Gauss phụ thuộc vào tính đối xứng của bài toán. Một số mặt Gauss thường được sử dụng bao gồm:

• Mặt cầu: Thường dùng cho các bài toán có đối xứng hình cầu, ví dụ như điện tích điểm, quả cầu tích điện.
• Mặt trụ: Thường dùng cho các bài toán có đối xứng hình trụ, ví dụ như dây dẫn dài vô hạn mang điện tích đều.
• Hình hộp chữ nhật (hộp Gauss): Thường dùng cho các bài toán có đối xứng phẳng, ví dụ như mặt phẳng vô hạn mang điện tích đều.

Hạn chế của Định luật Gauss

Mặc dù định luật Gauss là một công cụ hữu ích, nó chỉ dễ dàng áp dụng khi bài toán có tính đối xứng cao. Trong các trường hợp phân bố điện tích phức tạp và không đối xứng, việc tính toán tích phân mặt trong định luật Gauss trở nên phức tạp và khó khăn. Trong những trường hợp này, việc sử dụng định luật Coulomb hoặc các phương pháp số có thể là lựa chọn tốt hơn.

• University Physics with Modern Physics, Young and Freedman, 14th edition.
• Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, Serway and Jewett, 10th edition.
• Introduction to Electrodynamics, Griffiths, 4th edition.
• Electricity and Magnetism, Purcell and Morin, 3rd edition.

Câu hỏi và Giải đáp

Tại sao điện tích nằm ngoài mặt Gauss không đóng góp vào thông lượng điện trường qua mặt đó?

Trả lời: Mỗi đường sức điện đi vào mặt Gauss từ bên ngoài cũng sẽ đi ra khỏi mặt Gauss. Do đó, tổng đóng góp của điện tích bên ngoài vào thông lượng là bằng không. Về mặt toán học, tích phân mặt của điện trường tạo ra bởi điện tích bên ngoài trên toàn bộ mặt Gauss sẽ bằng 0.

Làm thế nào để chọn mặt Gauss phù hợp cho một bài toán cụ thể?

Trả lời: Việc chọn mặt Gauss phụ thuộc vào tính đối xứng của bài toán. Mục tiêu là chọn một mặt sao cho điện trường $ \vec{E} $ trên mặt Gauss hoặc là song song với vectơ diện tích vi phân $ d\vec{A} $, hoặc là vuông góc với nó, hoặc có độ lớn không đổi. Điều này giúp đơn giản hóa việc tính tích phân mặt trong định luật Gauss.

Định luật Gauss có áp dụng được cho các trường hợp điện trường không đều không?

Trả lời: Về nguyên tắc, định luật Gauss luôn đúng cho bất kỳ phân bố điện tích nào. Tuy nhiên, việc áp dụng nó để tính toán điện trường chỉ dễ dàng khi có tính đối xứng cao. Nếu điện trường không đều và không có tính đối xứng rõ ràng, việc tính tích phân mặt $ oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} $ sẽ rất phức tạp, và định luật Gauss trở nên kém hiệu quả.

Mối liên hệ giữa thông lượng điện trường $ \Phi_E $ và số đường sức điện xuyên qua mặt Gauss là gì?

Trả lời: Thông lượng điện trường tỷ lệ với số đường sức điện xuyên qua mặt Gauss. Mật độ đường sức điện được quy ước biểu diễn độ lớn của điện trường. Do đó, thông lượng lớn hơn tương ứng với nhiều đường sức điện xuyên qua mặt hơn.

Nếu bên trong mặt Gauss không có điện tích ($ Q_{in} = 0 $), điều này có nghĩa là điện trường bên trong mặt Gauss bằng không?

Trả lời: Không nhất thiết. $ Q_{in} = 0 $ chỉ ngụ ý rằng thông lượng điện trường qua mặt Gauss bằng không ($ \Phi_E = 0 $). Điện trường vẫn có thể tồn tại bên trong mặt Gauss, nhưng tổng thông lượng (tính cả hướng vào và ra) sẽ bằng không. Ví dụ, nếu một điện tích dương đặt gần mặt Gauss, các đường sức sẽ đi vào và đi ra khỏi mặt Gauss, dẫn đến thông lượng tổng bằng không mặc dù điện trường khác không.