Định luật Gauss (Gauss’s Law)

Phát biểu:

Thông lượng điện trường qua một mặt kín bất kỳ bằng tổng đại số các điện tích nằm bên trong mặt kín đó chia cho hằng số điện môi của môi trường. Điều này có nghĩa là nếu biết phân bố điện tích bên trong một mặt kín, ta có thể tính được thông lượng điện trường qua mặt đó. Ngược lại, nếu biết thông lượng điện trường, ta có thể suy ra tổng điện tích bên trong.

Công thức và dạng vi phân

Công thức toán học của định luật Gauss được biểu diễn như sau:

$ \Phi_E = \ointS \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q{in}}{\epsilon_0} $

Trong đó:

• $ \Phi_E $ là thông lượng điện trường qua mặt kín $S$.
• $ \vec{E} $ là cường độ điện trường.
• $ d\vec{A} $ là vectơ diện tích vi phân hướng ra ngoài mặt kín.
• $ \oint_S $ là tích phân mặt trên toàn bộ mặt kín $S$.
• $ Q_{in} $ là tổng điện tích nằm bên trong mặt kín $S$.
• $ \epsilon_0 $ là hằng số điện môi trong chân không, $ \epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \frac{C^2}{N m^2} $.

Dạng vi phân:

Định luật Gauss cũng có thể được viết dưới dạng vi phân sử dụng toán tử div (divergence):

$ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $

Trong đó:

• $ \nabla \cdot \vec{E} $ là divergence của điện trường, thể hiện mật độ nguồn của điện trường tại một điểm.
• $ \rho $ là mật độ điện tích thể tích, thể hiện lượng điện tích trên một đơn vị thể tích.

Ứng dụng

Định luật Gauss là một công cụ mạnh mẽ để tính toán điện trường trong các trường hợp có tính đối xứng cao. Việc chọn một mặt Gauss phù hợp sẽ đơn giản hóa việc tính toán tích phân mặt. Một số ví dụ điển hình bao gồm:

• Điện trường của một điện tích điểm: $ E = \frac{kQ}{r^2} $ với $ k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $.
• Điện trường của một mặt phẳng vô hạn mang điện tích đều: $ E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} $, trong đó $\sigma$ là mật độ điện tích mặt.
• Điện trường của một dây dẫn dài vô hạn mang điện tích đều: $ E = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} $, trong đó $\lambda$ là mật độ điện tích dài.
• Điện trường bên trong một quả cầu tích điện đều: $ E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0} $, trong đó r là khoảng cách từ tâm quả cầu.

Lưu ý khi sử dụng Định luật Gauss

• Định luật Gauss chỉ áp dụng cho mặt kín.
• Định luật Gauss chỉ tính đến điện tích bên trong mặt kín. Điện tích bên ngoài mặt kín không đóng góp vào thông lượng điện trường qua mặt kín đó.
• Định luật Gauss rất hữu ích trong việc tính toán điện trường, nhưng nó không phải lúc nào cũng là phương pháp dễ nhất. Trong các trường hợp không đối xứng, việc tính toán tích phân mặt có thể phức tạp.

Mối liên hệ với các định luật khác và hạn chế

Định luật Gauss tương đương với định luật Coulomb. Nó có thể được suy ra từ định luật Coulomb và ngược lại. Định luật Gauss cũng là một phần không thể thiếu của các phương trình Maxwell, mô tả đầy đủ các hiện tượng điện từ.

Mặc dù mạnh mẽ, Định luật Gauss không phải là một công cụ vạn năng. Tính hữu dụng của nó bị hạn chế bởi tính đối xứng của bài toán. Trong các trường hợp phân bố điện tích phức tạp và không đối xứng, việc tính toán tích phân mặt trở nên rất khó khăn, và việc sử dụng Định luật Gauss để tính điện trường có thể không hiệu quả bằng các phương pháp khác. Trong những trường hợp này, việc sử dụng định luật Coulomb hoặc các kỹ thuật số có thể phù hợp hơn.

Ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng Định luật Gauss, hãy xét ví dụ về một quả cầu tích điện đều với mật độ điện tích thể tích $ \rho $ và bán kính $ R $. Chúng ta muốn tính điện trường tại một điểm nằm bên trong quả cầu, cách tâm một khoảng $ r < R $.

Chọn một mặt Gauss là một mặt cầu đồng tâm với quả cầu tích điện, có bán kính $ r $. Do tính đối xứng cầu, điện trường $ \vec{E} $ có độ lớn không đổi và hướng ra ngoài trên mặt Gauss. Do đó, thông lượng điện trường qua mặt Gauss là:

$ \Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \oint_S dA = E(4\pi r^2) $

Điện tích nằm bên trong mặt Gauss là:

$ Q_{in} = \rho V = \rho (\frac{4}{3}\pi r^3) $

Áp dụng Định luật Gauss:

$ E(4\pi r^2) = \frac{\rho (\frac{4}{3}\pi r^3)}{\epsilon_0} $

Từ đó suy ra điện trường bên trong quả cầu:

$ E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0} $

Định luật Gauss trong môi trường điện môi

Khi xét trường hợp có môi trường điện môi, Định luật Gauss được viết lại như sau:

$ \Phi_E = \ointS \vec{D} \cdot d\vec{A} = Q{free} $

Trong đó:

• $ \vec{D} $ là vectơ độ dịch chuyển điện trường, được định nghĩa là $ \vec{D} = \epsilon \vec{E} $, với $ \epsilon $ là hằng số điện môi của môi trường.
• $ Q_{free} $ là tổng điện tích tự do nằm bên trong mặt kín.

Dạng vi phân của Định luật Gauss trong môi trường điện môi là:

$ \nabla \cdot \vec{D} = \rho_{free} $

với $ \rho_{free} $ là mật độ điện tích tự do.

• David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th Edition (Pearson, 2013).
• John R. Reitz, Frederick J. Milford, and Robert W. Christy, Foundations of Electromagnetic Theory, 4th Edition (Addison-Wesley, 1993).
• Edward M. Purcell and David J. Morin, Electricity and Magnetism, 3rd Edition (Cambridge University Press, 2013).

Câu hỏi và Giải đáp

Định luật Gauss có áp dụng được cho các mặt kín không đều hay không?

Trả lời: Có, Định luật Gauss áp dụng cho bất kỳ mặt kín nào, bất kể hình dạng hay kích thước của nó. Mặt kín có thể là một hình cầu, hình lập phương, hình xuyến, hoặc bất kỳ hình dạng phức tạp nào khác. Điều quan trọng là mặt đó phải kín, nghĩa là nó không có lỗ hổng.

Nếu bên trong một mặt Gauss không có điện tích ($Q_{in} = 0$), điều đó có nghĩa là điện trường bên trong mặt đó luôn bằng không?

Trả lời: Không nhất thiết. Nếu $Q_{in} = 0$, Định luật Gauss cho ta $ oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = 0 $. Điều này có nghĩa là thông lượng điện trường qua mặt kín bằng không, chứ không phải điện trường bằng không. Điện trường có thể khác không tại các điểm trên mặt kín, nhưng tổng thông lượng qua toàn bộ mặt kín phải bằng không. Ví dụ, một mặt Gauss nằm giữa hai điện tích điểm bằng nhau và trái dấu sẽ có thông lượng bằng không, mặc dù điện trường tại mỗi điểm trên mặt không bằng không.

Làm thế nào để chọn mặt Gauss phù hợp để tính toán điện trường?

Trả lời: Việc chọn mặt Gauss phụ thuộc vào tính đối xứng của bài toán. Mục tiêu là chọn một mặt Gauss sao cho điện trường $ \vec{E} $ có độ lớn không đổi và song song hoặc vuông góc với vectơ diện tích vi phân $ d\vec{A} $ trên mặt Gauss. Điều này giúp đơn giản hóa tích phân mặt trong Định luật Gauss.

Mối quan hệ giữa Định luật Gauss và Định luật Coulomb là gì?

Trả lời: Định luật Gauss và Định luật Coulomb là hai cách diễn đạt tương đương của cùng một nguyên lý vật lý. Định luật Gauss có thể được suy ra từ Định luật Coulomb và ngược lại. Định luật Coulomb mô tả lực tương tác giữa các điện tích điểm, trong khi Định luật Gauss mô tả mối quan hệ giữa điện trường và điện tích.

Tại sao dạng vi phân của Định luật Gauss, $ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $, lại hữu ích?

Trả lời: Dạng vi phân của Định luật Gauss cho phép ta liên hệ điện trường với mật độ điện tích tại mỗi điểm trong không gian. Điều này đặc biệt hữu ích khi mật độ điện tích thay đổi liên tục trong không gian. Dạng vi phân cũng cho phép ta sử dụng các công cụ toán học mạnh mẽ của giải tích vectơ để phân tích và giải quyết các bài toán điện trường phức tạp.