Định luật Hagen-Poiseuille (Hagen-Poiseuille Equation/Law)

Công thức của định luật Hagen-Poiseuille được biểu diễn như sau:

$Q = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8 \eta L}$

Trong đó:

• $Q$ là lưu lượng thể tích (thể tích chất lỏng chảy qua một tiết diện nhất định trong một đơn vị thời gian), thường được đo bằng m³/s.
• $R$ là bán kính của ống, đo bằng m.
• $\Delta P$ là hiệu số áp suất giữa hai đầu ống, đo bằng Pa (Pascal). Đây là động lực chính gây ra dòng chảy.
• $\eta$ là độ nhớt động lực học của chất lỏng, đo bằng Pa·s. Độ nhớt phản ánh sức cản của chất lỏng đối với sự biến dạng.
• $L$ là chiều dài của ống, đo bằng m.

Lưu ý rằng lưu lượng thể tích tỷ lệ thuận với lũy thừa bậc bốn của bán kính ống ($R^4$). Điều này có nghĩa là một sự thay đổi nhỏ trong bán kính ống sẽ ảnh hưởng đáng kể đến lưu lượng. Đồng thời, lưu lượng tỷ lệ nghịch với độ nhớt và chiều dài của ống.

Giải thích các thành phần và điều kiện áp dụng

Cùng tìm hiểu sâu hơn về ý nghĩa của từng thành phần trong công thức Hagen-Poiseuille và các điều kiện cần thiết để áp dụng định luật này.

• Lưu lượng thể tích ($Q$): Công thức cho thấy lưu lượng thể tích tỷ lệ thuận với bán kính mũ bốn ($R^4$) và hiệu số áp suất ($\Delta P$), đồng thời tỷ lệ nghịch với độ nhớt ($\eta$) và chiều dài ống ($L$). Điều này có nghĩa là tăng bán kính hoặc hiệu số áp suất sẽ làm tăng lưu lượng, trong khi tăng độ nhớt hoặc chiều dài ống sẽ làm giảm lưu lượng.
• Bán kính ($R$): Bán kính có ảnh hưởng lớn nhất đến lưu lượng. Một thay đổi nhỏ trong bán kính sẽ dẫn đến một thay đổi lớn trong lưu lượng do mối quan hệ mũ bốn. Điều này có nghĩa quan trọng trong các hệ thống sinh học như mạch máu, nơi một sự co thắt nhỏ có thể làm giảm đáng kể lưu lượng máu.
• Hiệu số áp suất ($\Delta P$): Lưu lượng tỷ lệ thuận với hiệu số áp suất. Hiệu số áp suất càng lớn, lưu lượng càng cao. Đây chính là nguồn năng lượng thúc đẩy dòng chảy của chất lỏng.
• Độ nhớt ($\eta$): Lưu lượng tỷ lệ nghịch với độ nhớt. Chất lỏng càng nhớt (ví dụ như mật ong), lưu lượng càng thấp khi các thông số khác không đổi. Độ nhớt đại diện cho sức cản bên trong của chất lỏng đối với dòng chảy.
• Chiều dài ống ($L$): Lưu lượng tỷ lệ nghịch với chiều dài ống. Ống càng dài, lưu lượng càng thấp do ma sát tăng lên.

Điều kiện áp dụng:

Định luật Hagen-Poiseuille chỉ áp dụng trong các điều kiện sau:

• Dòng chảy tầng: Chất lỏng chảy thành các lớp song song, không có sự xoáy hay hỗn loạn. Số Reynolds phải nhỏ.
• Chất lỏng không nén được: Mật độ của chất lỏng không đổi.
• Chất lỏng Newton: Độ nhớt không phụ thuộc vào tốc độ biến dạng.
• Ống hình trụ có tiết diện tròn không đổi: Ống có hình dạng đều và tiết diện không thay đổi dọc theo chiều dài.
• Không có trượt tại thành ống: Chất lỏng dính vào thành ống và vận tốc của chất lỏng tại thành ống bằng không.

Ứng dụng

Định luật Hagen-Poiseuille có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế, bao gồm:

• Sinh lý học: Mô hình hóa dòng máu trong mạch máu, giúp hiểu rõ hơn về huyết áp và lưu lượng máu.
• Kỹ thuật hóa học: Tính toán lưu lượng chất lỏng trong ống và thiết kế hệ thống đường ống.
• Kỹ thuật cơ khí: Thiết kế hệ thống thủy lực và bôi trơn.
• Khoa học vật liệu: Đo độ nhớt của chất lỏng. Định luật này cung cấp một phương pháp đo độ nhớt dựa trên việc đo lưu lượng và áp suất.

Hạn chế của Định luật Hagen-Poiseuille

Mặc dù rất hữu ích, định luật Hagen-Poiseuille có một số hạn chế cần lưu ý:

• Không áp dụng cho dòng chảy rối: Định luật này chỉ áp dụng cho dòng chảy tầng, khi số Reynolds ($Re$) nhỏ hơn một giá trị nhất định (thường là 2300 đối với dòng chảy trong ống tròn). Khi dòng chảy trở nên rối, các giả thiết của định luật không còn đúng nữa.
• Bỏ qua hiệu ứng đầu vào và đầu ra: Định luật Hagen-Poiseuille không tính đến các hiệu ứng phức tạp xảy ra ở đầu vào và đầu ra của ống.
• Không áp dụng cho chất lỏng phi Newton: Định luật này chỉ áp dụng cho chất lỏng Newton, có độ nhớt không đổi. Đối với chất lỏng phi Newton, độ nhớt thay đổi theo tốc độ biến dạng, và cần sử dụng các mô hình phức tạp hơn.

Các công thức suy ra từ Định luật Hagen-Poiseuille

Từ công thức $Q = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8 \eta L}$, ta có thể suy ra một số công thức hữu ích khác:

• Vận tốc trung bình: Vận tốc trung bình ($v$) của chất lỏng trong ống được tính bằng: $v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\pi R^2} = \frac{R^2 \Delta P}{8 \eta L}$. Công thức này cho thấy vận tốc trung bình tỷ lệ thuận với bình phương bán kính và hiệu số áp suất, và tỷ lệ nghịch với độ nhớt và chiều dài ống.
• Phân bố vận tốc: Vận tốc của chất lỏng không đồng đều trên tiết diện ống. Vận tốc lớn nhất ở tâm ống và giảm dần về phía thành ống, tạo thành một phân bố parabolic. Vận tốc tại một điểm cách tâm ống một khoảng $r$ được tính bằng: $v(r) = \frac{\Delta P (R^2 – r^2)}{4 \eta L}$.
• Đo độ nhớt: Định luật Hagen-Poiseuille có thể được sử dụng để xác định độ nhớt của chất lỏng bằng cách đo lưu lượng, hiệu số áp suất, bán kính và chiều dài ống. Đây là một phương pháp đo độ nhớt phổ biến trong phòng thí nghiệm.

Mối liên hệ với số Reynolds

Số Reynolds ($Re$) là một số không thứ nguyên được sử dụng để dự đoán dòng chảy là tầng hay rối. Đối với dòng chảy trong ống tròn, số Reynolds được định nghĩa là:

$Re = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{2\rho v R}{\eta}$

Trong đó:

• $\rho$ là mật độ của chất lỏng.
• $v$ là vận tốc trung bình của chất lỏng.
• $D$ là đường kính của ống ($D = 2R$).

Đối với dòng chảy trong ống, dòng chảy thường được coi là tầng khi $Re < 2300$ và rối khi $Re > 4000$. Trong khoảng giữa 2300 và 4000, dòng chảy được coi là chuyển tiếp. Định luật Hagen-Poiseuille chỉ áp dụng cho dòng chảy tầng ($Re < 2300$).

Ví dụ minh họa

Tính lưu lượng máu qua một động mạch có bán kính 2 mm, chiều dài 10 cm, hiệu số áp suất 100 mmHg, và độ nhớt của máu là 4 mPa·s.

Đầu tiên, chuyển đổi các đơn vị:

• $R = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$
• $L = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
• $\Delta P = 100 \text{ mmHg} = 100 \times 133.3 \text{ Pa} \approx 13330 \text{ Pa}$
• $\eta = 4 \text{ mPa}\cdot\text{s} = 4 \times 10^{-3} \text{ Pa}\cdot\text{s}$

Sau đó, áp dụng công thức Hagen-Poiseuille:

$Q = \frac{\pi (2 \times 10^{-3})^4 \times 13330}{8 \times 4 \times 10^{-3} \times 0.1} \approx 5.23 \times 10^{-6} \text{ m}^3/\text{s}$

• Sutera, S. P., & Skalak, R. (1993). The history of Poiseuille’s law. Annual Review of Fluid Mechanics, 25(1), 1-19.
• White, F. M. (2008). Fluid mechanics. McGraw-Hill Education.
• Fox, R. W., McDonald, A. T., & Pritchard, P. J. (2009). Introduction to fluid mechanics. John Wiley & Sons.

Câu hỏi và Giải đáp

Định luật Hagen-Poiseuille có áp dụng cho dòng chảy của khí không? Tại sao có/không?

Trả lời: Định luật Hagen-Poiseuille, ở dạng cơ bản, không áp dụng chính xác cho dòng chảy của khí. Định luật này được phát triển cho chất lỏng không nén được, trong khi khí có thể nén được, nghĩa là mật độ của chúng có thể thay đổi đáng kể theo áp suất. Tuy nhiên, với điều kiện dòng chảy tầng, số Reynolds thấp và thay đổi áp suất nhỏ dọc theo ống, một dạng sửa đổi của định luật Hagen-Poiseuille có thể được sử dụng cho khí, bằng cách tính đến sự thay đổi mật độ.

Nếu bán kính của một ống tăng gấp đôi, lưu lượng thể tích sẽ thay đổi như thế nào, giả sử các yếu tố khác không đổi?

Trả lời: Lưu lượng thể tích tỷ lệ thuận với lũy thừa bậc bốn của bán kính ($Q propto R^4$). Nếu bán kính tăng gấp đôi, lưu lượng sẽ tăng lên $2^4 = 16$ lần.

Làm thế nào để xác định độ nhớt của một chất lỏng bằng cách sử dụng định luật Hagen-Poiseuille?

Trả lời: Có thể sắp xếp lại công thức Hagen-Poiseuille để tính độ nhớt: $eta = \frac{\pi R^4 \Delta P}{8QL}$. Bằng cách đo lưu lượng ($Q$), hiệu số áp suất ($\Delta P$), bán kính ống ($R$) và chiều dài ống ($L$), ta có thể tính được độ nhớt ($eta$) của chất lỏng. Đây là một phương pháp phổ biến được sử dụng trong rheometry (khoa học đo lường các tính chất lưu biến).

Tại sao phân bố vận tốc trong dòng chảy Hagen-Poiseuille có dạng parabolic?

Trả lời: Phân bố vận tốc parabolic là kết quả của sự cân bằng giữa gradien áp suất và ứng suất cắt nhớt. Tại tâm ống, ứng suất cắt là nhỏ nhất, do đó vận tốc đạt giá trị tối đa. Khi tiến gần đến thành ống, ứng suất cắt tăng lên do ma sát với thành ống, dẫn đến giảm vận tốc. Giải phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy tầng, không nén được trong ống hình trụ sẽ cho ra một phân bố vận tốc parabolic.

Ngoài các hạn chế đã đề cập, còn những yếu tố nào khác có thể ảnh hưởng đến độ chính xác của định luật Hagen-Poiseuille trong thực tế?

Trả lời: Một số yếu tố khác có thể ảnh hưởng đến độ chính xác của định luật Hagen-Poiseuille bao gồm: (1) Hiệu ứng đầu vào: Định luật giả sử dòng chảy đã phát triển hoàn toàn, nghĩa là phân bố vận tốc parabolic đã được thiết lập. Ở gần đầu vào của ống, dòng chảy có thể chưa phát triển hoàn toàn, dẫn đến sai lệch so với dự đoán của định luật. (2) Tính chất phi Newton của chất lỏng: Nhiều chất lỏng sinh học và công nghiệp không phải là chất lỏng Newton, nghĩa là độ nhớt của chúng thay đổi theo tốc độ biến dạng. Định luật Hagen-Poiseuille không áp dụng cho các chất lỏng này. (3) Rugosity của thành ống: Định luật giả sử thành ống nhẵn. Tuy nhiên, trong thực tế, thành ống có thể có độ nhám, ảnh hưởng đến dòng chảy. (4) Sự hiện diện của các hạt: Sự hiện diện của các hạt lơ lửng trong chất lỏng có thể làm thay đổi dòng chảy và ảnh hưởng đến độ chính xác của định luật.