Định luật Kepler thứ ba (Kepler’s Third Law of Planetary Motion)

Công thức của Định luật Kepler thứ ba

Công thức toán học của định luật Kepler thứ ba có thể được viết là:

$T^2 = k a^3$

Trong đó:

• $T$ là chu kỳ quỹ đạo của hành tinh (thời gian để hoàn thành một vòng quay quanh Mặt Trời), tính bằng đơn vị thời gian (ví dụ: năm Trái Đất).
• $a$ là bán trục lớn của quỹ đạo elip của hành tinh, tính bằng đơn vị khoảng cách (ví dụ: đơn vị thiên văn – AU).
• $k$ là hằng số tỷ lệ. Giá trị của $k$ phụ thuộc vào khối lượng của ngôi sao trung tâm mà hành tinh quay quanh. Cụ thể hơn, $k = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}$, với $G$ là hằng số hấp dẫn, $M$ là khối lượng của ngôi sao và $m$ là khối lượng của hành tinh. Thường thì khối lượng của hành tinh nhỏ hơn rất nhiều so với khối lượng của ngôi sao ($m << M$), nên ta có thể xấp xỉ $k = \frac{4\pi^2}{GM}$.

Đối với Hệ Mặt Trời

Khi xem xét các hành tinh quay quanh Mặt Trời, hằng số tỷ lệ $k$ có thể được biểu diễn dưới dạng:

$k = \frac{4\pi^2}{GM}$

Trong đó:

• $G$ là hằng số hấp dẫn.
• $M$ là khối lượng của Mặt Trời.

Nếu $T$ được đo bằng năm Trái Đất và $a$ được đo bằng đơn vị thiên văn (AU), thì $k$ xấp xỉ bằng 1, và định luật có thể được đơn giản hóa thành:

$T^2 \approx a^3$

Ý nghĩa

Định luật Kepler thứ ba cho phép chúng ta tính toán chu kỳ quỹ đạo của một hành tinh nếu biết bán trục lớn của quỹ đạo của nó, và ngược lại. Nó cũng cho thấy rằng các hành tinh ở xa Mặt Trời hơn có chu kỳ quỹ đạo dài hơn. Ví dụ, Sao Hỏa, có bán trục lớn quỹ đạo lớn hơn Trái Đất, cũng có chu kỳ quỹ đạo dài hơn Trái Đất.

Ứng dụng

Định luật Kepler thứ ba có nhiều ứng dụng trong thiên văn học, bao gồm:

• Xác định khoảng cách của các hành tinh đến ngôi sao của chúng.
• Dự đoán vị trí của các hành tinh trong tương lai.
• Nghiên cứu các hệ hành tinh ngoài Hệ Mặt Trời.
• Hiểu rõ hơn về sự hình thành và tiến hóa của các hệ hành tinh.

Lưu ý về Định luật Kepler thứ ba

Lưu ý: Định luật Kepler thứ ba, như được trình bày ở trên, là một phiên bản đơn giản hóa. Đối với các hệ có nhiều hơn hai vật thể, hoặc khi các vật thể có khối lượng tương đương nhau, cần sử dụng các phương trình phức tạp hơn để tính toán chính xác chu kỳ và bán trục lớn của quỹ đạo.

Các dạng khác của Định luật Kepler thứ ba

Định luật Kepler thứ ba có thể được viết lại theo nhiều cách khác nhau, tùy thuộc vào các đại lượng được sử dụng. Một dạng hữu ích khác liên quan đến khối lượng của hai thiên thể:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} a^3$

Trong đó:

• $m$ là khối lượng của hành tinh.

Dạng này cho thấy rằng chu kỳ quỹ đạo không chỉ phụ thuộc vào bán trục lớn và khối lượng của ngôi sao trung tâm mà còn phụ thuộc (tuy nhỏ) vào khối lượng của hành tinh. Đối với hầu hết các hành tinh trong Hệ Mặt Trời, khối lượng của hành tinh nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của Mặt Trời ($m << M$), do đó, ảnh hưởng của khối lượng hành tinh lên chu kỳ quỹ đạo là rất nhỏ.

So sánh chu kỳ và bán trục lớn giữa các hành tinh

Định luật Kepler thứ ba cho phép so sánh trực tiếp chu kỳ và bán trục lớn của hai hành tinh bất kỳ quay quanh cùng một ngôi sao. Nếu $T_1$ và $a_1$ là chu kỳ và bán trục lớn của hành tinh thứ nhất, và $T_2$ và $a_2$ là chu kỳ và bán trục lớn của hành tinh thứ hai, thì ta có:

$\frac{T_1^2}{a_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3}$

Công thức này hữu ích để so sánh chu kỳ và khoảng cách của các hành tinh khác nhau trong cùng một hệ hành tinh.

Hạn chế của Định luật Kepler thứ ba

Định luật Kepler thứ ba được rút ra dựa trên các giả định nhất định, bao gồm:

• Quỹ đạo của hành tinh là elip.
• Khối lượng của hành tinh nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của ngôi sao trung tâm.
• Không có nhiễu loạn hấp dẫn từ các thiên thể khác.

Trong thực tế, các giả định này không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, sự tương tác hấp dẫn giữa các hành tinh có thể gây ra nhiễu loạn nhỏ trong quỹ đạo của chúng, khiến định luật Kepler thứ ba chỉ là một xấp xỉ. Đối với các hệ phức tạp hơn, cần sử dụng các phương pháp số để tính toán chính xác quỹ đạo của các hành tinh.

• Murray, C. D., & Dermott, S. F. (1999). Solar system dynamics. Cambridge University Press.
• Prussing, J. E., & Conway, B. A. (2012). Orbital mechanics. Oxford University Press.
• Roy, A. E. (2005). Orbital motion. CRC Press.

Câu hỏi và Giải đáp

Định luật Kepler thứ ba có áp dụng cho các vật thể có quỹ đạo không phải là elip, chẳng hạn như quỹ đạo parabolic hay hyperbolic không?

Trả lời: Không. Định luật Kepler thứ ba, ở dạng $T^2 = ka^3$, chỉ áp dụng cho quỹ đạo elip, trong đó $a$ là bán trục lớn. Đối với quỹ đạo parabolic và hyperbolic, chu kỳ quỹ đạo không được xác định, và khái niệm bán trục lớn cũng khác. Tuy nhiên, có các phiên bản tổng quát hơn của định luật Kepler có thể áp dụng cho các loại quỹ đạo này.

Nếu hai hành tinh quay quanh hai ngôi sao khác nhau có cùng chu kỳ quỹ đạo, điều gì có thể được suy ra về khối lượng của hai ngôi sao đó nếu bán trục lớn của quỹ đạo cũng bằng nhau?

Trả lời: Nếu $T_1 = T_2$ và $a_1 = a_2$, từ công thức $T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3$, ta có thể suy ra $\frac{M_1 + m_1}{M_2 + m_2} = 1$. Nếu khối lượng của các hành tinh nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của các ngôi sao, thì ta có thể xấp xỉ $M_1 \approx M_2$. Vậy, hai ngôi sao có khối lượng xấp xỉ bằng nhau.

Làm thế nào để sử dụng Định luật Kepler thứ ba để tính toán khoảng cách của một ngoại hành tinh đến ngôi sao của nó?

Trả lời: Bằng cách quan sát chu kỳ quỹ đạo $T$ của ngoại hành tinh (thông qua các phương pháp như phương pháp vận tốc xuyên tâm hoặc phương pháp quá cảnh), ta có thể sử dụng định luật Kepler thứ ba, $T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3$, để tính toán bán trục lớn $a$ của quỹ đạo. Giả sử khối lượng của ngoại hành tinh $m$ nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của ngôi sao $M$, ta có thể xấp xỉ $a^3 = \frac{GM}{4\pi^2}T^2$. Từ đó, tính được khoảng cách trung bình của ngoại hành tinh đến ngôi sao của nó.

Ảnh hưởng của lực hấp dẫn từ các hành tinh khác lên độ chính xác của Định luật Kepler thứ ba như thế nào?

Trả lời: Lực hấp dẫn từ các hành tinh khác gây ra nhiễu loạn trong quỹ đạo, khiến quỹ đạo không còn là elip hoàn hảo. Điều này dẫn đến sai số khi áp dụng Định luật Kepler thứ ba, vì định luật này được xây dựng trên giả định quỹ đạo elip. Độ lớn của sai số phụ thuộc vào khối lượng và khoảng cách của các hành tinh khác.

Ngoài việc xác định chu kỳ và bán trục lớn, Định luật Kepler thứ ba còn cung cấp thông tin gì khác về hệ hành tinh?

Trả lời: Định luật Kepler thứ ba, kết hợp với các quan sát khác, có thể cung cấp thông tin về khối lượng của ngôi sao trung tâm. Bằng cách đo chu kỳ và bán trục lớn của một hành tinh quay quanh ngôi sao, ta có thể sử dụng định luật Kepler thứ ba để tính toán khối lượng của ngôi sao. Thông tin này rất quan trọng để hiểu về sự hình thành và tiến hóa của các hệ hành tinh.