Định luật Kepler thứ hai (Kepler’s Second Law of Planetary Motion)

“Đường thẳng nối một hành tinh với Mặt Trời quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.”

Điều này có nghĩa là khi một hành tinh ở gần Mặt Trời, nó di chuyển nhanh hơn so với khi nó ở xa Mặt Trời. Hãy tưởng tượng một hành tinh di chuyển từ điểm A đến điểm B trong một khoảng thời gian $\Delta t$. Diện tích quét bởi đường thẳng nối hành tinh và Mặt Trời trong khoảng thời gian này được ký hiệu là $\Delta A$. Định luật Kepler thứ hai khẳng định rằng tỷ lệ $\frac{\Delta A}{\Delta t}$ là hằng số.

Hệ quả của định luật này là hành tinh di chuyển nhanh hơn khi ở gần Mặt Trời (điểm cận nhật) và chậm hơn khi ở xa Mặt Trời (điểm viễn nhật). Điều này là do khi hành tinh ở gần Mặt Trời, bán kính quỹ đạo nhỏ hơn, nên để duy trì tỷ lệ $\frac{\Delta A}{\Delta t}$ là hằng số, hành tinh phải di chuyển với tốc độ lớn hơn. Ngược lại, khi hành tinh ở xa Mặt Trời, bán kính quỹ đạo lớn hơn, nên hành tinh di chuyển với tốc độ nhỏ hơn.

Mô tả toán học:

Tốc độ quét diện tích, được ký hiệu là $\dot{A}$, có thể được biểu diễn bằng công thức:

$\dot{A} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}$

trong đó:

• $r$ là khoảng cách từ hành tinh đến Mặt Trời.
• $\dot{\theta}$ là tốc độ góc của hành tinh.

Vì $\dot{A}$ là hằng số theo Định luật Kepler thứ hai, nên khi $r$ giảm, $\dot{\theta}$ phải tăng và ngược lại.

Liên hệ với động lượng góc

Định luật Kepler thứ hai thực chất là một hệ quả của việc bảo toàn động lượng góc. Động lượng góc $L$ của một hành tinh được cho bởi:

$L = mr^2\dot{\theta}$

trong đó:

• $m$ là khối lượng của hành tinh.

Vì $\dot{A} = \frac{L}{2m}$, và $L$ và $m$ là hằng số, nên $\dot{A}$ cũng là hằng số. Do đó, việc bảo toàn động lượng góc trực tiếp dẫn đến Định luật Kepler thứ hai.

Ý nghĩa

Định luật Kepler thứ hai cung cấp một công cụ mạnh mẽ để hiểu và dự đoán chuyển động của các hành tinh trong Hệ Mặt Trời. Nó cũng có thể được áp dụng cho bất kỳ vật thể nào quay quanh một tâm lực hấp dẫn, chẳng hạn như vệ tinh nhân tạo quay quanh Trái Đất.

Ứng dụng và mở rộng

Định luật Kepler thứ hai không chỉ áp dụng cho các hành tinh quay quanh Mặt Trời mà còn cho bất kỳ hệ hai vật thể nào chịu tác dụng của lực hấp dẫn. Điều này bao gồm:

• Vệ tinh nhân tạo quay quanh Trái Đất: Tốc độ của vệ tinh sẽ thay đổi tùy thuộc vào khoảng cách của nó so với Trái Đất, nhanh hơn khi ở gần và chậm hơn khi ở xa.
• Các ngôi sao trong hệ sao đôi: Chuyển động của các ngôi sao trong hệ sao đôi cũng tuân theo định luật này, cho phép các nhà thiên văn học xác định khối lượng của chúng.
• Sao chổi quay quanh Mặt Trời: Quỹ đạo của sao chổi thường rất elip, dẫn đến sự thay đổi tốc độ đáng kể khi chúng đến gần và rời xa Mặt Trời.

So sánh với chuyển động tròn đều

Điều quan trọng là phải phân biệt Định luật Kepler thứ hai với chuyển động tròn đều. Trong chuyển động tròn đều, tốc độ tuyến tính là hằng số, trong khi trong chuyển động của hành tinh theo Định luật Kepler thứ hai, tốc độ tuyến tính thay đổi. Chỉ có tốc độ quét diện tích là hằng số.

Giới hạn của Định luật Kepler thứ hai

Mặc dù rất hữu ích, Định luật Kepler thứ hai chỉ là một xấp xỉ. Nó giả định rằng chỉ có lực hấp dẫn giữa hai vật thể là đáng kể. Trong thực tế, lực hấp dẫn từ các hành tinh khác cũng có thể ảnh hưởng đến chuyển động của một hành tinh, mặc dù ảnh hưởng này thường nhỏ. Định luật cũng giả định rằng khối lượng của hành tinh là không đáng kể so với khối lượng của Mặt Trời. Trong trường hợp các hệ sao đôi, cần phải xem xét khối lượng của cả hai ngôi sao.

Kết luận

Định luật Kepler thứ hai là một công cụ cơ bản trong thiên văn học, cung cấp một mô tả chính xác về chuyển động của các hành tinh và các vật thể khác trong không gian. Nó thể hiện một hệ quả trực tiếp của việc bảo toàn động lượng góc và cung cấp cái nhìn sâu sắc về động lực học của các hệ hấp dẫn. Việc hiểu định luật này không chỉ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về Hệ Mặt Trời mà còn cho phép chúng ta khám phá các hệ sao khác và dự đoán chuyển động của các vật thể nhân tạo trong không gian.

• Murray, C. D., & Dermott, S. F. (1999). Solar system dynamics. Cambridge university press.
• Roy, A. E. (2005). Orbital motion. CRC Press.
• Prussing, J. E., & Conway, B. A. (2012). Orbital mechanics. Oxford University Press, USA.

Câu hỏi và Giải đáp

Nếu một hành tinh giả định có quỹ đạo hình tròn hoàn hảo, liệu định luật Kepler thứ hai vẫn áp dụng được không? Và nếu được, nó thể hiện như thế nào trong trường hợp này?

Trả lời: Vâng, định luật Kepler thứ hai vẫn áp dụng. Trong trường hợp quỹ đạo tròn, khoảng cách $r$ từ hành tinh đến Mặt Trời là hằng số. Do đó, để $ \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{1}{2}r^2 dot{\theta} $ là hằng số, tốc độ góc $dot{\theta}$ cũng phải là hằng số. Điều này đồng nghĩa với việc hành tinh chuyển động với tốc độ tuyến tính không đổi. Vậy, trong trường hợp quỹ đạo tròn, định luật Kepler thứ hai tương đương với chuyển động tròn đều.

Động lượng góc được bảo toàn như thế nào trong quỹ đạo elip của một hành tinh?

Trả lời: Lực hấp dẫn giữa Mặt Trời và hành tinh luôn hướng về tâm (Mặt Trời). Mômen lực của lực này đối với Mặt Trời bằng không (vì lực và vectơ bán kính cùng phương). Do mômen lực bằng tốc độ thay đổi của động lượng góc, và mômen lực bằng không, nên động lượng góc được bảo toàn.

Nếu Mặt Trời đột ngột biến mất, điều gì sẽ xảy ra với chuyển động của hành tinh theo định luật Kepler thứ hai?

Trả lời: Nếu Mặt Trời biến mất, lực hấp dẫn tác dụng lên hành tinh sẽ biến mất. Do đó, hành tinh sẽ không còn chuyển động theo quỹ đạo elip nữa. Thay vào đó, nó sẽ chuyển động theo đường thẳng với vận tốc tức thời mà nó có tại thời điểm Mặt Trời biến mất. Định luật Kepler thứ hai sẽ không còn áp dụng nữa vì nó dựa trên sự tồn tại của một lực hấp dẫn trung tâm.

Làm thế nào để tính tốc độ của một hành tinh tại một điểm bất kỳ trên quỹ đạo elip của nó, biết được khoảng cách từ hành tinh đến Mặt Trời tại điểm đó?

Trả lời: Có thể sử dụng định luật bảo toàn năng lượng và định luật Kepler thứ hai để tính toán này. Năng lượng toàn phần của hành tinh là hằng số và bằng tổng năng lượng động học và năng lượng thế hấp dẫn. Định luật Kepler thứ hai cho biết tốc độ quét diện tích, từ đó có thể suy ra tốc độ góc và cuối cùng là tốc độ tuyến tính tại điểm đó. Công thức cụ thể khá phức tạp và liên quan đến các thông số của quỹ đạo elip như bán trục lớn và độ lệch tâm.

Ngoài lực hấp dẫn từ các hành tinh khác, còn yếu tố nào khác có thể ảnh hưởng đến tính chính xác của định luật Kepler thứ hai?

Trả lời: Một số yếu tố khác có thể ảnh hưởng đến tính chính xác của định luật Kepler thứ hai bao gồm:

• Áp lực bức xạ từ Mặt Trời: Đặc biệt quan trọng đối với các vật thể nhỏ như bụi vũ trụ.
• Hiệu ứng tương đối tính: Mặc dù nhỏ trong Hệ Mặt Trời, nhưng có thể đo lường được, đặc biệt là đối với sao Thủy.
• Sự không đồng nhất của trường hấp dẫn: Nếu Mặt Trời không phải là một hình cầu hoàn hảo, trường hấp dẫn của nó sẽ không phải là trường hấp dẫn trung tâm lý tưởng, dẫn đến sự sai lệch nhỏ so với định luật Kepler thứ hai.