Định luật Ohm cho mạch xoay chiều (Ohm’s Law for AC Circuits)

Tổng quan

Trong mạch DC, định luật Ohm đơn giản là $V = IR$, trong đó:

• $V$ là hiệu điện thế (Volt)
• $I$ là cường độ dòng điện (Ampere)
• $R$ là điện trở (Ohm)

Tuy nhiên, trong mạch AC, ngoài điện trở thuần ($R$), còn có điện kháng của cuộn cảm ($X_L$) và điện dung ($X_C$). Tổng trở kháng của mạch ($Z$) được xem như là sự tổng hợp của cả ba thành phần này. Do đó, định luật Ohm cho mạch AC được biểu diễn bằng công thức:

$V = IZ$

Trong đó:

• $V$ là hiệu điện thế phức (Volt)
• $I$ là cường độ dòng điện phức (Ampere)
• $Z$ là tổng trở kháng phức (Ohm)

Các đại lượng $V$, $I$ và $Z$ trong mạch AC là các đại lượng phức, được biểu diễn bằng số phức, chứa cả thông tin về biên độ và pha của tín hiệu xoay chiều. Việc sử dụng số phức giúp đơn giản hóa việc phân tích mạch AC, đặc biệt là khi mạch chứa cả ba thành phần R, L và C.

Tổng trở kháng (Z)

Tổng trở kháng ($Z$) là đại lượng phức được tính theo công thức:

$Z = R + jX$

Trong đó:

• $R$ là điện trở thuần (Ohm)
• $X$ là điện kháng (Ohm), bằng $X_L – X_C$
• $j$ là đơn vị ảo ($j = \sqrt{-1}$)
• Điện kháng của cuộn cảm ($X_L$): $X_L = 2\pi fL$, với $f$ là tần số (Hz) và $L$ là độ tự cảm (Henry).
• Điện kháng của tụ điện ($X_C$): $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$, với $C$ là điện dung (Farad).

Điện kháng $X$ thể hiện sự cản trở dòng điện xoay chiều do cuộn cảm và tụ điện gây ra. Nếu $X_L > X_C$ thì $X > 0$, mạch mang tính cảm kháng. Nếu $X_C > X_L$ thì $X < 0$, mạch mang tính dung kháng.

Dạng cực của tổng trở kháng

Tổng trở kháng cũng có thể được biểu diễn dưới dạng cực:

$Z = |Z|\angle\phi$

Trong đó:

• $|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$ là mô-đun của tổng trở kháng (Ohm) – đại diện cho độ lớn của trở kháng.
• $\phi = arctan(\frac{X}{R})$ là góc pha (radian) – đại diện cho sự lệch pha giữa điện áp và dòng điện.

Dạng cực của tổng trở kháng giúp dễ dàng hình dung tổng trở kháng trên mặt phẳng phức và tính toán trong các phép nhân, chia số phức.

Ý nghĩa của góc pha ($\phi$)

• $\phi > 0$: Mạch có tính cảm kháng, dòng điện trễ pha hơn điện áp.
• $\phi < 0$: Mạch có tính dung kháng, dòng điện sớm pha hơn điện áp.
• $\phi = 0$: Mạch cộng hưởng, dòng điện và điện áp cùng pha.

Góc pha $\phi$ cho biết mối quan hệ về pha giữa điện áp và dòng điện trong mạch AC. Khi $\phi = 0$, mạch cộng hưởng, tổng trở kháng đạt giá trị nhỏ nhất, bằng điện trở thuần $R$.

Công suất trong mạch AC

Công suất thực ($P$) trong mạch AC được tính bằng:

$P = VI\cos\phi$

Trong đó $\cos\phi$ được gọi là hệ số công suất. Công suất thực là công suất được chuyển hóa thành năng lượng hữu ích, ví dụ như nhiệt năng hay cơ năng. Hệ số công suất cho biết hiệu quả sử dụng năng lượng của mạch. Hệ số công suất càng gần 1 thì hiệu suất càng cao.

Ví dụ

Một mạch AC gồm điện trở $R = 10\Omega$, cuộn cảm $L = 0.1H$ và tụ điện $C = 100\mu F$ mắc nối tiếp với nguồn điện xoay chiều có tần số $f = 50Hz$. Tính tổng trở kháng của mạch.

• $X_L = 2\pi(50)(0.1) \approx 31.4\Omega$
• $X_C = \frac{1}{2\pi(50)(100 \times 10^{-6})} \approx 31.8\Omega$
• $X = X_L – X_C \approx -0.4\Omega$
• $|Z| = \sqrt{10^2 + (-0.4)^2} \approx 10\Omega$
• $\phi = arctan(\frac{-0.4}{10}) \approx -0.04 rad$

Định luật Ohm cho mạch xoay chiều là một công cụ quan trọng trong việc phân tích và thiết kế các mạch điện AC. Việc hiểu rõ về tổng trở kháng, góc pha và công suất giúp ta dự đoán được hoạt động của mạch và tối ưu hóa hiệu suất hoạt động.

Mạch RLC nối tiếp

Một trường hợp đặc biệt quan trọng là mạch RLC nối tiếp, bao gồm điện trở ($R$), cuộn cảm ($L$) và tụ điện ($C$) mắc nối tiếp. Tổng trở kháng của mạch RLC nối tiếp được tính như đã trình bày ở phần trên: $|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L – X_C)^2}$ và $\phi = arctan(\frac{X_L – X_C}{R})$.

Tần số cộng hưởng

Tần số cộng hưởng ($f_0$) là tần số tại đó điện kháng của cuộn cảm bằng điện kháng của tụ điện ($X_L = X_C$). Tại tần số cộng hưởng, tổng trở kháng đạt giá trị nhỏ nhất ($|Z| = R$) và dòng điện trong mạch đạt giá trị cực đại. Tần số cộng hưởng được tính bằng công thức:

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

Mạch RLC song song

Đối với mạch RLC song song, việc tính toán tổng trở kháng phức tạp hơn. Đảo của tổng trở kháng ($1/Z$) được gọi là tổng dẫn nạp ($Y$) và được tính bằng:

$Y = \frac{1}{Z} = \frac{1}{R} + j(\frac{1}{X_C} – \frac{1}{X_L})$

Từ đó, tổng trở kháng $Z$ được tính bằng cách lấy nghịch đảo của $Y$.

Biểu diễn bằng số phức

Việc sử dụng số phức giúp đơn giản hóa các phép tính trong mạch xoay chiều. Điện áp và dòng điện được biểu diễn dưới dạng phức:

• $V = V_0e^{j\omega t}$
• $I = I_0e^{j(\omega t – \phi)}$

Trong đó:

• $V_0$ và $I_0$ là biên độ điện áp và dòng điện.
• $\omega = 2\pi f$ là tần số góc.
• $t$ là thời gian.
• $\phi$ là góc pha.

Ứng dụng

Định luật Ohm cho mạch xoay chiều có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Thiết kế và phân tích các mạch điện tử.
• Truyền tải và phân phối điện năng.
• Điều khiển động cơ điện.
• Thiết kế các bộ lọc tín hiệu.

• Fundamentals of Electric Circuits, Charles K. Alexander, Matthew N.O. Sadiku – McGraw-Hill Education.
• Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel – Pearson.
• Engineering Circuit Analysis, William H. Hayt, Jr., Jack E. Kemmerly, Steven M. Durbin – McGraw-Hill Education.

Câu hỏi và Giải đáp

Tại sao trong mạch xoay chiều, ta cần sử dụng số phức để biểu diễn điện áp và dòng điện, thay vì chỉ dùng giá trị tức thời như trong mạch một chiều?

Trả lời: Trong mạch xoay chiều, điện áp và dòng điện thay đổi theo thời gian theo dạng hình sin. Việc chỉ sử dụng giá trị tức thời sẽ rất phức tạp khi phân tích mạch vì phải xử lý các phương trình vi phân. Sử dụng số phức cho phép ta biểu diễn điện áp và dòng điện dưới dạng phasor, giúp đơn giản hóa các phép tính bằng cách chuyển các phương trình vi phân thành các phép toán đại số đơn giản hơn.

Điện kháng của tụ điện ($X_C$) giảm khi tần số tăng, trong khi điện kháng của cuộn cảm ($X_L$) lại tăng khi tần số tăng. Điều này có ý nghĩa vật lý như thế nào?

Trả lời: Đối với tụ điện, tần số càng cao, thời gian để tụ nạp và xả điện càng ngắn, do đó tụ điện “cản trở” dòng điện ít hơn. Ngược lại, đối với cuộn cảm, tần số càng cao, sự thay đổi từ thông càng nhanh, dẫn đến sức điện động cảm ứng ngược chiều lớn hơn, làm “cản trở” dòng điện nhiều hơn.

Hệ số công suất ($\cos\phi$) có ý nghĩa gì và tại sao ta mong muốn hệ số công suất càng gần 1 càng tốt?

Trả lời: Hệ số công suất thể hiện tỷ lệ giữa công suất thực (công suất được sử dụng để thực hiện công hữu ích) và công suất biểu kiến (tổng công suất được cung cấp cho mạch). Hệ số công suất càng gần 1, nghĩa là công suất thực càng gần với công suất biểu kiến, giảm thiểu năng lượng bị hao phí. Điều này giúp tăng hiệu suất sử dụng năng lượng và giảm tải cho hệ thống điện.

Trong mạch RLC nối tiếp, tại sao tổng trở kháng đạt giá trị nhỏ nhất tại tần số cộng hưởng?

Trả lời: Tại tần số cộng hưởng, điện kháng của cuộn cảm ($X_L$) bằng điện kháng của tụ điện ($X_C$). Do đó, phần ảo của tổng trở kháng ($X = X_L – X_C$) bằng 0, và tổng trở kháng chỉ còn lại phần thực, chính là điện trở $R$. Vì vậy, tổng trở kháng đạt giá trị nhỏ nhất ($Z = R$) tại tần số cộng hưởng.

Làm thế nào để tính toán tổng trở kháng của một mạch AC phức tạp gồm nhiều thành phần R, L, C mắc nối tiếp và song song?

Trả lời: Đối với mạch nối tiếp, tổng trở kháng được tính bằng cách cộng tổng trở kháng của từng thành phần: $Z_{nt} = Z_1 + Z2 + …$. Đối với mạch song song, tổng dẫn nạp (nghịch đảo của trở kháng) được cộng lại: $Y{ss} = Y_1 + Y_2 + … = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z2} + …$. Sau đó, tổng trở kháng của mạch song song được tính bằng cách lấy nghịch đảo của tổng dẫn nạp: $Z{ss} = \frac{1}{Y_{ss}}$. Đối với mạch phức tạp, ta cần kết hợp các quy tắc tính toán cho mạch nối tiếp và song song để tìm tổng trở kháng tương đương.