Định luật phân rã phóng xạ (Radioactive decay law)

Công thức toán học

Tốc độ phân rã, thường được ký hiệu là $dN/dt$, được biểu diễn bằng công thức:

$dN/dt = -\lambda N$

Trong đó:

• $N$ là số lượng hạt nhân phóng xạ chưa bị phân rã tại thời điểm $t$.
• $t$ là thời gian.
• $\lambda$ là hằng số phân rã, một đại lượng đặc trưng cho từng đồng vị phóng xạ. Đơn vị của $\lambda$ là nghịch đảo thời gian (ví dụ: $s^{-1}$, $yr^{-1}$). Dấu âm (-) thể hiện sự giảm dần số lượng hạt nhân phóng xạ theo thời gian. Hằng số phân rã liên quan đến chu kỳ bán rã ($T{1/2}$) của đồng vị phóng xạ theo công thức: $\lambda = \frac{\ln{2}}{T{1/2}}$.

Giải phương trình vi phân

Bằng cách giải phương trình vi phân $dN/dt = -\lambda N$, ta thu được công thức biểu diễn số lượng hạt nhân phóng xạ $N(t)$ tại thời điểm $t$ bất kỳ:

$N(t) = N_0e^{-\lambda t}$

Trong đó:

• $N_0$ là số lượng hạt nhân phóng xạ ban đầu tại thời điểm $t=0$.
• $e$ là cơ số của logarit tự nhiên (xấp xỉ 2.71828).

Chu kỳ bán rã (Half-life)

Chu kỳ bán rã ($T{1/2}$) là thời gian cần thiết để số lượng hạt nhân phóng xạ giảm xuống còn một nửa giá trị ban đầu. Nói cách khác, tại thời điểm $t = T{1/2}$, $N(T_{1/2}) = N_0/2$. Công thức liên hệ giữa chu kỳ bán rã và hằng số phân rã là:

$T_{1/2} = \frac{\ln{2}}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$

Hoạt độ phóng xạ (Activity)

Hoạt độ phóng xạ ($A$) là số phân rã xảy ra trong một đơn vị thời gian. Hoạt độ phóng xạ tỷ lệ thuận với số lượng hạt nhân phóng xạ. Đơn vị của hoạt độ phóng xạ là Becquerel (Bq), tương đương với một phân rã mỗi giây. Một đơn vị khác thường được sử dụng là Curie (Ci).

$A(t) = \lambda N(t) = A_0e^{-\lambda t}$

Trong đó:

• $A_0 = \lambda N_0$ là hoạt độ phóng xạ ban đầu.

Ứng dụng

Định luật phân rã phóng xạ có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và đời sống, bao gồm:

• Xác định niên đại: Phương pháp định tuổi bằng cacbon-14 (C-14) dựa trên định luật phân rã phóng xạ để xác định tuổi của các vật chất hữu cơ cổ đại. Phương pháp này hữu ích cho khảo cổ học, cổ sinh vật học và các lĩnh vực khác.
• Y học hạt nhân: Các đồng vị phóng xạ được sử dụng trong chẩn đoán (ví dụ như chụp PET, SPECT) và điều trị bệnh (xạ trị).
• Nghiên cứu khoa học: Định luật phân rã phóng xạ được sử dụng để nghiên cứu các quá trình vật lý và hóa học, chẳng hạn như tốc độ phản ứng và cơ chế phản ứng.
• Công nghiệp: Các đồng vị phóng xạ được sử dụng trong nhiều ứng dụng công nghiệp, chẳng hạn như đo độ dày vật liệu, kiểm tra chất lượng sản phẩm, và theo dõi dòng chảy.

Lưu ý: Định luật phân rã phóng xạ là một mô hình thống kê và chỉ đúng với một số lượng lớn hạt nhân phóng xạ. Đối với một số lượng nhỏ hạt nhân, sự phân rã có tính ngẫu nhiên và không thể dự đoán chính xác thời điểm phân rã của từng hạt nhân.

Đơn vị đo lường

Hoạt độ phóng xạ được đo bằng Becquerel (Bq), trong đó 1 Bq tương đương với 1 phân rã trên giây. Một đơn vị cũ hơn vẫn còn được sử dụng là Curie (Ci), với 1 Ci = 3.7 x 10¹⁰ Bq. Số lượng hạt nhân thường được biểu diễn bằng mol hoặc số hạt.

Các loại phân rã phóng xạ

Có nhiều loại phân rã phóng xạ khác nhau, mỗi loại có cơ chế và sản phẩm phân rã riêng. Một số loại phân rã phổ biến bao gồm:

• Phân rã alpha (α): Hạt nhân mẹ phát ra một hạt alpha (gồm 2 proton và 2 neutron). Ví dụ: $^{238}U \rightarrow ^{234}Th + ^4He$
• Phân rã beta trừ (β^–): Một neutron trong hạt nhân mẹ biến đổi thành một proton, một electron và một antineutrino. Ví dụ: $^{14}C \rightarrow ^{14}N + e^- + \bar{\nu}_e$
• Phân rã beta cộng (β⁺): Một proton trong hạt nhân mẹ biến đổi thành một neutron, một positron và một neutrino. Ví dụ: $^{22}Na \rightarrow ^{22}Ne + e^+ + \nu_e$
• Bắt electron (EC): Hạt nhân mẹ bắt giữ một electron từ lớp vỏ electron, biến đổi một proton thành neutron và một neutrino. Ví dụ: $^{55}Fe + e^- \rightarrow ^{55}Mn + \nu_e$
• Phân rã gamma (γ): Hạt nhân mẹ ở trạng thái kích thích phát ra một photon gamma để chuyển về trạng thái năng lượng thấp hơn. Phân rã gamma thường đi kèm với các loại phân rã khác.

Chuỗi phân rã

Một số hạt nhân phóng xạ trải qua một chuỗi các phân rã liên tiếp cho đến khi đạt được một hạt nhân ổn định. Ví dụ, $^{238}U$ phân rã thành $^{234}Th$, sau đó phân rã tiếp tục qua một chuỗi các hạt nhân con cho đến khi đạt đến $^{206}Pb$, một đồng vị ổn định của chì.

Ảnh hưởng của môi trường

Hằng số phân rã $\lambda$ là một đại lượng đặc trưng cho từng đồng vị phóng xạ và không bị ảnh hưởng bởi các yếu tố môi trường như nhiệt độ, áp suất hay các phản ứng hóa học. Điều này làm cho định luật phân rã phóng xạ trở thành một công cụ hữu ích trong nhiều ứng dụng.

• Krane, K. S. (1988). Introductory Nuclear Physics. John Wiley & Sons.
• L’Annunziata, M. F. (2016). Handbook of Radioactivity Analysis. Academic Press.
• Choppin, G. R., Liljenzin, J. O., & Rydberg, J. (2002). Radiochemistry and Nuclear Chemistry. Butterworth-Heinemann.
• Ehmann, W. D., & Vance, D. E. (1991). Radiochemistry and Nuclear Methods of Analysis. John Wiley & Sons.

Câu hỏi và Giải đáp

Tại sao hằng số phân rã $\lambda$ lại là một đại lượng đặc trưng cho từng đồng vị phóng xạ và không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài?

Trả lời: Hằng số phân rã $\lambda$ phản ánh xác suất phân rã của một hạt nhân trong một đơn vị thời gian. Xác suất này được xác định bởi cấu trúc bên trong của hạt nhân, cụ thể là lực hạt nhân mạnh và lực điện từ tương tác giữa các nucleon. Các yếu tố bên ngoài như nhiệt độ, áp suất hay phản ứng hóa học không ảnh hưởng đến lực hạt nhân mạnh bên trong hạt nhân, do đó không làm thay đổi hằng số phân rã.

Ngoài chu kỳ bán rã ($T_{1/2}$), còn có đại lượng nào khác được sử dụng để mô tả tốc độ phân rã phóng xạ không?

Trả lời: Có, đó là tuổi thọ trung bình ($\tau$). Tuổi thọ trung bình là thời gian trung bình mà một hạt nhân tồn tại trước khi phân rã. Mối quan hệ giữa tuổi thọ trung bình và hằng số phân rã là $\tau = 1/\lambda$. Cũng có mối quan hệ giữa tuổi thọ trung bình và chu kỳ bán rã là $T_{1/2} = \tau ln(2)$.

Làm thế nào để xác định hoạt độ phóng xạ của một mẫu vật trong thực tế?

Trả lời: Hoạt độ phóng xạ có thể được đo bằng nhiều loại thiết bị khác nhau, chẳng hạn như máy đếm Geiger-Müller, máy đếm nhấp nháy, hoặc máy đo phổ gamma. Các thiết bị này phát hiện và ghi lại các hạt hoặc bức xạ phát ra từ mẫu vật phóng xạ, từ đó tính toán hoạt độ phóng xạ.

Định luật phân rã phóng xạ có áp dụng được cho trường hợp phân hạch hạt nhân không?

Trả lời: Không. Định luật phân rã phóng xạ mô tả sự phân rã tự phát của hạt nhân không bền. Phân hạch hạt nhân là quá trình một hạt nhân nặng bị phá vỡ thành các hạt nhân nhẹ hơn do sự va chạm với một neutron. Mặc dù cả hai quá trình đều liên quan đến sự biến đổi hạt nhân, nhưng cơ chế và động lực học của chúng khác nhau.

Ứng dụng của định luật phân rã phóng xạ trong y học hạt nhân là gì?

Trả lời: Định luật phân rã phóng xạ được sử dụng trong y học hạt nhân để tính toán liều lượng phóng xạ cần thiết cho chẩn đoán và điều trị. Ví dụ, trong xạ trị, các đồng vị phóng xạ được sử dụng để tiêu diệt các tế bào ung thư. Định luật phân rã phóng xạ giúp xác định lượng phóng xạ cần thiết để đạt được hiệu quả điều trị mong muốn mà vẫn đảm bảo an toàn cho bệnh nhân. Trong chẩn đoán, các đồng vị phóng xạ được sử dụng để tạo ảnh của các cơ quan bên trong cơ thể. Định luật phân rã giúp tính toán lượng phóng xạ cần thiết để tạo ra hình ảnh rõ nét mà vẫn giảm thiểu phơi nhiễm phóng xạ cho bệnh nhân.