Định luật Stokes (Stokes’ Law)

Nội dung định luật

Định luật Stokes phát biểu rằng lực ma sát $F_d$ tác dụng lên một vật thể hình cầu chuyển động trong một chất lỏng nhớt tỷ lệ thuận với bán kính $r$ của hình cầu, vận tốc $v$ của nó và độ nhớt động học $\eta$ của chất lỏng. Công thức được biểu diễn như sau:

$F_d = 6 \pi \eta r v$

Trong đó:

• $F_d$ là lực cản (N)
• $\eta$ là độ nhớt động học của chất lỏng (Pa.s)
• $r$ là bán kính của hình cầu (m)
• $v$ là vận tốc của hình cầu so với chất lỏng (m/s)

Các đại lượng trong công thức

Trong công thức $F_d = 6 \pi \eta r v$, các đại lượng được định nghĩa như sau:

• $F_d$: Lực cản (lực ma sát) (đơn vị: Newton, N)
• $\eta$: Độ nhớt động học của chất lỏng (đơn vị: Pascal giây, Pa·s hoặc kg/(m·s))
• $r$: Bán kính của hình cầu (đơn vị: mét, m)
• $v$: Vận tốc của hình cầu so với chất lỏng (đơn vị: mét trên giây, m/s)
• $6\pi$: Hằng số được suy ra từ việc giải phương trình Navier-Stokes cho trường hợp dòng chảy tầng quanh hình cầu.

Điều kiện áp dụng

Định luật Stokes chỉ áp dụng được khi thỏa mãn các điều kiện sau:

• Dòng chảy tầng: Chất lỏng chảy xung quanh vật thể phải là dòng chảy tầng, nghĩa là không có sự hỗn loạn. Điều này thường xảy ra khi số Reynolds (Re) nhỏ, cụ thể là $Re << 1$. Số Reynolds được định nghĩa là: $Re = \frac{\rho v d}{\eta}$, với $\rho$ là mật độ chất lỏng và $d$ là đường kính hình cầu ($d = 2r$).
• Hình cầu nhỏ: Vật thể phải là một hình cầu hoàn hảo hoặc rất gần với hình cầu.
• Bề mặt nhẵn: Bề mặt của hình cầu phải nhẵn.
• Chất lỏng vô hạn: Chất lỏng được coi là trải rộng vô hạn so với kích thước của hình cầu, nghĩa là không có ảnh hưởng của thành bình chứa hoặc các vật thể khác. Điều này giúp loại bỏ ảnh hưởng của biên.
• Vận tốc không đổi: Vận tốc của hình cầu phải không đổi, nghĩa là không có gia tốc.

Ứng dụng

Định luật Stokes có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật, bao gồm:

• Xác định độ nhớt: Định luật Stokes được sử dụng để đo độ nhớt của chất lỏng bằng cách quan sát tốc độ rơi của một hình cầu trong chất lỏng đó. Biết được các thông số khác, ta có thể tính toán độ nhớt.
• Lắng đọng: Định luật này giúp mô tả sự lắng đọng của các hạt nhỏ trong không khí hoặc nước, ví dụ như bụi, mưa hoặc tuyết.
• Ly tâm: Định luật Stokes được sử dụng trong việc thiết kế máy ly tâm, dùng để tách các hạt có kích thước và khối lượng riêng khác nhau.
• Vi sinh vật học: Định luật này giúp hiểu được sự di chuyển của vi sinh vật trong chất lỏng.
• Kỹ thuật hóa học: Ứng dụng trong việc thiết kế các thiết bị lọc và tách. Ví dụ như trong quá trình lọc, định luật Stokes giúp dự đoán tốc độ lắng của các hạt.

Hạn chế

Định luật Stokes không chính xác khi số Reynolds lớn, khi dòng chảy trở nên hỗn loạn. Trong trường hợp này, cần sử dụng các phương trình phức tạp hơn, ví dụ như phương trình lực cản tổng quát, để mô tả lực cản. Khi số Reynolds tăng, hiệu ứng của quán tính trở nên đáng kể và không thể bỏ qua như trong định luật Stokes.

Mở rộng Định luật Stokes cho các trường hợp khác

Mặc dù định luật Stokes được phát biểu cho hình cầu trong chất lỏng có độ nhớt, có những mở rộng và hiệu chỉnh để áp dụng cho các trường hợp phức tạp hơn.

• Hiệu chỉnh Oseen: Đối với số Reynolds hơi lớn hơn (vẫn trong chế độ dòng chảy tầng, nhưng không còn $Re << 1$), hiệu chỉnh Oseen được áp dụng để tính toán lực cản chính xác hơn. Công thức Oseen có dạng:

$F_d = 6 \pi \eta r v (1 + \frac{3}{16}Re)$

Hiệu chỉnh này bổ sung một thành phần phụ thuộc vào số Reynolds, giúp tính toán chính xác hơn khi số Reynolds tăng.

• Hạt không cầu: Đối với hạt không cầu, định luật Stokes có thể được sửa đổi bằng cách sử dụng một “hệ số hình dạng” hoặc “hệ số cản”, thường được ký hiệu là $K$. Hệ số này phụ thuộc vào hình dạng của hạt và được xác định bằng thực nghiệm hoặc bằng các phương pháp số. Lực cản được tính bằng:

$Fd = K 6 \pi \eta r{eq} v$

Trong đó $r_{eq}$ là bán kính tương đương của một hình cầu có cùng thể tích với hạt không cầu.

• Hiệu ứng thành bình chứa: Khi hạt di chuyển gần thành bình chứa, lực cản sẽ bị ảnh hưởng bởi sự hiện diện của thành. Hiệu ứng này có thể được tính toán bằng các phương pháp số hoặc bằng các công thức gần đúng.
• Dòng chảy phi Newton: Đối với chất lỏng phi Newton, độ nhớt không phải là hằng số mà phụ thuộc vào tốc độ biến dạng. Trong trường hợp này, cần sử dụng các mô hình phức tạp hơn để mô tả lực cản.

Ứng dụng nâng cao

Ngoài những ứng dụng đã đề cập, định luật Stokes và các mở rộng của nó còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác, bao gồm:

• Microfluidics: Nghiên cứu dòng chảy của chất lỏng ở quy mô micro.
• Kỹ thuật y sinh: Phân tích sự vận chuyển của các hạt nano trong mạch máu.
• Khoa học môi trường: Mô hình hóa sự lắng đọng của các chất ô nhiễm trong không khí và nước.
• Công nghệ nano: Tổng hợp và thao tác các hạt nano.

• Batchelor, G. K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.
• Happel, J., & Brenner, H. (1983). Low Reynolds number hydrodynamics: with special applications to particulate media. Martinus Nijhoff Publishers.
• Kim, S., & Karrila, S. J. (2013). Microhydrodynamics: principles and selected applications. Courier Corporation.
• Clift, R., Grace, J. R., & Weber, M. E. (1978). Bubbles, drops, and particles. Academic press.

Câu hỏi và Giải đáp

Định luật Stokes có áp dụng được cho các hạt có kích thước rất lớn không? Tại sao?

Trả lời: Không. Định luật Stokes chỉ áp dụng cho các hạt có kích thước nhỏ, chuyển động chậm trong chất lỏng nhớt, khi số Reynolds (Re) nhỏ hơn nhiều so với 1. Khi kích thước hạt tăng, số Reynolds cũng tăng, và dòng chảy chuyển từ tầng sang rối, khiến định luật Stokes không còn chính xác.

Làm thế nào để xác định độ nhớt của một chất lỏng bằng cách sử dụng định luật Stokes?

Trả lời: Bằng cách đo thời gian một hình cầu nhỏ rơi một khoảng cách xác định trong chất lỏng đó. Từ định luật Stokes, $F_d = 6 \pi eta r v$, khi lực cản cân bằng với trọng lực (trừ lực đẩy Archimedes), ta có $6 \pi eta r v = \frac{4}{3} \pi r^3 ( \rho_s – \rho_f ) g$, với $\rho_s$ là mật độ hình cầu, $\rho_f$ là mật độ chất lỏng và $g$ là gia tốc trọng trường. Từ đó, ta có thể tính được độ nhớt $eta$.

Ảnh hưởng của nhiệt độ đến độ chính xác của định luật Stokes là gì?

Trả lời: Nhiệt độ ảnh hưởng đến độ nhớt của chất lỏng. Độ nhớt thường giảm khi nhiệt độ tăng. Do đó, khi áp dụng định luật Stokes, cần phải biết chính xác nhiệt độ của chất lỏng để sử dụng giá trị độ nhớt phù hợp.

Hệ số hình dạng trong định luật Stokes mở rộng cho hạt không cầu được xác định như thế nào?

Trả lời: Hệ số hình dạng được xác định bằng thực nghiệm, thường bằng cách đo lực cản tác dụng lên hạt trong dòng chảy tầng và so sánh với lực cản trên một hình cầu có cùng thể tích. Ngoài ra, các phương pháp số, như mô phỏng động lực học chất lưu (CFD), cũng có thể được sử dụng để xác định hệ số hình dạng.

Tại sao dòng chảy tầng lại quan trọng khi áp dụng định luật Stokes?

Trả lời: Định luật Stokes được suy ra từ việc giải phương trình Navier-Stokes trong điều kiện dòng chảy tầng, với giả định là dòng chảy trơn tru và có trật tự. Khi dòng chảy chuyển sang rối, các xoáy và sự hỗn loạn xuất hiện, làm thay đổi đáng kể lực cản tác dụng lên hạt. Do đó, định luật Stokes không còn áp dụng trong trường hợp dòng chảy rối.