Định lý Ehrenfest (Ehrenfest Theorem)

Phát biểu:

Đối với một hệ lượng tử được mô tả bởi hàm sóng $\psi(t)$ và một toán tử $\hat{A}$ bất kỳ, định lý Ehrenfest phát biểu rằng:

$\frac{d}{dt} \langle \hat{A} \rangle = \frac{1}{i\hbar} \langle [\hat{A}, \hat{H}] \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \rangle$

trong đó:

• $\langle \hat{A} \rangle = \langle \psi(t) | \hat{A} | \psi(t) \rangle$ là giá trị kỳ vọng của toán tử $\hat{A}$.
• $\hat{H}$ là toán tử Hamilton của hệ.
• $[\hat{A}, \hat{H}] = \hat{A}\hat{H} – \hat{H}\hat{A}$ là giao hoán tử giữa $\hat{A}$ và $\hat{H}$.
• $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn ($\hbar = h/2\pi$).
• $\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}$ biểu thị đạo hàm riêng của toán tử $\hat{A}$ theo thời gian (nếu toán tử phụ thuộc tường minh vào thời gian). Thông thường, các toán tử đại diện cho các đại lượng vật lý như vị trí và động lượng không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nên $\frac{\partial \hat{A}}{\partial t} = 0$.

Ý nghĩa

• Liên hệ với cơ học cổ điển: Khi áp dụng định lý Ehrenfest cho toán tử vị trí $\hat{x}$ và toán tử động lượng $\hat{p}$, ta thu được các phương trình tương tự như định luật hai Newton trong cơ học cổ điển. Cụ thể:

$\frac{d}{dt}\langle\hat{x}\rangle = \frac{1}{m}\langle\hat{p}\rangle$

$\frac{d}{dt}\langle\hat{p}\rangle = \langle-\frac{dV}{dx}\rangle$

Các phương trình này cho thấy giá trị kỳ vọng của vị trí và động lượng trong cơ học lượng tử thay đổi theo thời gian tương tự như vị trí và động lượng trong cơ học cổ điển.

• Ứng dụng: Định lý Ehrenfest được sử dụng rộng rãi trong cơ học lượng tử để tính toán sự biến thiên theo thời gian của các giá trị kỳ vọng của các đại lượng vật lý, đặc biệt là trong các trường hợp khó giải trực tiếp phương trình Schrödinger. Nó cũng cung cấp một công cụ hữu ích để hiểu mối quan hệ giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển.

Ví dụ:

Xét một hạt tự do (không chịu tác dụng của lực nào). Toán tử Hamilton của hạt là $\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}$. Áp dụng định lý Ehrenfest cho toán tử động lượng $\hat{p}$, ta có:

$\frac{d}{dt}\langle\hat{p}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{p}, \hat{H}]\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{p}, \frac{\hat{p}^2}{2m}]\rangle = 0$

Kết quả này cho thấy giá trị kỳ vọng của động lượng của hạt tự do là hằng số theo thời gian, phù hợp với định luật bảo toàn động lượng trong cơ học cổ điển.

Hạn chế của Định Lý Ehrenfest

Mặc dù định lý Ehrenfest tạo ra một cầu nối giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển, nhưng cần lưu ý rằng nó không khẳng định cơ học lượng tử giống hệt cơ học cổ điển. Sự tương đồng chỉ tồn tại ở mức giá trị kỳ vọng. Cụ thể:

• Phương trình cho giá trị kỳ vọng, không phải giá trị tức thời: Định lý Ehrenfest đề cập đến sự tiến hóa theo thời gian của giá trị kỳ vọng của các đại lượng vật lý, chứ không phải giá trị tức thời của chúng. Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lý có thể biến động xung quanh giá trị kỳ vọng của chúng.
• Phi tuyến tính của thế năng: Phương trình $\frac{d}{dt}\langle\hat{p}\rangle = \langle-\frac{dV}{dx}\rangle$ không tương đương với phương trình cổ điển $\frac{dp}{dt} = -\frac{dV}{dx}$ trừ khi thế năng $V(x)$ là hàm bậc hai của $x$ hoặc nhỏ hơn. Đối với thế năng phi tuyến tính, ta có $\langle-\frac{dV}{dx}\rangle \neq -\frac{dV(\langle x \rangle)}{d\langle x \rangle}$. Điều này có nghĩa là giá trị kỳ vọng của các đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử không nhất thiết phải tuân theo quỹ đạo cổ điển.

Chứng minh Định Lý Ehrenfest

Ta bắt đầu với định nghĩa của giá trị kỳ vọng:

$\langle \hat{A} \rangle = \langle \psi(t) | \hat{A} | \psi(t) \rangle$

Đạo hàm theo thời gian của giá trị kỳ vọng là:

$\frac{d}{dt}\langle \hat{A} \rangle = \langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | \hat{A} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} | \psi \rangle + \langle \psi | \hat{A} | \frac{\partial \psi}{\partial t} \rangle$

Sử dụng phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian $i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat{H}\psi$ và liên hợp phức của nó $-i\hbar\frac{\partial\psi^}{\partial t} = (\hat{H}\psi)^ = \psi^*\hat{H}$, ta có:

$\frac{d}{dt}\langle \hat{A} \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle\psi | (\hat{A}\hat{H} – \hat{H}\hat{A}) | \psi\rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \rangle$

$\frac{d}{dt}\langle \hat{A} \rangle = \frac{1}{i\hbar} \langle [\hat{A}, \hat{H}] \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \rangle$

(Lưu ý: vì $\hat{H}$ là toán tử Hermitian nên $(\hat{H}\psi)^ = \psi^\hat{H}$).

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall.
• Shankar, R. (1994). Principles of Quantum Mechanics (2nd ed.). Plenum Press.
• Sakurai, J. J. (1994). Modern Quantum Mechanics (Revised ed.). Addison-Wesley.

Câu hỏi và Giải đáp

Định lý Ehrenfest có áp dụng được cho các toán tử phụ thuộc thời gian tường minh không? Nếu có, thì $ \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} $ có ý nghĩa gì?

Trả lời: Có, định lý Ehrenfest vẫn áp dụng được cho các toán tử phụ thuộc thời gian tường minh. $ \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} $ biểu thị đạo hàm riêng của toán tử $\hat{A}$ theo thời gian, tức là sự thay đổi của chính toán tử theo thời gian, độc lập với sự thay đổi của hàm sóng. Ví dụ, nếu ta xét một hệ có điện trường biến đổi theo thời gian, thì toán tử Hamilton sẽ phụ thuộc thời gian, và đạo hàm riêng này sẽ khác không.

Tại sao giao hoán tử $ [\hat{A}, \hat{H}] $ lại quan trọng trong định lý Ehrenfest?

Trả lời: Giao hoán tử $ [\hat{A}, \hat{H}] $ đại diện cho mức độ mà toán tử $\hat{A}$ và toán tử Hamilton $\hat{H}$ “không tương thích” với nhau. Nếu giao hoán tử bằng 0, tức là hai toán tử giao hoán, thì giá trị kỳ vọng của $\hat{A}$ là một hằng số chuyển động. Nếu giao hoán tử khác 0, thì giá trị kỳ vọng của $\hat{A}$ sẽ thay đổi theo thời gian. Do đó, giao hoán tử quyết định sự tiến hóa theo thời gian của giá trị kỳ vọng.

Làm thế nào để áp dụng định lý Ehrenfest cho một hạt trong hộp thế một chiều?

Trả lời: Đối với hạt trong hộp thế một chiều, Hamiltonian là $\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}$. Ta có thể áp dụng định lý Ehrenfest cho toán tử vị trí $\hat{x}$ và toán tử động lượng $\hat{p}$ để tìm sự biến thiên theo thời gian của giá trị kỳ vọng của chúng. Cụ thể, ta cần tính toán các giao hoán tử $[\hat{x}, \hat{H}]$ và $[\hat{p}, \hat{H}]$.

Có trường hợp nào mà định lý Ehrenfest dự đoán chính xác quỹ đạo cổ điển ngay cả khi thế năng không phải là hàm bậc hai không?

Trả lời: Có, trong trường hợp dao động điều hòa lượng tử với thế năng $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 $, định lý Ehrenfest cho kết quả chính xác trùng khớp với quỹ đạo cổ điển. Điều này là do thế năng là hàm bậc hai, nên $ \langle -\frac{dV}{dx} \rangle = -\frac{dV(\langle x \rangle)}{d\langle x \rangle} $.

Nếu một toán tử $\hat{A}$ giao hoán với Hamiltonian $\hat{H}$, điều này có ý nghĩa gì về giá trị kỳ vọng của $\hat{A}$?

Trả lời: Nếu $[\hat{A}, \hat{H}] = 0$, thì theo định lý Ehrenfest, $\frac{d}{dt} \langle \hat{A} \rangle = \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} \rangle$. Nếu $\hat{A}$ không phụ thuộc tường minh vào thời gian (nghĩa là $\frac{\partial \hat{A}}{\partial t} = 0$), thì giá trị kỳ vọng của $\hat{A}$ là một hằng số chuyển động, nghĩa là nó không thay đổi theo thời gian. Điều này tương ứng với một đại lượng bảo toàn trong cơ học cổ điển.