Định lý Giới hạn Trung tâm (Central Limit Theorem)

Ý nghĩa của Định lý Giới hạn Trung tâm:

CLT có tầm quan trọng rất lớn vì nó cho phép chúng ta sử dụng phân phối chuẩn để thực hiện suy luận thống kê về trung bình của tổng thể, ngay cả khi chúng ta không biết phân phối thực sự của tổng thể đó. Điều này đặc biệt hữu ích trong nhiều ứng dụng thực tế, vì việc thu thập dữ liệu cho toàn bộ tổng thể thường là không khả thi hoặc tốn kém. Nhờ CLT, chúng ta có thể xấp xỉ phân phối của trung bình mẫu bằng phân phối chuẩn, từ đó tính toán được các khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết.

Phát biểu chính thức

Cho $X_1, X_2, …, Xn$ là $n$ biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối (i.i.d.) với giá trị trung bình $\mu$ và phương sai hữu hạn $\sigma^2$. Khi $n$ đủ lớn, phân phối của trung bình mẫu $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n X_i$ xấp xỉ phân phối chuẩn với giá trị trung bình $\mu$ và phương sai $\frac{\sigma^2}{n}$.

Nói cách khác, biến ngẫu nhiên chuẩn hóa:

$Z = \frac{\bar{X} – \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

sẽ hội tụ theo phân phối đến một biến ngẫu nhiên chuẩn tắc $N(0,1)$ khi $n$ tiến tới vô cùng.

Điều kiện áp dụng:

• Độc lập: Các biến ngẫu nhiên phải độc lập với nhau.
• Phân phối giống nhau: Các biến ngẫu nhiên phải có cùng một phân phối xác suất.
• Giá trị trung bình và phương sai hữu hạn: Phân phối của các biến ngẫu nhiên phải có giá trị trung bình và phương sai hữu hạn.

Lưu ý quan trọng:

• CLT không chỉ rõ “đủ lớn” là bao nhiêu. Trong thực tế, kích thước mẫu $n \ge 30$ thường được coi là đủ lớn trong nhiều trường hợp. Tuy nhiên, con số này có thể thay đổi tùy thuộc vào mức độ “lệch” của phân phối ban đầu so với phân phối chuẩn.
• CLT chỉ là một *xấp xỉ*. Độ chính xác của xấp xỉ phụ thuộc vào kích thước mẫu $n$ và hình dạng của phân phối ban đầu.
• Nếu phân phối ban đầu gần với phân phối chuẩn, thì xấp xỉ sẽ chính xác hơn ngay cả với kích thước mẫu nhỏ hơn. Ngược lại, nếu phân phối ban đầu rất “lệch” (ví dụ: lệch nhiều, có nhiều giá trị ngoại lai), thì cần kích thước mẫu lớn hơn để xấp xỉ CLT có độ chính xác cao.

Ví dụ:

Giả sử chiều cao của người trưởng thành tuân theo một phân phối nào đó (không nhất thiết là phân phối chuẩn) với trung bình 170cm và độ lệch chuẩn 10cm. Nếu chúng ta lấy mẫu ngẫu nhiên 100 người trưởng thành và tính trung bình chiều cao của mẫu, thì theo CLT, phân phối của trung bình mẫu này sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn với trung bình 170cm và độ lệch chuẩn $\frac{10}{\sqrt{100}} = 1$cm.

Ứng dụng:

CLT có rất nhiều ứng dụng trong thống kê và khoa học dữ liệu, ví dụ như:

• Xây dựng khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể.
• Kiểm định giả thuyết về trung bình tổng thể.
• Mô phỏng các quá trình ngẫu nhiên.
• Ước lượng các tham số của mô hình.
• Phân tích dữ liệu trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, tài chính, y học, kỹ thuật,…

Tóm lại, Định lý Giới hạn Trung tâm là một công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta phân tích dữ liệu và đưa ra kết luận thống kê đáng tin cậy, ngay cả khi chúng ta không biết phân phối thực sự của tổng thể. Nó là nền tảng cho nhiều phương pháp thống kê suy luận quan trọng.

Các dạng mở rộng của Định lý Giới hạn Trung tâm

Mặc dù phiên bản cổ điển của CLT yêu cầu các biến ngẫu nhiên phải độc lập và có cùng phân phối, nhưng có một số dạng mở rộng của định lý này áp dụng cho các trường hợp tổng quát hơn:

• CLT cho biến ngẫu nhiên độc lập nhưng không có cùng phân phối (Lyapunov CLT và Lindeberg CLT): Các định lý này áp dụng cho các biến ngẫu nhiên độc lập nhưng không nhất thiết phải có cùng phân phối. Chúng yêu cầu một số điều kiện về moment (Lyapunov) hoặc một điều kiện tổng quát hơn (Lindeberg) của các biến ngẫu nhiên.
• CLT cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc yếu (Martingale CLT): Một số phiên bản của CLT cũng áp dụng cho các biến ngẫu nhiên có mức độ phụ thuộc yếu, chẳng hạn như các martingale.
• CLT cho các trường (field) ngẫu nhiên: Mở rộng cho trường hợp nhiều chiều.

So sánh với Luật số lớn (Law of Large Numbers)

CLT và Luật số lớn (LLN) đều liên quan đến hành vi của trung bình mẫu khi kích thước mẫu tăng lên. Tuy nhiên, chúng tập trung vào các khía cạnh khác nhau:

• LLN: Phát biểu rằng trung bình mẫu $\bar{X}$ hội tụ *theo xác suất* về giá trị trung bình tổng thể $\mu$ khi $n$ tiến tới vô cùng. Nói cách khác, với mọi $\epsilon > 0$, $\lim_{n \to \infty} P(|\bar{X} – \mu| > \epsilon) = 0$. LLN cho chúng ta biết rằng trung bình mẫu *sẽ gần* với trung bình tổng thể khi cỡ mẫu đủ lớn.
• CLT: Mô tả *phân phối* của trung bình mẫu $\bar{X}$ khi $n$ lớn. Nó cho chúng ta biết trung bình mẫu dao động xung quanh giá trị trung bình tổng thể như thế nào và *phân phối của sự dao động đó* tiến đến phân phối chuẩn.

Minh họa:

Hình dung việc tung một con xúc xắc nhiều lần. LLN cho biết trung bình của các kết quả sẽ tiến tới 3.5 (giá trị trung bình của một lần tung xúc xắc) khi số lần tung tăng lên. CLT cho biết phân phối của trung bình này sẽ ngày càng giống với phân phối chuẩn khi số lần tung tăng lên, với trung bình là 3.5 và độ lệch chuẩn giảm dần.

Hạn chế của CLT

• Kích thước mẫu hữu hạn: Trong thực tế, chúng ta luôn làm việc với kích thước mẫu hữu hạn. CLT chỉ là một xấp xỉ, và độ chính xác của xấp xỉ phụ thuộc vào kích thước mẫu và phân phối ban đầu.
• Phân phối đuôi dày (Heavy-tailed distributions): Đối với các phân phối có đuôi rất dày (ví dụ, phân phối Cauchy), CLT có thể hội tụ rất chậm hoặc không hội tụ. Trong những trường hợp này, cần có các phương pháp thống kê khác.
• Tính độc lập: CLT yêu cầu các biến phải độc lập (hoặc phụ thuộc yếu trong một số trường hợp mở rộng). Nếu các biến có sự phụ thuộc mạnh, CLT có thể không còn đúng.

• Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical inference. Duxbury Press.
• Hogg, R. V., McKean, J. W., & Craig, A. T. (2018). Introduction to mathematical statistics. Pearson Education.
• Wasserman, L. (2004). All of statistics: A concise course in statistical inference. Springer.

Câu hỏi và Giải đáp

Định lý Giới hạn Trung tâm có áp dụng được cho các biến ngẫu nhiên rời rạc không?