Định lý H (H-theorem)

Đại lượng H

Boltzmann định nghĩa đại lượng H cho một hệ gồm N hạt khí lý tưởng như sau:

$H = \int f(\mathbf{p},\mathbf{q},t) \ln f(\mathbf{p},\mathbf{q},t) \, d\mathbf{p} \, d\mathbf{q}$

trong đó:

• $f(\mathbf{p},\mathbf{q},t)$ là hàm phân bố xác suất trong không gian pha, cho biết xác suất tìm thấy một hạt tại vị trí $\mathbf{q}$ với động lượng $\mathbf{p}$ tại thời điểm $t$. Lưu ý rằng p và q là các vector, biểu diễn động lượng và vị trí trong không gian ba chiều.
• $\mathbf{p}$ là động lượng của hạt.
• $\mathbf{q}$ là vị trí của hạt.
• $t$ là thời gian.
• Tích phân được thực hiện trên toàn bộ không gian pha.

Đại lượng H liên hệ với entropy S của hệ thống thông qua công thức: $S = -k_B H$, trong đó $k_B$ là hằng số Boltzmann. Do đó, khi H giảm, entropy S tăng.

Nội dung Định lý H

Định lý H phát biểu rằng, nếu hệ khí lý tưởng bị cô lập và tuân theo phương trình Boltzmann, thì đại lượng H sẽ không bao giờ giảm theo thời gian:

$\frac{dH}{dt} \le 0$

Dấu bằng chỉ xảy ra khi hệ đạt trạng thái cân bằng nhiệt động lực học, tại đó hàm phân bố $f$ có dạng phân bố Maxwell-Boltzmann.

Ý nghĩa của Định lý H

• Liên hệ với entropy: Định lý H cho thấy sự liên hệ mật thiết giữa đại lượng H và entropy S của hệ. Cụ thể, Boltzmann cho thấy rằng: $S = -k_B H$, trong đó $k_B$ là hằng số Boltzmann. Do đó, $\frac{dS}{dt} \ge 0$, phù hợp với nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học, phát biểu rằng entropy của một hệ cô lập luôn tăng hoặc không đổi.
• Sự tiến hóa đến cân bằng: Định lý H cung cấp một cơ sở vi mô cho sự tiến hóa không thể đảo ngược của hệ thống tới trạng thái cân bằng nhiệt động lực học. Hệ thống sẽ tiến hóa theo hướng làm tăng entropy và giảm H cho đến khi đạt trạng thái cân bằng, tại đó H đạt giá trị tối thiểu và entropy đạt giá trị tối đa.
• Tính bất khả nghịch: Định lý H cho thấy tính bất khả nghịch của các quá trình nhiệt động lực học. Mặc dù phương trình chuyển động của từng hạt là khả nghịch theo thời gian, nhưng sự tiến hóa của hàm phân bố xác suất $f$ và do đó của đại lượng H là bất khả nghịch.

Nghịch lý Loschmidt

Một phản đối đối với định lý H là nghịch lý Loschmidt, cho rằng nếu đảo ngược vận tốc của tất cả các hạt trong một hệ tại một thời điểm nào đó, hệ thống sẽ tiến hóa ngược lại, làm cho H giảm. Boltzmann đã giải quyết nghịch lý này bằng cách lập luận rằng định lý H chỉ đúng về mặt thống kê. Xác suất để hệ tiến hóa theo hướng làm giảm H là cực kỳ nhỏ, mặc dù về mặt lý thuyết là có thể. Nói cách khác, việc đảo ngược vận tốc của tất cả các hạt là một điều kiện ban đầu rất đặc biệt và khó xảy ra một cách tự nhiên.

Định lý H là một kết quả quan trọng trong cơ học thống kê, cung cấp một cầu nối giữa miêu tả vi mô của một hệ khí và các tính chất vĩ mô của nó, đồng thời cung cấp một cơ sở vi mô cho nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học.

Kết nối với phương trình Boltzmann

Chứng minh định lý H dựa trên phương trình Boltzmann, mô tả sự tiến hóa theo thời gian của hàm phân bố $f$. Phương trình Boltzmann có dạng:

$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\mathbf{p}}{m} \cdot \nabla{\mathbf{q}} f + \mathbf{F} \cdot \nabla{\mathbf{p}} f = \left( \frac{\partial f}{\partial t} \right)_{coll}$

Vế trái biểu diễn sự thay đổi của $f$ do chuyển động tự do của các hạt và tác dụng của lực ngoài $\mathbf{F}$. Vế phải, được gọi là toán tử va chạm, mô tả sự thay đổi của $f$ do va chạm giữa các hạt. Cần lưu ý rằng $\nabla{\mathbf{q}}$ và $\nabla{\mathbf{p}}$ lần lượt là toán tử gradient theo tọa độ vị trí $\mathbf{q}$ và động lượng $\mathbf{p}$.

Bằng cách sử dụng phương trình Boltzmann, ta có thể tính đạo hàm thời gian của H:

$\frac{dH}{dt} = \int \left( 1 + \ln f \right) \frac{\partial f}{\partial t} \, d\mathbf{p} \, d\mathbf{q}$

Sau khi thay thế $\frac{\partial f}{\partial t}$ từ phương trình Boltzmann và thực hiện một số biến đổi toán học, ta có thể chứng minh rằng:

$\frac{dH}{dt} \le 0$

Giới hạn của Định lý H

• Giả định khí lý tưởng: Định lý H được xây dựng dựa trên giả định khí lý tưởng, trong đó các hạt tương tác với nhau chỉ thông qua va chạm đàn hồi tức thời. Đối với các hệ thực tế phức tạp hơn, định lý H có thể không áp dụng. Ví dụ, trong các hệ có tương tác tầm xa, giả định va chạm tức thời không còn chính xác.
• Tính chất thống kê: Định lý H chỉ đúng về mặt thống kê. Mặc dù xác suất để H giảm là rất nhỏ, nhưng về mặt lý thuyết vẫn có thể xảy ra. Điều này liên quan đến nghịch lý Loschmidt đã được đề cập trước đó.

Ứng dụng của Định lý H

Định lý H có nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu các hệ thống không cân bằng, ví dụ như:

• Vận chuyển khí: Định lý H có thể được sử dụng để mô hình hóa sự khuếch tán và dẫn nhiệt trong khí.
• Plasma: Định lý H được sử dụng để nghiên cứu sự tiến hóa của plasma tới trạng thái cân bằng.

Phát triển sau này

Kể từ khi Boltzmann đề xuất, định lý H đã được mở rộng và phát triển theo nhiều hướng khác nhau. Ví dụ, đã có những nỗ lực để khái quát hóa định lý H cho các hệ thống không phải là khí lý tưởng, cũng như cho các hệ thống lượng tử.

• Boltzmann, L. (1872). Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen. Wiener Berichte, 66, 275-370.
• Huang, K. (1987). Statistical Mechanics. John Wiley & Sons.
• Pathria, R. K., & Beale, P. D. (2011). Statistical Mechanics. Elsevier.
• Reif, F. (1965). Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw-Hill.

Câu hỏi và Giải đáp

Làm thế nào để chứng minh định lý H từ phương trình Boltzmann?

Trả lời: Việc chứng minh bắt đầu bằng việc tính đạo hàm thời gian của H và thay thế $\frac{\partial f}{\partial t}$ từ phương trình Boltzmann. Sau đó, sử dụng tích phân từng phần và một số biến đổi toán học, kết hợp với giả định về va chạm phân tử đàn hồi và nguyên lý chi tiết cân bằng, ta có thể chứng minh rằng $\frac{dH}{dt} le 0$. Chi tiết của chứng minh khá phức tạp và đòi hỏi kiến thức toán học vững chắc.

Định lý H có áp dụng cho các hệ thống không phải là khí lý tưởng không?

Trả lời: Định lý H, ở dạng ban đầu, được phát triển cho khí lý tưởng. Tuy nhiên, các nguyên lý cốt lõi của nó, đặc biệt là sự liên hệ giữa hàm phân bố xác suất và entropy, đã được mở rộng và áp dụng cho các hệ thống phức tạp hơn, bao gồm cả hệ thống có tương tác phức tạp giữa các hạt. Tuy nhiên, việc áp dụng cho các hệ thống không phải khí lý tưởng thường đòi hỏi phải sửa đổi và khái quát hóa định nghĩa của H và phương trình Boltzmann.

Sự khác biệt giữa H-theorem của Boltzmann và định nghĩa entropy của Gibbs là gì?

Trả lời: Boltzmann định nghĩa H liên quan đến phân bố của các hạt trong không gian pha, trong khi entropy của Gibbs được định nghĩa dựa trên số lượng các trạng thái vi mô tương ứng với một trạng thái vĩ mô. Mặc dù cả hai đều liên quan đến entropy, nhưng chúng có cách tiếp cận khác nhau. Entropy của Gibbs mang tính tổng quát hơn và có thể áp dụng cho cả hệ cân bằng và không cân bằng, trong khi H-theorem của Boltzmann, ở dạng ban đầu, chủ yếu áp dụng cho hệ tiến tới cân bằng.

Làm thế nào để giải thích nghịch lý Loschmidt trong bối cảnh định lý H?

Trả lời: Nghịch lý Loschmidt đặt ra câu hỏi về tính bất khả nghịch của định lý H, cho rằng nếu đảo ngược vận tốc của tất cả các hạt, hệ sẽ tiến hoá ngược lại, làm H giảm. Boltzmann giải thích rằng định lý H mang tính thống kê. Xác suất để tất cả các hạt đồng thời đảo ngược vận tốc theo cách tạo ra sự giảm H là cực kỳ nhỏ, mặc dù về mặt lý thuyết là có thể. Do đó, sự tăng của entropy và giảm của H là xu hướng áp đảo, mặc dù không phải là tuyệt đối.

Định lý H có ý nghĩa gì đối với sự hiểu biết của chúng ta về “mũi tên thời gian”?

Trả lời: Định lý H, với việc chứng minh sự tăng entropy theo thời gian trong một hệ cô lập, cung cấp một lời giải thích ở cấp độ vi mô cho “mũi tên thời gian” nhiệt động lực học. Nó cho thấy rằng sự tiến hóa của các hệ thống vật lý theo hướng tăng entropy là một quá trình thống kê, không phải là một hệ quả trực tiếp từ các định luật cơ học khả nghịch theo thời gian. Định lý H củng cố ý tưởng rằng thời gian có một hướng ưu tiên, được xác định bởi sự tăng entropy.