Định lý Millman (Millman’s Theorem)

Phát biểu định lý:

Điện áp tại nút chung của nhiều nhánh mạch song song, mỗi nhánh chứa một nguồn điện áp nối tiếp với một điện trở, bằng tổng của tích giữa điện áp nguồn và độ dẫn của mỗi nhánh chia cho tổng độ dẫn của tất cả các nhánh. Nói cách khác, nếu gọi $V_k$ là điện áp nguồn và $R_k$ là điện trở trên nhánh thứ $k$, thì điện áp tại nút chung $V$ được tính theo công thức:

$V = \frac{\sum_{k=1}^{n} \frac{V_k}{Rk}}{\sum{k=1}^{n} \frac{1}{R_k}}$

Trong đó, $n$ là số lượng nhánh mạch song song. Độ dẫn của mỗi nhánh là nghịch đảo của điện trở ($G_k = 1/R_k$). Công thức trên cũng có thể được viết dưới dạng sử dụng độ dẫn:

$V = \frac{\sum_{k=1}^{n} V_k Gk}{\sum{k=1}^{n} G_k}$

Công thức Định lý Millman

Nếu $V_1, V_2, …, V_n$ là các nguồn điện áp và $R_1, R_2, …, Rn$ là các điện trở tương ứng trong $n$ nhánh song song, thì điện áp tại nút chung $V{Millman}$ được tính bằng:

$V{Millman} = \frac{\sum{k=1}^{n} \frac{V_k}{Rk}}{\sum{k=1}^{n} \frac{1}{R_k}} = \frac{\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + … + \frac{V_n}{R_n}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + … + \frac{1}{R_n}}$

Trong đó:

• $V_k$ là điện áp nguồn của nhánh thứ $k$.
• $R_k$ là điện trở của nhánh thứ $k$.

Lưu ý:

• Định lý Millman chỉ áp dụng cho các mạch chứa các nguồn điện áp nối tiếp với điện trở mắc song song.
• Nếu một nhánh chỉ chứa nguồn dòng $I_k$ mắc song song với điện trở $R_k$, ta có thể chuyển đổi nó thành nguồn điện áp tương đương $V_k = I_k R_k$.
• Nếu một nhánh chỉ chứa nguồn điện áp lý tưởng (không có điện trở nối tiếp), thì điện áp tại nút chung sẽ bằng điện áp của nguồn đó. Trong trường hợp này, định lý Millman không áp dụng trực tiếp và cần xem xét kỹ mạch. Cần lưu ý rằng việc nối song song các nguồn điện áp lý tưởng có giá trị khác nhau là không hợp lý và có thể dẫn đến mâu thuẫn.
• Nếu một nhánh chỉ chứa nguồn dòng lý tưởng (không có điện trở song song), ta không thể áp dụng trực tiếp định lý Millman. Cần phân tích mạch bằng các định luật Kirchhoff.

Ví dụ

Cho mạch điện gồm ba nhánh song song. Nhánh 1 gồm nguồn điện áp $V_1 = 10V$ và điện trở $R_1 = 2 \Omega$. Nhánh 2 gồm nguồn điện áp $V_2 = 5V$ và điện trở $R_2 = 4 \Omega$. Nhánh 3 gồm nguồn điện áp $V_3 = 15V$ và điện trở $R_3 = 6 \Omega$. Áp dụng định lý Millman để tính điện áp tại nút chung:

$V_{Millman} = \frac{\frac{10}{2} + \frac{5}{4} + \frac{15}{6}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}} = \frac{5 + 1.25 + 2.5}{0.5 + 0.25 + 0.1667} = \frac{8.75}{0.9167} \approx 9.54V$

Ứng dụng

Định lý Millman được sử dụng rộng rãi trong việc phân tích các mạch điện tử, đặc biệt là trong:

• Tính toán điện áp tại nút chung của các mạch chia điện áp.
• Đơn giản hóa việc phân tích các mạch phức tạp.
• Thiết kế và phân tích các mạch nguồn.

Định lý Millman là một công cụ hữu ích cho việc phân tích mạch điện, giúp đơn giản hóa việc tính toán và tiết kiệm thời gian. Việc nắm vững định lý này sẽ giúp ích rất nhiều trong việc học tập và làm việc với các mạch điện tử.

So sánh với các phương pháp khác

Mặc dù định lý Millman cung cấp một cách tiếp cận nhanh chóng để tính toán điện áp nút, nhưng nó không phải lúc nào cũng là phương pháp hiệu quả nhất. Đối với các mạch đơn giản, việc áp dụng trực tiếp định luật Ohm hoặc định luật Kirchhoff có thể dễ dàng hơn. Tuy nhiên, khi mạch phức tạp hơn với nhiều nguồn, định lý Millman trở nên đặc biệt hữu ích, giảm thiểu số lượng phương trình cần giải.

Mở rộng cho các nguồn dòng

Như đã đề cập, định lý Millman có thể được mở rộng để bao gồm các nguồn dòng. Một nguồn dòng $I_k$ mắc song song với điện trở $R_k$ có thể được biến đổi thành một nguồn điện áp tương đương $V_k = I_k R_k$ nối tiếp với $R_k$. Sau đó, ta có thể áp dụng công thức Millman như bình thường. Cụ thể hơn, nếu có nguồn dòng $I_k$ hướng vào nút, ta cộng $I_k$ vào tử số của công thức Millman. Nếu $I_k$ hướng ra khỏi nút, ta trừ $I_k$ khỏi tử số. Công thức tổng quát khi có cả nguồn áp và nguồn dòng sẽ là:

$V{Millman} = \frac{\sum{k=1}^{n} \frac{V_k}{Rk} + \sum{j=1}^{m} Ij}{\sum{k=1}^{n} \frac{1}{R_k}}$

Trong đó, $n$ là số nhánh có nguồn áp và $m$ là số nhánh có nguồn dòng. $I_j$ là dòng của nguồn dòng thứ $j$ (dương nếu hướng vào nút, âm nếu hướng ra khỏi nút).

Hạn chế

Định lý Millman chỉ áp dụng cho các mạch tuyến tính, tức là các mạch chỉ chứa các thành phần tuyến tính như điện trở, nguồn điện áp và nguồn dòng lý tưởng. Nó không áp dụng cho các mạch phi tuyến chứa các thành phần như diode, transistor.

Ví dụ bổ sung (bao gồm nguồn dòng)

Xét mạch điện có ba nhánh. Nhánh 1: $V_1 = 10V$, $R_1 = 2\Omega$. Nhánh 2: $I_2 = 2A$ (hướng vào nút), $R_2 = 4\Omega$. Nhánh 3: $V_3 = 5V$, $R_3 = 1\Omega$.

$V_{Millman} = \frac{\frac{10}{2} + 2 + \frac{5}{1}}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{1}} = \frac{5 + 2 + 5}{0.5 + 0.25 + 1} = \frac{12}{1.75} \approx 6.86V$

Tài liệu tham khảo

• Fundamentals of Electric Circuits, Charles K. Alexander, Matthew N.O. Sadiku – McGraw-Hill Education.
• Electric Circuits, James W. Nilsson, Susan A. Riedel – Pearson.
• Practical Electronics for Inventors, Paul Scherz, Simon Monk – McGraw-Hill Education.

Câu hỏi và Giải đáp

Định lý Millman có áp dụng được cho mạch chứa cả nguồn điện áp phụ thuộc không?

Trả lời: Không trực tiếp. Định lý Millman ở dạng cơ bản chỉ áp dụng cho các nguồn điện áp và dòng điện độc lập. Với mạch chứa nguồn phụ thuộc, ta cần kết hợp định lý Millman với các phương pháp phân tích mạch khác như định luật Kirchhoff để giải quyết bài toán. Cụ thể, ta cần biểu diễn nguồn phụ thuộc theo các biến số mạch khác, sau đó áp dụng Millman và Kirchhoff để tìm ra điện áp nút.

Nếu một nhánh trong mạch song song chỉ chứa một điện trở, không có nguồn, ta xử lý như thế nào khi áp dụng định lý Millman?

Trả lời: Nhánh chỉ chứa điện trở $R$ có thể được coi như một nguồn điện áp $V = 0V$ nối tiếp với điện trở $R$. Khi đó, ta vẫn áp dụng công thức Millman bình thường, với $V_k = 0$ cho nhánh đó. Về mặt toán học, việc này tương đương với việc chỉ cộng $\frac{1}{R}$ vào mẫu số của công thức Millman.

Sự khác biệt giữa việc sử dụng định lý Millman và phương pháp biến đổi nguồn Norton/Thevenin là gì?

Trả lời: Cả hai phương pháp đều giúp đơn giản hóa mạch, nhưng chúng có mục đích khác nhau. Định lý Millman tính toán điện áp tại một nút cụ thể, trong khi biến đổi Norton/Thevenin đơn giản hóa toàn bộ mạch nhìn từ hai điểm bất kỳ thành một mạch tương đương đơn giản hơn. Có thể kết hợp cả hai phương pháp để phân tích mạch phức tạp.

Có cách nào để mở rộng định lý Millman cho mạch ba pha không?

Trả lời: Định lý Millman ở dạng cơ bản không trực tiếp áp dụng cho mạch ba pha. Mạch ba pha liên quan đến các điện áp và dòng điện xoay chiều lệch pha nhau. Tuy nhiên, các nguyên lý cơ bản của định lý Millman, tức là việc kết hợp các nguồn song song, vẫn có thể được áp dụng trong phân tích mạch ba pha, kết hợp với các kỹ thuật phân tích mạch xoay chiều.

Làm thế nào để kiểm tra tính chính xác của kết quả khi áp dụng định lý Millman?

Trả lời: Sau khi tính toán điện áp nút bằng định lý Millman, ta có thể kiểm tra kết quả bằng cách sử dụng các phương pháp khác như định luật Kirchhoff để phân tích lại mạch. Nếu kết quả trùng khớp, ta có thể tin tưởng vào tính chính xác của phép tính. Ngoài ra, việc mô phỏng mạch bằng phần mềm cũng là một cách hiệu quả để kiểm tra kết quả.