Định lý Noether (Noether’s theorem)

Phát biểu định lý:

Có nhiều cách phát biểu định lý Noether, từ dạng đơn giản đến dạng tổng quát hơn. Dưới đây là một số cách phát biểu phổ biến:

• Hình thức đơn giản: Mỗi đối xứng khả vi của tác dụng của một hệ vật lý có một đại lượng bảo toàn tương ứng.
• Hình thức chi tiết hơn: Nếu tác dụng của một hệ vật lý bất biến dưới một phép biến đổi liên tục tham số hóa bởi một tham số $\epsilon$, thì tồn tại một dòng bảo toàn $J^\mu$ sao cho:

$\partial_\mu J^\mu = 0$

trong đó $x^\mu$ là tọa độ không-thời gian. Ký hiệu $\partial_\mu$ là viết tắt của $\frac{\partial}{\partial x^\mu}$. Đại lượng bảo toàn tương ứng là tích phân của $J^0$ (thành phần thời gian của dòng bảo toàn) trên toàn bộ không gian:

$Q = \int J^0 d^3x$

Ví dụ

Một số ví dụ minh họa cho Định lý Noether bao gồm:

• Đối xứng tịnh tiến thời gian: Nếu một hệ bất biến dưới phép tịnh tiến thời gian (nghĩa là các định luật vật lý không thay đổi theo thời gian), thì năng lượng của hệ được bảo toàn.
• Đối xứng tịnh tiến không gian: Nếu một hệ bất biến dưới phép tịnh tiến không gian (nghĩa là các định luật vật lý giống nhau ở mọi vị trí trong không gian), thì động lượng của hệ được bảo toàn.
• Đối xứng quay: Nếu một hệ bất biến dưới phép quay (nghĩa là các định luật vật lý giống nhau ở mọi hướng), thì mô men động lượng của hệ được bảo toàn.

Ý nghĩa

Định lý Noether có tầm quan trọng lớn trong vật lý lý thuyết vì nó cung cấp một phương pháp hệ thống để tìm ra các đại lượng bảo toàn từ các đối xứng của hệ. Nó giúp đơn giản hóa việc phân tích các hệ vật lý phức tạp và cung cấp cái nhìn sâu sắc về mối liên hệ giữa các đối xứng và các định luật bảo toàn. Định lý này được áp dụng rộng rãi trong cơ học cổ điển, cơ học lượng tử, lý thuyết trường lượng tử và thuyết tương đối rộng.

Hạn chế

Định lý Noether chỉ áp dụng cho các đối xứng liên tục, tức là các đối xứng có thể được tham số hóa bởi một tham số liên tục. Nó không áp dụng cho các đối xứng rời rạc, ví dụ như đối xứng phản xạ. Ngoài ra, định lý này cũng yêu cầu tác dụng của hệ phải bất biến dưới phép biến đổi, điều này không phải lúc nào cũng đúng trong các hệ phức tạp. Một số hệ thống mở hoặc hệ thống tiêu tán năng lượng có thể không tuân theo định lý Noether một cách chặt chẽ.

Xây dựng đại lượng bảo toàn

Để minh họa cách xây dựng đại lượng bảo toàn từ một đối xứng, ta xét một ví dụ đơn giản: một hạt chuyển động trong một trường thế một chiều $V(x)$. Lagrangian của hệ được cho bởi:

$L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 – V(x)$

Giả sử hệ bất biến dưới phép tịnh tiến không gian, tức là $V(x) = V(x + \epsilon)$. Biến đổi infinitesimal của $x$ là $\delta x = \epsilon$. Biến đổi tương ứng của Lagrangian là:

$\delta L = \frac{\partial L}{\partial x} \delta x + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta \dot{x} = -\frac{dV}{dx}\epsilon + m\dot{x}\frac{d\epsilon}{dt}$

Vì hệ bất biến, nên $\delta L = 0$. Nếu $\epsilon$ là hằng số theo thời gian, ta có:

$-\frac{dV}{dx}\epsilon = 0$

Điều này không cho ta thông tin gì mới (vì nó chỉ nói trường thế là đồng nhất, điều mà ta đã giả sử). Tuy nhiên, nếu $\epsilon$ là hàm của thời gian, và ta sử dụng phương trình Euler-Lagrange:

$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}) – \frac{\partial L}{\partial x} = 0$

Kết hợp với $\delta L = m\dot{x}\frac{d\epsilon}{dt}$, ta viết lại $\delta L$ dưới dạng:

$\delta L = \frac{d}{dt}(m\dot{x}\epsilon)$

Khi tác dụng bất biến ($\delta S = \int \delta L dt = 0$ với $\epsilon$ biến mất ở các điểm đầu và cuối), ta có:
$0 = \int dt \frac{d}{dt}(m\dot{x}\epsilon – \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\epsilon) = \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\epsilon)$

Trong trường hợp này, do $\epsilon$ là tuỳ ý, nên $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$ là đại lượng bảo toàn. Vậy, đại lượng bảo toàn là động lượng $p = m\dot{x}$.

Mở rộng cho trường lượng tử

Định lý Noether cũng có thể được áp dụng cho các trường lượng tử. Trong trường hợp này, đối xứng là một biến đổi của trường và các đạo hàm của nó, và đại lượng bảo toàn là một dòng bảo toàn. Ví dụ, đối xứng gauge trong điện động lực học lượng tử dẫn đến sự bảo toàn điện tích.

Đối xứng và Định luật Bảo toàn trong Thuyết Tương Đối

Trong thuyết tương đối, định lý Noether cũng đóng vai trò quan trọng. Ví dụ, tính bất biến Lorentz của một hệ dẫn đến sự bảo toàn của tensor năng lượng-động lượng.

Kết luận

Định lý Noether là một kết quả sâu sắc và nền tảng trong vật lý lý thuyết, cung cấp một liên kết chặt chẽ giữa đối xứng và định luật bảo toàn. Nó không chỉ giúp đơn giản hóa việc phân tích các hệ vật lý mà còn cung cấp một cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của các lý thuyết vật lý.

• Noether, E. (1918). Invariante Variationsprobleme. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 235–257.
• Goldstein, H. (1980). Classical Mechanics. Addison-Wesley.
• Peskin, M. E., & Schroeder, D. V. (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press.
• Landau, L. D., & Lifshitz, E. M. (1975). The Classical Theory of Fields. Butterworth-Heinemann.

Câu hỏi và Giải đáp

Định lý Noether chỉ áp dụng cho các đối xứng liên tục. Vậy đối xứng rời rạc là gì và tại sao định lý này không áp dụng cho chúng?

Trả lời: Đối xứng rời rạc là một phép biến đổi không thể được tham số hóa bởi một tham số liên tục. Ví dụ, phép phản xạ là một đối xứng rời rạc. Định lý Noether dựa trên việc biến đổi infinitesimal của tác dụng, và các biến đổi infinitesimal này chỉ có ý nghĩa đối với các đối xứng liên tục. Đối với đối xứng rời rạc, ta không thể xây dựng một biến đổi infinitesimal và do đó không thể áp dụng định lý Noether.

Làm thế nào để xác định dòng bảo toàn $J^\mu$ tương ứng với một đối xứng cụ thể?

Trả lời: Dòng bảo toàn $J^\mu$ có thể được xác định bằng cách sử dụng công thức sau, xuất phát từ biến phân của Lagrangian dưới một biến đổi infinitesimal:

$J^\mu = \sumi \frac{\partial L}{\partial (\partial\mu \phi_i)} \delta \phi_i – K^\mu$

Trong đó, $\phi_i$ là các trường của hệ, $\delta \phii$ là biến đổi infinitesimal của các trường tương ứng với đối xứng đang xét, và $K^\mu$ là một hàm bất kỳ thỏa mãn $\partial\mu K^\mu = \delta L$ với $\delta L$ là biến đổi infinitesimal của Lagrangian.

Định lý Noether có ý nghĩa gì đối với việc phát triển các lý thuyết vật lý mới?

Trả lời: Định lý Noether cung cấp một hướng dẫn quan trọng cho việc phát triển các lý thuyết vật lý mới. Bằng cách yêu cầu các lý thuyết này phải bất biến dưới một tập hợp các đối xứng, ta có thể đảm bảo rằng chúng tuân theo các định luật bảo toàn tương ứng. Điều này giúp hạn chế các khả năng và giúp xây dựng các lý thuyết nhất quán và có ý nghĩa vật lý.

Bên cạnh năng lượng, động lượng và mômen động lượng, còn có những đại lượng bảo toàn nào khác được suy ra từ định lý Noether?

Trả lời: Có rất nhiều đại lượng bảo toàn khác được suy ra từ định lý Noether, tùy thuộc vào đối xứng của hệ thống. Ví dụ, trong lý thuyết trường lượng tử, điện tích được bảo toàn là hệ quả của đối xứng gauge. Trong vật lý hạt, số baryon và số lepton được bảo toàn cũng liên quan đến các đối xứng cụ thể.

Định lý Noether có vai trò gì trong việc hiểu về sự phá vỡ đối xứng tự phát?

Trả lời: Sự phá vỡ đối xứng tự phát xảy ra khi trạng thái cơ bản của một hệ thống không bất biến dưới một đối xứng của Lagrangian. Mặc dù đối xứng của Lagrangian vẫn tồn tại, nó không được phản ánh trong trạng thái cơ bản. Định lý Noether vẫn áp dụng, nhưng đại lượng bảo toàn tương ứng có thể có giá trị kỳ vọng chân không khác không hoặc có thể kết hợp với các trường khác để tạo thành các hạt Goldstone. Việc hiểu về sự phá vỡ đối xứng tự phát là rất quan trọng trong Mô hình Chuẩn của vật lý hạt, nơi nó giải thích nguồn gốc khối lượng của các hạt cơ bản.