Định lý phân chia đều (Equipartition Theorem)

Giải thích:

• Bậc tự do: Một bậc tự do là một biến độc lập mô tả trạng thái của một hệ. Ví dụ, một hạt điểm trong không gian ba chiều có ba bậc tự do tịnh tiến (x, y, z). Một phân tử hai nguyên tử có thêm hai bậc tự do quay. Một phân tử đa nguyên tử phức tạp hơn có thể có nhiều bậc tự do dao động.
• Năng lượng bậc hai: Định lý chỉ áp dụng cho các bậc tự do mà năng lượng của chúng phụ thuộc theo dạng bậc hai vào tọa độ tổng quát tương ứng. Ví dụ:
  • Động năng tịnh tiến: $E_k = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(dot{x}^2 + dot{y}^2 + dot{z}^2)$
  • Động năng quay: $E_r = \frac{1}{2}I\omega^2$
  • Thế năng của dao động điều hòa: $U = \frac{1}{2}kx^2$
• $\frac{1}{2}k_BT$ cho mỗi bậc tự do: Định lý khẳng định rằng mỗi bậc tự do như vậy sẽ đóng góp trung bình $\frac{1}{2}k_BT$ vào năng lượng của hệ. Điều này có nghĩa là năng lượng được phân chia đều cho tất cả các bậc tự do bậc hai.

Ứng dụng

Định lý phân chia đều có nhiều ứng dụng trong vật lý, bao gồm:

• Nhiệt dung của chất khí lý tưởng: Đối với khí lý tưởng đơn nguyên tử, mỗi nguyên tử có ba bậc tự do tịnh tiến. Do đó, năng lượng trong của một mol khí là $U = \frac{3}{2}Nk_BT = \frac{3}{2}RT$, và nhiệt dung đẳng tích là $C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{3}{2}R$. Đối với khí lý tưởng hai nguyên tử, có thêm hai bậc tự do quay, dẫn đến $C_V = \frac{5}{2}R$.
• Nhiệt dung của chất rắn: Mỗi nguyên tử trong mạng tinh thể có ba bậc tự do dao động, mỗi bậc tự do đóng góp cả động năng và thế năng, tổng cộng là $k_BT$. Do đó, năng lượng trong của một mol chất rắn là $U = 3Nk_BT = 3RT$, và nhiệt dung đẳng tích là $C_V = 3R$ (định luật Dulong-Petit).

Hạn chế

Định lý phân chia đều chỉ đúng trong giới hạn cổ điển. Ở nhiệt độ thấp, hiệu ứng lượng tử trở nên quan trọng và định lý không còn chính xác. Ví dụ, bậc tự do dao động không đóng góp đáng kể vào nhiệt dung ở nhiệt độ thấp. Định lý cũng không áp dụng cho các hệ thống mà năng lượng không phụ thuộc bậc hai vào tọa độ tổng quát.

Kết luận

Định lý phân chia đều là một công cụ hữu ích để ước tính năng lượng và nhiệt dung của các hệ thống vật lý trong giới hạn cổ điển. Tuy nhiên, điều quan trọng là phải hiểu các giới hạn của nó và áp dụng nó một cách thích hợp.

Ví dụ cụ thể

Để minh họa Định lý phân chia đều, xét một hệ gồm $N$ hạt khí lý tưởng đơn nguyên tử trong một hộp kín. Mỗi nguyên tử có ba bậc tự do tịnh tiến tương ứng với chuyển động theo ba hướng x, y và z. Động năng của mỗi nguyên tử được cho bởi:

$E_k = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)$

Theo Định lý phân chia đều, mỗi bậc tự do tịnh tiến đóng góp $\frac{1}{2}k_BT$ vào năng lượng trung bình. Vì vậy, năng lượng tịnh tiến trung bình của một nguyên tử là:

$\langle E_k \rangle = \frac{1}{2}k_BT + \frac{1}{2}k_BT + \frac{1}{2}k_BT = \frac{3}{2}k_BT$

Tổng năng lượng tịnh tiến của $N$ nguyên tử là:

$U = N \langle E_k \rangle = \frac{3}{2}Nk_BT$

Từ đây, ta có thể tính nhiệt dung đẳng tích:

$C_V = left( \frac{\partial U}{\partial T} right)_V = \frac{3}{2}Nk_B$

So sánh với cơ học lượng tử

Ở nhiệt độ thấp, cơ học lượng tử trở nên quan trọng và Định lý phân chia đều không còn chính xác. Ví dụ, trong trường hợp dao động điều hòa của nguyên tử trong mạng tinh thể, cơ học lượng tử tiên đoán rằng năng lượng dao động được lượng tử hóa thành các mức năng lượng rời rạc. Ở nhiệt độ rất thấp, hầu hết các nguyên tử ở trạng thái năng lượng thấp nhất và không đóng góp vào nhiệt dung. Điều này dẫn đến sự giảm nhiệt dung ở nhiệt độ thấp, một hiện tượng mà Định lý phân chia đều không thể giải thích được.

Định lý phân chia đều là một công cụ mạnh mẽ để hiểu về hành vi nhiệt động lực học của các hệ cổ điển. Tuy nhiên, điều quan trọng cần nhớ là nó chỉ là một xấp xỉ và không áp dụng được trong mọi tình huống. Việc hiểu các giới hạn của định lý giúp chúng ta đánh giá chính xác hơn khi nào có thể áp dụng nó và khi nào cần sử dụng các phương pháp phức tạp hơn như cơ học lượng tử.

• Reif, F. (1965). Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw-Hill.
• Kittel, C., & Kroemer, H. (1980). Thermal Physics. W. H. Freeman.
• Pathria, R. K., & Beale, P. D. (2011). Statistical Mechanics. Elsevier.

Câu hỏi và Giải đáp

Định lý phân chia đều có áp dụng cho các hệ thống không ở trạng thái cân bằng nhiệt không?

Trả lời: Không. Định lý phân chia đều chỉ áp dụng cho các hệ thống ở trạng thái cân bằng nhiệt. Điều này có nghĩa là hệ thống phải có đủ thời gian để năng lượng được phân bố đều giữa các bậc tự do. Trong các hệ không cân bằng, năng lượng có thể tập trung ở một số bậc tự do nhất định, dẫn đến sự phân bố năng lượng không đều.

Làm thế nào để xác định số bậc tự do của một phân tử phức tạp?

Trả lời: Số bậc tự do của một phân tử phụ thuộc vào số nguyên tử và cấu trúc của nó. Một phân tử gồm N nguyên tử có tổng cộng 3N bậc tự do. Trong đó, 3 bậc tự do tịnh tiến, 2 hoặc 3 bậc tự do quay (2 cho phân tử tuyến tính và 3 cho phân tử phi tuyến tính). Số bậc tự do dao động còn lại là 3N – 5 (phân tử tuyến tính) hoặc 3N – 6 (phân tử phi tuyến tính).

Tại sao định lý phân chia đều không áp dụng cho dao động ở nhiệt độ thấp?

Trả lời: Ở nhiệt độ thấp, năng lượng dao động được lượng tử hóa, nghĩa là nó chỉ có thể nhận các giá trị rời rạc. Định lý phân chia đều, dựa trên cơ học cổ điển, không tính đến hiệu ứng lượng tử hóa này. Khi nhiệt độ thấp hơn năng lượng của mức dao động lượng tử đầu tiên, hầu hết các phân tử sẽ ở trạng thái cơ bản và không đóng góp vào nhiệt dung.

Nếu năng lượng của một bậc tự do phụ thuộc vào tọa độ tổng quát theo dạng $E = ax^4$, định lý phân chia đều có áp dụng được không?

Trả lời: Không. Định lý phân chia đều chỉ áp dụng cho các bậc tự do mà năng lượng phụ thuộc bậc hai vào tọa độ tổng quát (ví dụ: $E = \frac{1}{2}kx^2$). Trong trường hợp $E = ax^4$, định lý không áp dụng và cần phải sử dụng các phương pháp khác để tính năng lượng trung bình.

Định lý phân chia đều có ý nghĩa gì trong việc tính toán nhiệt dung của chất rắn?

Trả lời: Đối với chất rắn, mỗi nguyên tử có thể dao động theo ba hướng, mỗi hướng tương ứng với hai bậc tự do (động năng và thế năng). Theo định lý phân chia đều, mỗi bậc tự do đóng góp $\frac{1}{2}k_BT$ vào năng lượng. Do đó, mỗi nguyên tử đóng góp $3k_BT$ vào năng lượng của chất rắn. Điều này dẫn đến nhiệt dung đẳng tích của chất rắn là $3R$ (định luật Dulong-Petit), với R là hằng số khí. Tuy nhiên, định luật này chỉ chính xác ở nhiệt độ cao. Ở nhiệt độ thấp, cần phải xem xét hiệu ứng lượng tử.