Định lý virial (Virial theorem)

Phát biểu:

Đối với một hệ gồm N hạt chịu tác dụng của các lực bảo toàn, định lý Virial phát biểu rằng trung bình theo thời gian của động năng gấp đôi (⟨2$\bar{K}$⟩) bằng giá trị trung bình theo thời gian của virial của hệ (⟨$\bar{W}$⟩):

⟨2$\bar{K}$⟩ = ⟨$\bar{W}$⟩

Hay viết gọn hơn:

2⟨$\bar{K}$⟩ = ⟨$\bar{W}$⟩

Trong đó:

• ⟨$\bar{K}$⟩ là động năng trung bình theo thời gian của hệ.
• ⟨$\bar{W}$⟩ là virial trung bình theo thời gian của hệ. Virial được định nghĩa là $W = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i$, với $\mathbf{F}_i$ là lực tác dụng lên hạt thứ $i$ và $\mathbf{r}_i$ là vectơ vị trí của hạt đó.

Việc bổ sung định nghĩa của virial giúp làm rõ ý nghĩa của định lý. Cần lưu ý rằng định lý này áp dụng cho các hệ ổn định, nghĩa là hệ không bị phân rã hoặc sụp đổ theo thời gian.

Virial của hệ

Virial của một hệ được định nghĩa là:

$W = -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N} \mathbf{F}_i \cdot \mathbf{r}_i$

Trong đó:

• $\mathbf{F}_i$ là lực tác dụng lên hạt thứ i.
• $\mathbf{r}_i$ là vectơ vị trí của hạt thứ i.

Các trường hợp đặc biệt:

• Lực tỉ lệ với $r^n$: Nếu lực tác dụng lên mỗi hạt có dạng $\mathbf{F}_i = -k r_i^n \hat{\mathbf{r}}_i$ (ví dụ: $n=-2$ cho lực hấp dẫn, $n=1$ cho lực đàn hồi), thì virial trở thành:
  $W = -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} (-k r_i^n \hat{\mathbf{r}}_i) \cdot \mathbf{r}_i = \frac{1}{2} k \sum_{i=1}^{N} r_i^{n+1}$
  Nếu thế năng của hệ được cho bởi $U = \frac{k}{n+1}\sum_{i=1}^{N}r_i^{n+1}$ (với n ≠ -1), ta có $W = \frac{n+1}{2}U$. Vậy định lý Virial trở thành:
  $2\langle\bar{K}\rangle = \frac{n+1}{2}\langle\bar{U}\rangle$ hay $2\langle\bar{K}\rangle = -\langle\bar{W}\rangle$ nếu lực là lực trung tâm.
• Lực hấp dẫn ($n=-2$): Đối với hệ chịu tác dụng của lực hấp dẫn, định lý Virial trở thành: $2\langle\bar{K}\rangle = \frac{-1}{2}\langle\bar{U}\rangle$, hoặc $\langle\bar{K}\rangle = -\frac{1}{2}\langle\bar{U}\rangle$.Điều này có nghĩa là động năng trung bình bằng một nửa độ lớn của thế năng trung bình (và có dấu ngược nhau). Tổng năng lượng toàn phần trung bình ⟨$\bar{E}$⟩ của hệ được cho bởi:

  $\langle\bar{E}\rangle = \langle\bar{K}\rangle + \langle\bar{U}\rangle = -\langle\bar{K}\rangle = \frac{1}{2}\langle\bar{U}\rangle$

• Lực đàn hồi ($n=1$): Đối với hệ chịu tác dụng của lực đàn hồi (ví dụ, dao động điều hòa), định lý Virial trở thành: $2\langle\bar{K}\rangle = \langle\bar{U}\rangle$.Năng lượng toàn phần trung bình được bảo toàn.

Ứng dụng:

Định lý Virial có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, đặc biệt là trong:

• Thiên văn học: Xác định khối lượng của các cụm sao, thiên hà.
• Cơ học thống kê: Tính toán các đại lượng nhiệt động lực học của hệ nhiều hạt.
• Vật lý plasma: Nghiên cứu sự cân bằng của plasma.

Lưu ý và Chứng minh Định lý Virial

Lưu ý: Định lý Virial chỉ áp dụng cho các hệ ổn định, đạt trạng thái cân bằng động. Đối với các hệ không ổn định, định lý này không còn đúng nữa.

Chứng minh Định lý Virial:

Để chứng minh định lý Virial, ta xét đại lượng G, còn được gọi là moment quán tính thứ hai:

$G = \sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{p}_i$

trong đó $\mathbf{p}_i$ là động lượng của hạt thứ i. Đạo hàm theo thời gian của G là:

$\frac{dG}{dt} = \sum_{i=1}^{N} (\frac{d\mathbf{r}_i}{dt} \cdot \mathbf{p}_i + \mathbf{r}_i \cdot \frac{d\mathbf{p}_i}{dt})$

Vì $\frac{d\mathbf{r}_i}{dt} = \mathbf{v}_i$ (vận tốc) và $\frac{d\mathbf{p}_i}{dt} = \mathbf{F}_i$ (lực), ta có:

$\frac{dG}{dt} = \sum_{i=1}^{N} (\mathbf{v}_i \cdot \mathbf{p}_i + \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}i) = \sum{i=1}^{N} (m_i v_i^2 + \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}i) = 2K + \sum{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i$

trong đó $K = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i v_i^2$ là động năng của hệ.

Lấy trung bình theo thời gian trong khoảng thời gian T, ta được:

$\frac{1}{T} \int0^T \frac{dG}{dt} dt = \frac{G(T) – G(0)}{T} = 2\langle\bar{K}\rangle + \langle\bar{W}\rangle$ (với $\langle\bar{W}\rangle = -\frac{1}{2}\langle\sum{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i\rangle$ )

Đối với một hệ bị ràng buộc và ổn định, G bị giới hạn. Khi $T \rightarrow \infty$, vế trái tiến tới 0. Do đó:

$2\langle\bar{K}\rangle + \langle\bar{W}\rangle = 0$

hay

$2\langle\bar{K}\rangle = -\langle\bar{W}\rangle$

Đây là dạng tổng quát của định lý Virial.

Hạn chế của Định lý Virial:

• Định lý Virial chỉ đúng cho các hệ ổn định. Đối với các hệ không ổn định hoặc đang trong quá trình tiến hóa nhanh chóng, định lý này không áp dụng được.
• Việc tính toán giá trị trung bình theo thời gian có thể phức tạp trong một số trường hợp.

Ví dụ ứng dụng trong thiên văn học:

Định lý Virial được sử dụng rộng rãi để ước tính khối lượng của các cụm thiên hà. Bằng cách đo vận tốc của các thiên hà trong cụm và giả sử cụm ở trạng thái cân bằng động, ta có thể sử dụng định lý Virial để liên hệ động năng của các thiên hà với thế năng hấp dẫn của chúng, từ đó suy ra khối lượng của toàn bộ cụm. Lưu ý rằng việc giả sử cân bằng động là một xấp xỉ, và có những phương pháp phức tạp hơn để ước tính khối lượng cụm thiên hà khi cân bằng động không được đảm bảo.

Câu hỏi và Giải đáp

Định lý Virial có áp dụng được cho các hệ thống không ổn định, ví dụ như một ngôi sao đang trải qua giai đoạn nổ siêu tân tinh không?

Trả lời: Không. Định lý Virial chỉ áp dụng cho các hệ ổn định, đạt trạng thái cân bằng động. Trong trường hợp một ngôi sao nổ siêu tân tinh, hệ thống không còn ổn định, và định lý Virial không còn đúng nữa.

Làm thế nào để tính toán virial của hệ khi lực tác dụng không phải là lực bảo toàn, ví dụ như lực ma sát?

Trả lời: Định lý Virial, ở dạng cổ điển, được phát biểu cho các lực bảo toàn. Khi có mặt lực không bảo toàn như ma sát, cần phải xem xét công do lực ma sát thực hiện và sự thay đổi năng lượng của hệ theo thời gian. Virial trong trường hợp này sẽ không còn đơn giản là $\sum \mathbf{r}_i \cdot \mathbf{F}_i$ nữa.

Ngoài việc ước tính khối lượng của các thiên hà, còn có ứng dụng nào khác của định lý Virial trong thiên văn học?

Trả lời: Định lý Virial còn được sử dụng để nghiên cứu sự ổn định của các cấu trúc thiên hà, xác định khối lượng của cụm sao, phân tích sự phân bố vận tốc của các ngôi sao trong thiên hà, và nghiên cứu sự tiến hóa của các đám mây khí.

Nếu thế năng của hệ không tỷ lệ với một lũy thừa của khoảng cách, liệu định lý Virial có còn áp dụng được không?

Trả lời: Định lý Virial ở dạng $2\bar{K} = -(n+1)\bar{U}$ chỉ áp dụng khi thế năng tỷ lệ với $r^{n+1}$. Tuy nhiên, dạng tổng quát $2\bar{K} = -\bar{W}$ vẫn đúng, nhưng việc tính toán virial $\bar{W}$ sẽ phức tạp hơn.

Định lý Virial có liên hệ gì với định luật thứ hai của nhiệt động lực học không?

Trả lời: Mặc dù không có mối liên hệ trực tiếp, cả hai đều liên quan đến sự tiến hóa của hệ thống theo thời gian. Định lý Virial mô tả cân bằng cơ học của hệ, trong khi định luật thứ hai của nhiệt động lực học mô tả sự tiến hóa của entropy. Trong một số trường hợp, có thể sử dụng định lý Virial để hiểu rõ hơn về sự cân bằng nhiệt động lực học của hệ.