Entropy Boltzmann (Boltzmann entropy)

Công thức

Công thức Boltzmann cho entropy được cho bởi:

$S = k_B \ln \Omega$

Trong đó:

• $S$ là entropy Boltzmann.
• $k_B$ là hằng số Boltzmann, xấp xỉ $1.38 \times 10^{-23} \, J/K$.
• $\Omega$ là số lượng trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đang xét.

Công thức này cho thấy entropy tỉ lệ thuận với logarit tự nhiên của số lượng trạng thái vi mô. Điều này có nghĩa là nếu số lượng trạng thái vi mô tăng gấp đôi, entropy sẽ tăng thêm một lượng $k_B \ln 2$. Khi $\Omega = 1$, tức là chỉ có một trạng thái vi mô có thể có, entropy bằng 0, thể hiện sự chắc chắn hoàn toàn về trạng thái của hệ.

Ý nghĩa

• Liên hệ vi mô – vĩ mô: Công thức Boltzmann bắc cầu nối giữa thế giới vi mô của các nguyên tử và phân tử với các đại lượng vĩ mô mà ta có thể đo lường được. Nó cho phép ta hiểu các tính chất vĩ mô của vật chất dựa trên hành vi của các hạt cấu thành ở cấp độ vi mô.
• Tính chất cộng tính: Entropy là một đại lượng cộng tính. Entropy của một hệ gồm hai hệ con độc lập bằng tổng entropy của từng hệ con: $S_{\text{tổng}} = S_1 + S_2$. Điều này có nghĩa là entropy của một hệ lớn có thể được tính toán bằng cách cộng entropy của các phần nhỏ hơn cấu thành nên nó.
• Nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học: Entropy Boltzmann cung cấp một nền tảng thống kê cho nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học, phát biểu rằng entropy của một hệ cô lập luôn tăng hoặc không đổi theo thời gian. Điều này bởi vì hệ có xu hướng tiến tới trạng thái vĩ mô có số lượng trạng thái vi mô lớn nhất, tương ứng với entropy cao nhất.
• Sự rối loạn: Entropy thường được mô tả như một thước đo “sự rối loạn” của hệ. Tuy nhiên, “sự rối loạn” ở đây cần được hiểu theo nghĩa thống kê là số lượng cách sắp xếp các hạt ở cấp độ vi mô để tạo ra cùng một trạng thái vĩ mô. Hệ càng “rối loạn”, $\Omega$ càng lớn, và entropy càng cao. Một cách hiểu khác về “sự rối loạn” là khả năng phân bố năng lượng và vật chất trong hệ.
• Thông tin: Entropy Boltzmann cũng có thể được hiểu là thước đo sự thiếu thông tin về trạng thái vi mô chính xác của hệ. Nếu $\Omega = 1$, tức là chỉ có một trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô, thì ta biết chính xác hệ đang ở trạng thái nào và entropy bằng 0. Ngược lại, nếu $\Omega$ rất lớn, ta có rất ít thông tin về trạng thái vi mô cụ thể và entropy cao.

Ví dụ

Xét một hệ gồm hai hạt có thể ở hai trạng thái năng lượng khác nhau. Nếu cả hai hạt đều ở cùng một trạng thái năng lượng, có hai cách sắp xếp (hạt 1 ở mức năng lượng thấp, hạt 2 ở mức năng lượng thấp, hoặc cả hai ở mức năng lượng cao), nên $\Omega = 2$. Nếu mỗi hạt ở một trạng thái năng lượng khác nhau, cũng có hai cách sắp xếp (hạt 1 thấp – hạt 2 cao, hoặc hạt 1 cao – hạt 2 thấp), nên $\Omega = 2$. Ví dụ này chưa thể hiện rõ sự khác biệt về entropy. Một ví dụ tốt hơn là 4 hạt phân bố trong 2 ngăn. Nếu mỗi ngăn có 2 hạt, $\Omega = 6$. Nếu 1 ngăn chứa cả 4 hạt, $\Omega = 2$. Trường hợp phân bố đều hạt có entropy cao hơn.

Ứng dụng

Entropy Boltzmann có nhiều ứng dụng trong vật lý và các lĩnh vực liên quan, bao gồm:

• Tính toán nhiệt dung: Entropy cho phép tính toán nhiệt dung của các chất.
• Dự đoán hướng của phản ứng hóa học: Sự thay đổi entropy có thể được sử dụng để dự đoán hướng của phản ứng hóa học.
• Nghiên cứu pha chuyển tiếp: Entropy đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu các pha chuyển tiếp.
• Khoa học thông tin: Khái niệm entropy được sử dụng rộng rãi trong khoa học thông tin.
• Vũ trụ học: Entropy đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu sự tiến hóa của vũ trụ.

Mối quan hệ với entropy Gibbs

Entropy Gibbs ($G$), một đại lượng nhiệt động lực học khác, có liên quan đến entropy Boltzmann thông qua công thức:

$G = H – TS$

Trong đó:

• $G$ là năng lượng tự do Gibbs.
• $H$ là enthalpy.
• $T$ là nhiệt độ tuyệt đối.
• $S$ là entropy (trong trường hợp này là entropy Boltzmann).

Năng lượng tự do Gibbs cho biết khả năng của một quá trình diễn ra tự phát ở nhiệt độ và áp suất không đổi. Một quá trình sẽ tự phát nếu $\Delta G < 0$. Mối quan hệ giữa $G$ và $S$ cho thấy rằng entropy đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định tính tự phát của một quá trình. Ở nhiệt độ cao, ảnh hưởng của entropy ($TS$) lớn hơn, và các quá trình làm tăng entropy có nhiều khả năng xảy ra tự phát.

Hạn chế

Mặc dù mạnh mẽ, công thức Boltzmann cho entropy cũng có một số hạn chế:

• Khó khăn trong việc tính toán $\Omega$: Đối với các hệ phức tạp, việc xác định số lượng trạng thái vi mô $\Omega$ có thể cực kỳ khó khăn. Trong thực tế, người ta thường sử dụng các phương pháp xấp xỉ và các mô hình tính toán để ước tính $\Omega$.
• Hệ không cân bằng: Công thức Boltzmann được xây dựng cho các hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực học. Đối với các hệ không cân bằng, việc định nghĩa và tính toán entropy trở nên phức tạp hơn, và cần phải sử dụng các khái niệm và công cụ phức tạp hơn.

• Atkins, P., & de Paula, J. (2010). Atkins’ Physical Chemistry. Oxford University Press.
• McQuarrie, D. A. (2000). Statistical Mechanics. University Science Books.
• Reif, F. (1965). Fundamentals of Statistical and Thermal Physics. McGraw-Hill.
• Carter, A. H. (2001). Classical and Statistical Thermodynamics. Prentice Hall.

Câu hỏi và Giải đáp

Làm thế nào để tính toán entropy Boltzmann cho một hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử?

Trả lời: Đối với một hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử, số lượng trạng thái vi mô $\Omega$ có thể được tính toán bằng cách sử dụng các phương pháp thống kê, cụ thể là bằng cách tính thể tích không gian pha chiếm bởi hệ. Từ đó, ta có thể áp dụng công thức $S = k_B ln \Omega$ để tính entropy. Công thức Sackur-Tetrode cho entropy của một khí lý tưởng đơn nguyên tử là một ví dụ cụ thể cho việc tính toán này.

Entropy Boltzmann thay đổi như thế nào trong quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch của khí lý tưởng?

Trả lời: Trong quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch, không có sự trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh ( $Q = 0$). Đối với một quá trình thuận nghịch, $\Delta S = \int \frac{dQ}{T} = 0$. Do đó, entropy Boltzmann của hệ không thay đổi trong quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch.

Sự khác biệt chính giữa entropy Boltzmann và entropy Clausius là gì?

Trả lời: Entropy Clausius được định nghĩa theo sự thay đổi nhiệt ($dS = \frac{dQ_{rev}}{T}$) và tập trung vào khía cạnh vĩ mô. Trong khi đó, entropy Boltzmann được định nghĩa theo số lượng trạng thái vi mô ($S = k_B ln \Omega$) và cung cấp cái nhìn vi mô về entropy. Cả hai đều mô tả cùng một đại lượng vật lý, nhưng từ những góc độ khác nhau.

Làm thế nào để giải thích nghịch lý Gibbs bằng cách sử dụng entropy Boltzmann?

Trả lời: Nghịch lý Gibbs phát sinh khi trộn hai mẫu khí giống hệt nhau. Theo định nghĩa cổ điển, entropy sẽ tăng, nhưng trực giác cho thấy không nên có sự thay đổi entropy. Entropy Boltzmann giải quyết nghịch lý này bằng cách xem xét tính không phân biệt của các hạt. Khi trộn hai mẫu khí giống hệt nhau, số lượng trạng thái vi mô $\Omega$ không thay đổi, do đó entropy cũng không đổi.

Entropy Boltzmann có liên quan gì đến khái niệm thông tin?

Trả lời: Entropy Boltzmann có thể được hiểu là thước đo sự thiếu thông tin về trạng thái vi mô của hệ. $\Omega$ càng lớn, chúng ta càng ít biết về trạng thái vi mô chính xác, và entropy càng cao. Điều này tương đồng với khái niệm entropy thông tin, đo lường lượng thông tin cần thiết để mô tả một thông điệp.