Gần đúng Born (Born approximation)

Nguyên Lý

Gần đúng Born dựa trên lý thuyết nhiễu loạn. Nó giả sử rằng sóng tán xạ là một nhiễu loạn nhỏ của sóng phẳng tới. Phương trình Schrödinger cho tán xạ có thể được viết dưới dạng:

$ (-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r})) \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r}) $

trong đó:

• $\psi(\vec{r})$ là hàm sóng toàn phần.
• $V(\vec{r})$ là thế năng tán xạ.
• $E$ là năng lượng của hạt.
• $m$ là khối lượng của hạt.
• $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn.

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng phương trình tích phân Lippmann-Schwinger:

$ \psi(\vec{r}) = \phi(\vec{r}) + \int G(\vec{r}, \vec{r}’) V(\vec{r}’) \psi(\vec{r}’) d^3r’ $

trong đó:

• $\phi(\vec{r})$ là sóng phẳng tới, $ \phi(\vec{r}) = e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}} $ với $\vec{k}$ là vector sóng của hạt tới.
• $G(\vec{r}, \vec{r}’)$ là hàm Green, đại diện cho sóng hình cầu phát ra từ nguồn tại $\vec{r}’$.

Gần đúng Born bậc nhất giả sử rằng hàm sóng toàn phần $\psi(\vec{r})$ gần bằng sóng phẳng tới $\phi(\vec{r})$ trong tích phân. Do đó, ta có:

$ \psi(\vec{r}) \approx \phi(\vec{r}) + \int G(\vec{r}, \vec{r}’) V(\vec{r}’) \phi(\vec{r}’) d^3r’ $

Biên độ tán xạ $f(\theta, \phi)$ được xác định từ hàm sóng tán xạ ở xa:

$ \psi(\vec{r}) \xrightarrow[r \to \infty]{} e^{i\vec{k} \cdot \vec{r}} + f(\theta, \phi) \frac{e^{ikr}}{r} $

So sánh với gần đúng Born bậc nhất, ta có:

$ f(\theta, \phi) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2} \int e^{i\vec{q} \cdot \vec{r}’} V(\vec{r}’) d^3r’ $

trong đó $\vec{q} = \vec{k}’ – \vec{k}$ là vector truyền động lượng, với $\vec{k}’$ là vector sóng của hạt tán xạ. Độ lớn của $\vec{q}$ được cho bởi $q = 2k \sin(\theta/2)$, với $\theta$ là góc tán xạ.

Điều Kiện Áp Dụng

Gần đúng Born có giá trị khi thế năng tán xạ $V(\vec{r})$ yếu. Một điều kiện định lượng cho điều này là:

$ |V_0| \ll \frac{\hbar^2}{ma^2} $

trong đó $V_0$ là độ lớn đặc trưng của thế năng và $a$ là tầm ảnh hưởng của thế năng. Nói cách khác, điều kiện này đòi hỏi năng lượng đặc trưng của thế năng phải nhỏ hơn nhiều so với động năng của hạt trong vùng tán xạ.

Ưu Điểm và Nhược Điểm

Ưu điểm: Đơn giản để tính toán, đặc biệt là cho các thế năng có dạng đơn giản. Cung cấp cái nhìn sâu sắc về vật lý của quá trình tán xạ. Cho phép tính toán nhanh chóng biên độ tán xạ, đặc biệt hữu ích trong việc khảo sát định tính.

Nhược điểm: Chỉ chính xác khi thế năng tán xạ yếu. Không chính xác cho tán xạ ở góc lớn hoặc năng lượng thấp. Không bảo toàn lượng xác suất. Chỉ là gần đúng bậc nhất, bỏ qua các hiệu ứng tán xạ bậc cao.

Ứng Dụng

Gần đúng Born được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực vật lý, bao gồm:

• Tán xạ electron bởi nguyên tử và phân tử.
• Tán xạ neutron bởi hạt nhân.
• Tán xạ tia X bởi tinh thể.

Ngoài ra, gần đúng Born còn được ứng dụng trong việc nghiên cứu tán xạ sóng điện từ bởi các vật thể nhỏ.

Tóm Lại

Gần đúng Born là một công cụ hữu ích để hiểu và tính toán tán xạ trong cơ học lượng tử khi thế năng tán xạ yếu. Mặc dù có những hạn chế, nó cung cấp một phương pháp đơn giản và hiệu quả để phân tích nhiều vấn đề tán xạ quan trọng và là điểm khởi đầu quan trọng cho các phương pháp gần đúng phức tạp hơn.

Gần Đúng Born Bậc Cao

Nếu thế năng tán xạ không đủ yếu để gần đúng Born bậc nhất cho kết quả chính xác, ta có thể sử dụng gần đúng Born bậc cao. Phương trình Lippmann-Schwinger có thể được giải bằng phương pháp lặp:

$ \psi(\vec{r}) = \phi(\vec{r}) + \int G(\vec{r}, \vec{r}’) V(\vec{r}’) \phi(\vec{r}’) d^3r’ + \iint G(\vec{r}, \vec{r}’) V(\vec{r}’) G(\vec{r}’, \vec{r}”) V(\vec{r}”) \phi(\vec{r}”) d^3r’ d^3r” + …$

Gần đúng Born bậc n tương ứng với việc giữ n số hạng đầu tiên trong chuỗi này. Gần đúng Born bậc hai, ví dụ, được cho bởi:

$ \psi(\vec{r}) \approx \phi(\vec{r}) + \int G(\vec{r}, \vec{r}’) V(\vec{r}’) \phi(\vec{r}’) d^3r’ + \iint G(\vec{r}, \vec{r}’) V(\vec{r}’) G(\vec{r}’, \vec{r}”) V(\vec{r}”) \phi(\vec{r}”) d^3r’ d^3r” $

Việc tính toán gần đúng Born bậc cao phức tạp hơn nhiều so với bậc nhất, nhưng chúng có thể cung cấp độ chính xác cao hơn khi thế năng mạnh hơn.

Liên Hệ với Chuỗi Dyson

Phương pháp gần đúng Born có liên hệ chặt chẽ với chuỗi Dyson, một công cụ quan trọng trong lý thuyết trường lượng tử. Chuỗi Dyson cung cấp một biểu diễn nhiễu loạn chính xác cho toán tử tiến hóa thời gian. Gần đúng Born có thể được xem như là một phiên bản đơn giản hóa của chuỗi Dyson áp dụng cho tán xạ.

Tán Xạ từ Nhiều Trung Tâm Tán Xạ

Gần đúng Born cũng có thể được áp dụng cho tán xạ từ một tập hợp các trung tâm tán xạ. Trong trường hợp này, thế năng tán xạ tổng cộng là tổng của các thế năng riêng lẻ của từng trung tâm. Biên độ tán xạ tổng cộng sau đó là tổng của các biên độ tán xạ từ từng trung tâm, được tính bằng gần đúng Born. Điều này được gọi là nguyên lý chồng chất trong tán xạ.

Hạn Chế của Gần Đúng Born

Ngoài việc không chính xác cho thế năng mạnh, gần đúng Born cũng có một số hạn chế khác. Nó không bảo toàn lượng xác suất, nghĩa là tổng xác suất của tất cả các quá trình tán xạ có thể không bằng 1. Nó cũng không chính xác cho tán xạ ở góc lớn, đặc biệt là ở năng lượng thấp. Hơn nữa, gần đúng Born giả định rằng thế năng tán xạ không ảnh hưởng đến sóng tới, điều này không đúng trong thực tế.

Ví Dụ Ứng Dụng: Tán Xạ Rutherford

Một ví dụ điển hình của việc áp dụng gần đúng Born là tán xạ Rutherford, mô tả tán xạ của các hạt tích điện bởi hạt nhân nguyên tử. Trong trường hợp này, thế năng Coulomb được sử dụng làm thế năng tán xạ. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng gần đúng Born chỉ cho kết quả gần đúng cho tán xạ Rutherford, và một phân tích đầy đủ hơn cần phải được thực hiện để có được kết quả chính xác.

• J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition (Addison-Wesley, 1994).
• D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd Edition (Pearson Prentice Hall, 2005).
• R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, 2nd Edition (Plenum Press, 1994).

Câu hỏi và Giải đáp

Điều gì xảy ra khi điều kiện $|V_0| ll \frac{\hbar^2}{ma^2}$ không được thỏa mãn, tức là thế năng tán xạ không yếu?

Trả lời: Khi thế năng tán xạ không yếu, gần đúng Born bậc nhất không còn chính xác nữa. Ta cần sử dụng gần đúng Born bậc cao hơn hoặc các phương pháp khác như phương pháp sóng riêng phần hoặc phương pháp ma trận T để tính toán biên độ tán xạ. Những phương pháp này phức tạp hơn về mặt tính toán nhưng cho kết quả chính xác hơn.

Hàm Green $G(\vec{r}, \vec{r}’)$ có ý nghĩa vật lý như thế nào trong phương trình Lippmann-Schwinger?

Trả lời: Hàm Green $G(\vec{r}, \vec{r}’)$ biểu diễn ảnh hưởng của một nguồn điểm đặt tại $\vec{r}’$ lên sóng tại $\vec{r}$. Trong ngữ cảnh tán xạ, nó mô tả sóng hình cầu phát ra từ điểm tán xạ $\vec{r}’$. Hàm Green chứa đựng thông tin về môi trường mà sóng truyền qua.

Tại sao gần đúng Born không bảo toàn luồng xác suất?

Trả lời: Gần đúng Born chỉ là một gần đúng bậc nhất. Việc cắt ngắn chuỗi nhiễu loạn ở bậc nhất dẫn đến việc không bảo toàn luồng xác suất. Các bậc cao hơn trong chuỗi nhiễu loạn đóng góp vào việc bảo toàn luồng, nhưng chúng bị bỏ qua trong gần đúng Born bậc nhất.

Làm thế nào để tính toán gần đúng Born cho thế năng tán xạ phụ thuộc thời gian?

Trả lời: Gần đúng Born cũng có thể được mở rộng cho trường hợp thế năng phụ thuộc thời gian. Trong trường hợp này, ta cần sử dụng phương trình Lippmann-Schwinger phụ thuộc thời gian và hàm Green phụ thuộc thời gian. Việc tính toán phức tạp hơn so với trường hợp thế năng không phụ thuộc thời gian.

Ngoài tán xạ Rutherford, còn có ứng dụng nào khác của gần đúng Born trong vật lý?

Trả lời: Gần đúng Born được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực vật lý, bao gồm: tán xạ electron bởi nguyên tử và phân tử, tán xạ neutron bởi hạt nhân, tán xạ tia X bởi tinh thể, tán xạ sóng điện từ bởi các hạt nhỏ (trong quang học), và tính toán các tính chất vận chuyển trong vật liệu.