Giá trị riêng (Eigenvalue)

Định nghĩa hình thức:

Cho $A$ là một biến đổi tuyến tính biểu diễn bởi ma trận vuông $n \times n$ và $v$ là một vectơ khác không trong không gian vectơ $n$ chiều. Nếu tồn tại một số vô hướng $\lambda$ sao cho:

$Av = \lambda v$

thì $\lambda$ được gọi là giá trị riêng của $A$ và $v$ được gọi là vectơ riêng của $A$ tương ứng với giá trị riêng $\lambda$. Lưu ý rằng vectơ riêng $v$ phải khác vectơ không. Nếu $v$ là vectơ không, phương trình trên luôn đúng với mọi $\lambda$, và do đó không mang ý nghĩa đặc biệt.

Tính toán giá trị riêng và vectơ riêng

Cách tính giá trị riêng:

Để tìm giá trị riêng của ma trận $A$, ta giải phương trình đặc trưng:

$det(A – \lambda I) = 0$

trong đó:

• $det(A – \lambda I)$ là định thức của ma trận $(A – \lambda I)$.
• $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp với $A$.
• $\lambda$ là ẩn số biểu diễn giá trị riêng.

Phương trình này sẽ cho ta một đa thức bậc $n$ theo $\lambda$, gọi là đa thức đặc trưng. Nghiệm của đa thức này chính là các giá trị riêng của $A$.

Cách tính vectơ riêng:

Sau khi tìm được giá trị riêng $\lambda$, ta thay $\lambda$ vào phương trình:

$(A – \lambda I)v = 0$

và giải tìm vectơ $v$ khác không. Nghiệm của phương trình này chính là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng $\lambda$. Phương trình này đại diện cho một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Ví dụ:

Cho ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$. (Ví dụ này sẽ được tiếp tục ở phần sau, giúp người đọc dễ dàng theo dõi quá trình tính toán)

Ví dụ tính toán

Tiếp tục ví dụ với ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$.

Tìm giá trị riêng:

$det(A – \lambda I) = det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 – 1 = \lambda^2 – 4\lambda + 3 = 0$

Giải phương trình trên ta được hai giá trị riêng $\lambda_1 = 1$ và $\lambda_2 = 3$.

Tìm vectơ riêng tương ứng với $\lambda_1 = 1$:

$(A – \lambda_1 I)v = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$

Từ đó ta có $x + y = 0$. Chọn $x = 1$ thì $y = -1$. Vậy vectơ riêng tương ứng với $\lambda_1 = 1$ là $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$.

Tìm vectơ riêng tương ứng với $\lambda_2 = 3$:

$(A – \lambda_2 I)v = \begin{bmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$

Từ đó ta có $-x + y = 0$. Chọn $x = 1$ thì $y = 1$. Vậy vectơ riêng tương ứng với $\lambda_2 = 3$ là $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$.

Ứng dụng và tính chất

Ứng dụng:

Giá trị riêng và vectơ riêng có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

• Cơ học: Xác định tần số dao động riêng của hệ cơ học.
• Xử lý ảnh: Nén ảnh, nhận dạng khuôn mặt.
• Khoa học máy tính: PageRank của Google.
• Vật lý lượng tử: Xác định mức năng lượng của các hệ lượng tử.

Tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng:

• Một ma trận $n \times n$ có tối đa $n$ giá trị riêng.
• Tổng các giá trị riêng bằng vết của ma trận (tổng các phần tử trên đường chéo chính).
• Tích các giá trị riêng bằng định thức của ma trận.
• Vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là độc lập tuyến tính.
• Nếu một giá trị riêng có bội số đại số là $k$ (xuất hiện $k$ lần là nghiệm của đa thức đặc trưng), thì số chiều của không gian riêng tương ứng (eigenspace) nhỏ hơn hoặc bằng $k$.

Ma trận đối xứng:

Đối với ma trận đối xứng thực, tất cả các giá trị riêng đều là số thực và các vectơ riêng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau là trực giao. Điều này rất hữu ích trong nhiều ứng dụng, ví dụ như phân tích thành phần chính (PCA).

Chéo hóa ma trận

Một ma trận vuông $A$ được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một ma trận khả nghịch $P$ và một ma trận đường chéo $D$ sao cho:

$A = PDP^{-1}$

Các cột của ma trận $P$ là các vectơ riêng của $A$ và các phần tử trên đường chéo của ma trận $D$ là các giá trị riêng tương ứng. Việc chéo hóa ma trận giúp đơn giản hóa nhiều phép tính liên quan đến ma trận, ví dụ như tính lũy thừa của ma trận.

Ví dụ về chéo hóa ma trận:

Xét lại ma trận $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$ với các giá trị riêng $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$ và các vectơ riêng tương ứng $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$.

Ma trận $P$ được tạo thành từ các vectơ riêng: $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ -1 & 1 \end{bmatrix}$

Ma trận $D$ là ma trận đường chéo chứa các giá trị riêng: $D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$

Ta có thể kiểm tra $A = PDP^{-1}$.

Giá trị riêng và vectơ riêng trong không gian phức

Mặc dù định nghĩa ban đầu tập trung vào không gian vectơ thực, khái niệm giá trị riêng và vectơ riêng có thể được mở rộng cho không gian vectơ phức. Trong trường hợp này, giá trị riêng có thể là số phức và vectơ riêng có thể có các thành phần phức.

• Đại số tuyến tính – Nguyễn Hữu Việt Hưng
• Introduction to Linear Algebra – Gilbert Strang
• Linear Algebra and Its Applications – David C. Lay

Câu hỏi và Giải đáp

Giá trị riêng và vectơ riêng có ý nghĩa gì trong việc hiểu hành vi của một biến đổi tuyến tính?

Trả lời: Giá trị riêng và vectơ riêng cho ta biết hướng nào được giữ nguyên (hoặc đảo ngược) và bị kéo dài hoặc co lại bao nhiêu lần khi một biến đổi tuyến tính tác động lên một vectơ. Các vectơ riêng tạo thành một “khung” cho không gian vectơ, và giá trị riêng cho biết biến đổi tuyến tính tác động lên từng hướng của khung đó như thế nào. Nói cách khác, chúng phân tích biến đổi tuyến tính thành các thành phần đơn giản hơn.

Nếu một ma trận có giá trị riêng bằng 0, điều đó nói lên điều gì về ma trận đó?

Trả lời: Nếu một ma trận có giá trị riêng bằng 0, điều đó có nghĩa là định thức của ma trận bằng 0 (vì tích các giá trị riêng bằng định thức). Do đó, ma trận đó là một ma trận suy biến (singular matrix) và không khả nghịch. Tồn tại ít nhất một vectơ khác không bị biến đổi thành vectơ không bởi ma trận này.

Làm thế nào để tính giá trị riêng và vectơ riêng của một ma trận $2 \times 2$ tổng quát?

Trả lời: Cho ma trận $A = begin{bmatrix} a & b c & d end{bmatrix}$. Phương trình đặc trưng là $det(A – \lambda I) = (a-\lambda)(d-\lambda) – bc = \lambda^2 – (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0$. Giải phương trình bậc hai này để tìm giá trị riêng $\lambda$. Sau đó, thay từng giá trị $\lambda$ vào $(A – \lambda I)v = 0$ để tìm vectơ riêng $v$ tương ứng.

Sự khác biệt giữa bội số đại số và bội số hình học của một giá trị riêng là gì?

Trả lời: Bội số đại số của một giá trị riêng là số lần giá trị riêng đó xuất hiện như là nghiệm của đa thức đặc trưng. Bội số hình học là số chiều của không gian riêng tương ứng với giá trị riêng đó (tức là số lượng vectơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng). Bội số hình học luôn nhỏ hơn hoặc bằng bội số đại số.

Tại sao việc chéo hóa ma trận lại hữu ích? Cho một ví dụ.

Trả lời: Chéo hóa ma trận ($A = PDP^{-1}$) giúp đơn giản hóa nhiều phép tính, đặc biệt là tính lũy thừa ma trận. Ví dụ, $A^n = PD^nP^{-1}$. Vì $D$ là ma trận đường chéo, việc tính $D^n$ chỉ đơn giản là lũy thừa từng phần tử trên đường chéo. Điều này giúp tiết kiệm rất nhiều thời gian và công sức so với việc nhân ma trận $A$ nhiều lần.