Hàm phân bố (Partition function)

Định nghĩa

Hàm phân bố Z cho một hệ chuẩn tắc (canonical ensemble), tức là một hệ có thể trao đổi năng lượng với môi trường nhưng số hạt và thể tích không đổi, được định nghĩa là:

$Z = \sum_i e^{-\beta E_i}$

Trong đó:

• $i$ chạy qua tất cả các trạng thái vi mô có thể có của hệ.
• $E_i$ là năng lượng của trạng thái vi mô thứ $i$.
• $\beta = \frac{1}{k_B T}$, với $k_B$ là hằng số Boltzmann và $T$ là nhiệt độ tuyệt đối.

Ý nghĩa vật lý của hàm phân bố: Hàm phân bố Z đóng vai trò như một cầu nối giữa thế giới vi mô và vĩ mô. Nó cho phép tính toán các đại lượng nhiệt động vĩ mô, chẳng hạn như năng lượng tự do Helmholtz, entropy, áp suất và các đại lượng khác, từ các tính chất vi mô của hệ. Giá trị của Z phản ánh số lượng trạng thái vi mô mà hệ có thể truy cập được ở một nhiệt độ nhất định. Ở nhiệt độ cao, Z lớn do hệ có thể chiếm nhiều trạng thái năng lượng khác nhau. Ngược lại, ở nhiệt độ thấp, Z nhỏ do chỉ có một số ít trạng thái năng lượng thấp được hệ chiếm giữ.

Ý nghĩa Vật Lý

Hàm phân bố có ý nghĩa vật lý sâu sắc. Nó liên hệ các tính chất vi mô của hệ (các mức năng lượng $E_i$) với các đại lượng vĩ mô, có thể đo đạc được. Ví dụ:

• Năng lượng tự do Helmholtz (F): $F = -k_B T \ln{Z}$. Năng lượng tự do Helmholtz là một thế nhiệt động lực học mô tả năng lượng có sẵn để thực hiện công hữu ích. Nó cho biết mức độ tự phát của một quá trình ở nhiệt độ và thể tích không đổi.
• Xác suất của một trạng thái vi mô: Xác suất để hệ ở trạng thái vi mô $i$ được cho bởi $P_i = \frac{e^{-\beta E_i}}{Z}$. Công thức này cho thấy trạng thái năng lượng thấp hơn có xác suất xuất hiện cao hơn.
• Giá trị trung bình của một đại lượng vật lý A: $\langle A \rangle = \frac{1}{Z} \sum_i A_i e^{-\beta E_i}$, với $A_i$ là giá trị của đại lượng A ở trạng thái vi mô $i$. Ví dụ, năng lượng trong của hệ được tính bằng $\langle E \rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln{Z}$.
• Entropy (S): $S = k_B (\ln{Z} + \beta \langle E \rangle)$. Entropy là một đại lượng nhiệt động lực học đo lường sự “rối loạn” của hệ. Entropy liên hệ với số lượng trạng thái vi mô mà hệ có thể truy cập được.

Các Dạng Hàm Phân Bố Khác

Ngoài hàm phân bố cho hệ chuẩn tắc, còn có các dạng hàm phân bố khác cho các hệ thống khác nhau, ví dụ:

• Hệ vi chính tắc (microcanonical ensemble): Hệ có năng lượng, số hạt và thể tích không đổi. Hàm phân bố trong trường hợp này chính là số lượng trạng thái vi mô có cùng năng lượng.
• Hệ đẳng nhiệt – đẳng áp (isothermal-isobaric ensemble): Hệ có thể trao đổi năng lượng và thể tích với môi trường, nhưng nhiệt độ và áp suất không đổi. Hàm phân bố trong trường hợp này phụ thuộc vào cả năng lượng và thể tích của các trạng thái vi mô.

Ứng Dụng

Hàm phân bố có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của vật lý, hóa học và khoa học vật liệu, chẳng hạn như:

• Tính toán các tính chất nhiệt động lực học của chất khí, chất lỏng và chất rắn.
• Nghiên cứu các chuyển pha.
• Mô hình hóa các phản ứng hóa học.
• Phát triển các vật liệu mới.

Hàm phân bố là một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu các hệ thống nhiều hạt. Nó cung cấp một cầu nối giữa thế giới vi mô và vĩ mô, cho phép chúng ta hiểu và dự đoán các tính chất của vật chất dựa trên các nguyên tắc cơ bản của cơ học thống kê.

Ví dụ Cụ Thể

Để minh họa việc sử dụng hàm phân bố, ta xét một hệ đơn giản gồm một hạt spin 1/2 trong từ trường ngoài B. Hạt này có hai mức năng lượng: $E_1 = -\mu B$ (spin song song với từ trường) và $E_2 = \mu B$ (spin ngược chiều từ trường), với $\mu$ là mômen từ. Hàm phân bố của hệ này là:

$Z = e^{-\beta (-\mu B)} + e^{-\beta (\mu B)} = 2 \cosh(\beta \mu B)$

Từ đây, ta có thể tính được các đại lượng nhiệt động lực học khác, chẳng hạn như năng lượng trung bình:

$\langle E \rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln{Z} = -\mu B \tanh(\beta \mu B)$

và độ từ hóa:

$M = \mu (\langle n_1 \rangle – \langle n_2 \rangle) = \mu (P_1 – P_2) = \mu \tanh(\beta \mu B)$

với $n_1$ và $n_2$ là số hạt ở mức năng lượng $E_1$ và $E_2$ tương ứng. Ở đây, ta đã sử dụng $\langle n_i \rangle = P_i$.

Hàm Phân Bố Cho Các Hệ Phức Tạp Hơn

Đối với các hệ phức tạp hơn, việc tính toán trực tiếp hàm phân bố có thể rất khó. Tuy nhiên, có nhiều phương pháp xấp xỉ và kỹ thuật tính toán được phát triển để giải quyết vấn đề này, ví dụ như phương pháp Monte Carlo, phương pháp trường trung bình, v.v.

Mối Liên Hệ Với Cơ Học Lượng Tử

Trong cơ học lượng tử, hàm phân bố có thể được viết dưới dạng vết của toán tử $e^{-\beta \hat{H}}$, với $\hat{H}$ là toán tử Hamilton của hệ:

$Z = \text{Tr}(e^{-\beta \hat{H}})$

Biểu diễn này rất hữu ích trong việc tính toán hàm phân bố cho các hệ lượng tử. Nó cho phép ta sử dụng các công cụ của cơ học lượng tử để tính toán Z mà không cần phải liệt kê tường minh tất cả các trạng thái vi mô.

• Statistical Mechanics, R.K. Pathria and Paul D. Beale, 3rd edition, Academic Press, 2011.
• Introduction to Statistical Physics, Kerson Huang, 2nd edition, CRC Press, 2001.
• Statistical Physics of Particles, Mehran Kardar, Cambridge University Press, 2007.
• Landau and Lifshitz Course of Theoretical Physics, Volume 5: Statistical Physics, Part 1, L.D. Landau and E.M. Lifshitz, 3rd edition, Pergamon Press, 1980.

Câu hỏi và Giải đáp

Làm thế nào để tính toán hàm phân bố cho một hệ gồm các hạt tương tác với nhau?

Trả lời: Việc tính toán chính xác hàm phân bố cho hệ nhiều hạt tương tác thường rất khó. Tuy nhiên, có nhiều phương pháp xấp xỉ được sử dụng để giải quyết vấn đề này. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

• Phương pháp trường trung bình: Xấp xỉ tương tác giữa các hạt bằng một trường trung bình tác động lên từng hạt.
• Phương pháp nhiễu loạn: Coi tương tác giữa các hạt là một nhiễu loạn nhỏ so với hệ không tương tác.
• Phương pháp Monte Carlo: Sử dụng các kỹ thuật mô phỏng số để tính toán hàm phân bố.

Hàm phân bố thay đổi như thế nào khi nhiệt độ thay đổi?

Trả lời: Khi nhiệt độ tăng, hệ số Boltzmann $e^{-\beta E_i}$ trở nên ít nhạy cảm hơn với sự khác biệt về năng lượng giữa các trạng thái. Điều này có nghĩa là ở nhiệt độ cao, các trạng thái năng lượng cao hơn có xác suất được chiếm giữ cao hơn. Do đó, hàm phân bố Z thường tăng khi nhiệt độ tăng. Ngược lại, ở nhiệt độ thấp, hệ chủ yếu chiếm giữ trạng thái năng lượng thấp nhất, và Z tiến gần đến giá trị của hệ số Boltzmann tương ứng với trạng thái cơ bản.

Sự khác biệt giữa hàm phân bố trong hệ chuẩn tắc và hệ vi chính tắc là gì?

Trả lời: Trong hệ chuẩn tắc, năng lượng của hệ có thể dao động, trong khi số hạt và thể tích được giữ cố định. Hàm phân bố là tổng trên tất cả các trạng thái năng lượng có thể có. Trong hệ vi chính tắc, năng lượng, số hạt và thể tích đều được giữ cố định. Hàm phân bố trong trường hợp này đơn giản là số lượng trạng thái vi mô có cùng năng lượng.

Làm thế nào để sử dụng hàm phân bố để tính toán entropy của một hệ?

Trả lời: Entropy (S) có thể được tính toán từ hàm phân bố Z và năng lượng trung bình $\langle E \rangle$ bằng công thức:

$S = k_B (ln{Z} + \beta \langle E \rangle)$

Tại sao hàm phân bố lại quan trọng trong vật lý thống kê?

Trả lời: Hàm phân bố là một đại lượng trung tâm trong vật lý thống kê vì nó kết nối các tính chất vi mô của một hệ (các mức năng lượng) với các tính chất vĩ mô, có thể đo lường được (như năng lượng tự do, entropy, v.v.). Nó cung cấp một khuôn khổ toán học để tính toán các tính chất nhiệt động lực học của hệ thống từ kiến thức về cấu trúc vi mô của nó. Nói cách khác, hàm phân bố là chìa khóa để hiểu được hành vi vĩ mô của vật chất dựa trên các nguyên tắc cơ bản.