Hamiltonian (Hamiltonian)

Cơ học cổ điển

Trong cơ học cổ điển, Hamiltonian được định nghĩa là tổng của động năng (T) và thế năng (V) của hệ:

$H = T + V$

Đối với một hạt có khối lượng m chuyển động trong một trường thế năng V(q), với q là tọa độ tổng quát và p là động lượng tổng quát tương ứng, Hamiltonian được viết là:

$H(q, p, t) = \frac{p^2}{2m} + V(q)$

Các phương trình Hamilton, được suy ra từ nguyên lý biến phân Hamilton, mô tả sự tiến hóa thời gian của hệ:

$\dot{q} = \frac{\partial H}{\partial p}$

$\dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial q}$

Ở đây, $\dot{q}$ và $\dot{p}$ lần lượt là đạo hàm thời gian của q và p. Phải lưu ý rằng Hamiltonian có thể phụ thuộc tường minh vào thời gian (t), ví dụ như khi thế năng thay đổi theo thời gian. Khi Hamiltonian không phụ thuộc tường minh vào thời gian, nó là một đại lượng bảo toàn, tức là năng lượng của hệ được bảo toàn.

Cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử, Hamiltonian là một toán tử Hermitian, thường được ký hiệu là $\hat{H}$. Nó tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ lượng tử. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian mô tả sự tiến hóa thời gian của hàm sóng $\psi$:

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(t) = \hat{H} \psi(t)$

Ở đây, $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn và i là đơn vị ảo. Đối với một hạt tự do, toán tử Hamiltonian được cho bởi:

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2$

trong đó $\nabla^2$ là toán tử Laplace. Đối với một hạt trong thế năng V(x), toán tử Hamiltonian được viết là:

$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(x)$

Giá trị riêng của toán tử Hamiltonian tương ứng với các mức năng lượng có thể có của hệ. Việc tìm kiếm các giá trị riêng và hàm riêng của Hamiltonian là một bài toán trung tâm trong cơ học lượng tử.

Ý nghĩa và ứng dụng

Hamiltonian đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lý, bao gồm:

• Cơ học cổ điển: Dùng để phân tích chuyển động của các hạt và hệ nhiều hạt.
• Cơ học lượng tử: Là nền tảng để hiểu cấu trúc nguyên tử, phân tử và tính chất của vật liệu.
• Vật lý thống kê: Được sử dụng để tính toán các đại lượng nhiệt động lực học.
• Quang học: Dùng để mô tả sự tương tác giữa ánh sáng và vật chất. Ngoài ra, Hamiltonian còn được sử dụng trong điện động lực học cổ điển và lý thuyết trường lượng tử.

Hamiltonian là một khái niệm trung tâm trong vật lý, đại diện cho tổng năng lượng của một hệ. Nó cung cấp một khuôn khổ mạnh mẽ để mô tả sự tiến hóa thời gian của hệ thống trong cả cơ học cổ điển và cơ học lượng tử. Việc hiểu rõ Hamiltonian là chìa khóa để nắm bắt được các nguyên lý cơ bản của vật lý hiện đại.

Các dạng Hamiltonian khác

Ngoài các dạng Hamiltonian cơ bản đã được đề cập, còn có nhiều dạng Hamiltonian khác được sử dụng trong các lĩnh vực vật lý chuyên sâu hơn. Ví dụ:

• Hamiltonian cho hệ nhiều hạt: Đối với một hệ gồm N hạt, Hamiltonian được viết là tổng động năng của từng hạt và thế năng tương tác giữa chúng:

$H = \sum_{i=1}^{N} \frac{p_i^2}{2m_i} + V(q_1, q_2, …, q_N)$

Trong đó, $m_i$, $p_i$ và $q_i$ lần lượt là khối lượng, động lượng và tọa độ của hạt thứ i. Thế năng V phụ thuộc vào tọa độ của tất cả các hạt và mô tả tương tác giữa chúng.

• Hamiltonian trong trường điện từ: Khi một hạt mang điện tích q chuyển động trong một trường điện từ, Hamiltonian được sửa đổi để bao gồm tương tác với trường:

$H = \frac{1}{2m}(\vec{p} – q\vec{A})^2 + q\phi$

Trong đó, $\vec{A}$ là vector thế từ và $\phi$ là thế năng điện. Lưu ý rằng động lượng trong trường điện từ được thay thế bằng động lượng chính tắc $\vec{p} – q\vec{A}$.

• Hamiltonian tương đối tính: Trong trường hợp vận tốc của hạt gần bằng tốc độ ánh sáng, cần sử dụng Hamiltonian tương đối tính:

$H = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4} + V$

Trong đó, c là tốc độ ánh sáng. Công thức này được rút ra từ năng lượng tương đối tính của một hạt.

Sự bảo toàn năng lượng

Nếu Hamiltonian của một hệ không phụ thuộc thời gian một cách tường minh (nghĩa là $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$), thì năng lượng của hệ được bảo toàn. Điều này có nghĩa là giá trị của Hamiltonian không đổi theo thời gian. Đây là một kết quả quan trọng của định lý Noether.

Hàm Hamilton và biến đổi Legendre

Hàm Hamilton có thể được suy ra từ hàm Lagrange thông qua một biến đổi Legendre. Biến đổi này liên hệ động lượng tổng quát p với tọa độ tổng quát q và vận tốc tổng quát $\dot{q}$:

$p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$

Hàm Hamilton sau đó được định nghĩa là:

$H = p\dot{q} – L$

Biến đổi Legendre cho phép chuyển từ mô tả hệ bằng hàm Lagrange (q, $\dot{q}$, t) sang mô tả bằng hàm Hamilton (q, p, t).

Kết luận

Hamiltonian là một công cụ mạnh mẽ và linh hoạt trong vật lý, cung cấp một cách tiếp cận thống nhất để nghiên cứu các hệ vật lý từ cơ học cổ điển đến cơ học lượng tử và xa hơn nữa. Việc hiểu rõ về Hamiltonian và các ứng dụng của nó là rất quan trọng đối với bất kỳ ai muốn tìm hiểu sâu về vật lý.

• Classical Mechanics, Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko (3rd Edition).
• Introduction to Quantum Mechanics, David J. Griffiths (3rd Edition).
• Mechanics, L. D. Landau and E. M. Lifshitz (Volume 1 of the Course of Theoretical Physics).

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa Hamiltonian trong cơ học cổ điển và cơ học lượng tử là gì?

Trả lời: Trong cơ học cổ điển, Hamiltonian là một hàm số của các biến trạng thái (vị trí và động lượng). Trong cơ học lượng tử, Hamiltonian là một toán tử tác động lên hàm sóng, và giá trị riêng của nó tương ứng với các mức năng lượng của hệ. Về bản chất, trong cơ học cổ điển, Hamiltonian cho ta một con số (năng lượng), trong khi ở cơ học lượng tử, nó cho ta một toán tử.

Làm thế nào để xây dựng Hamiltonian cho một hệ vật lý cụ thể?

Trả lời: Việc xây dựng Hamiltonian bắt đầu bằng việc xác định động năng và thế năng của hệ. Động năng thường có dạng $\frac{p^2}{2m}$, trong khi thế năng phụ thuộc vào các lực tác dụng lên hệ. Tổng của động năng và thế năng tạo thành Hamiltonian. Ví dụ, đối với một con lắc đơn, $H = \frac{p\theta^2}{2ml^2} + mgl(1 – \cos\theta)$, với $p\theta$ là động lượng góc, m là khối lượng, l là chiều dài dây và g là gia tốc trọng trường.

Tại sao sự bảo toàn năng lượng lại liên quan đến việc Hamiltonian không phụ thuộc thời gian tường minh?

Trả lời: Nếu $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$, nghĩa là Hamiltonian không phụ thuộc thời gian một cách tường minh, thì đạo hàm thời gian của Hamiltonian bằng không: $\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\dot{q} + \frac{\partial H}{\partial p}\dot{p} + \frac{\partial H}{\partial t} = 0$. Theo phương trình Hamilton, ta có $\frac{dH}{dt} = -\dot{p}\dot{q} + \dot{q}\dot{p} + \frac{\partial H}{\partial t}$. Vì $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$, nên $\frac{dH}{dt} = 0$, tức là năng lượng (đại diện bởi Hamiltonian) được bảo toàn.

Biến đổi Legendre được sử dụng như thế nào để chuyển từ Lagrangian sang Hamiltonian?

Trả lời: Biến đổi Legendre được thực hiện bằng cách định nghĩa động lượng tổng quát $p = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, với L là Lagrangian. Sau đó, Hamiltonian được định nghĩa là $H = p\dot{q} – L$. Biến đổi này thay đổi các biến độc lập từ $(q, \dot{q}, t)$ sang $(q, p, t)$.

Hamiltonian có ứng dụng gì ngoài cơ học cổ điển và cơ học lượng tử?

Trả lời: Hamiltonian có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực vật lý khác, bao gồm quang học (mô tả sự lan truyền của ánh sáng), vật lý thống kê (tính toán các đại lượng nhiệt động lực học), và thậm chí cả kinh tế học (tối ưu hóa các chiến lược đầu tư). Nó cung cấp một khuôn khổ toán học mạnh mẽ để phân tích các hệ động lực trong nhiều bối cảnh khác nhau.