Hệ số Clebsch-Gordan (Clebsch-Gordan coefficient)

Ý nghĩa vật lý

Hãy tưởng tượng hai hạt, mỗi hạt có mômen động lượng riêng. Khi hai hạt này tương tác, mômen động lượng của chúng kết hợp để tạo thành một mômen động lượng tổng. Hệ số Clebsch-Gordan cho biết xác suất tìm thấy hệ tổng hợp trong một trạng thái riêng của mômen động lượng tổng, với các trạng thái riêng của mômen động lượng của từng hạt được cho trước. Ví dụ, xét hai hạt có spin 1/2. Mômen động lượng spin tổng của chúng có thể là 0 hoặc 1. Hệ số Clebsch-Gordan sẽ cho chúng ta biết xác suất để hệ hai hạt này ở trong trạng thái singlet (spin tổng bằng 0) hoặc triplet (spin tổng bằng 1), dựa trên trạng thái spin riêng biệt của mỗi hạt.

Chúng ta có thể biểu diễn hệ số Clebsch-Gordan bằng ký hiệu:

$ \langle j_1, m_1, j_2, m_2 | J, M \rangle $

trong đó:

• $j_1$ và $j_2$ là mômen động lượng toàn phần của hai hệ con.
• $m_1$ và $m_2$ là hình chiếu của mômen động lượng của hai hệ con lên một trục xác định.
• $J$ là mômen động lượng toàn phần của hệ tổng hợp.
• $M$ là hình chiếu của mômen động lượng của hệ tổng hợp lên cùng trục xác định.

Hệ số Clebsch-Gordan khác không chỉ khi $M = m_1 + m_2$ và $|j_1 – j_2| \le J \le j_1 + j_2$. Điều này phản ánh các quy tắc cộng mômen động lượng trong cơ học lượng tử.

Ký hiệu và Định nghĩa

Hệ số Clebsch-Gordan thường được ký hiệu là:

$ \langle j_1 m_1, j_2 m2 | J M \rangle $ hoặc đôi khi là $C^{JM}{j_1m_1j_2m_2}$

Trong đó:

• $j_1$ và $j_2$: Độ lớn mômen động lượng của hai hệ con.
• $m_1$ và $m_2$: Thành phần z (hình chiếu lên trục z) của mômen động lượng của hai hệ con.
• $J$: Độ lớn mômen động lượng tổng.
• $M$: Thành phần z của mômen động lượng tổng.

Hệ số này biểu diễn phép biến đổi từ cơ sở tích của các trạng thái riêng của $\hat{j}1^2, \hat{j}{1z}, \hat{j}2^2, \hat{j}{2z}$ sang cơ sở của các trạng thái riêng của $\hat{j}_1^2, \hat{j}_2^2, \hat{J}^2, \hat{J}_z$. Cụ thể:

$|J M\rangle = \sum_{m_1, m_2} \langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle$

với điều kiện $M = m_1 + m_2$ và $|j_1 – j_2| \le J \le j_1 + j_2$.

Tính chất

• Điều kiện chọn lọc: Hệ số Clebsch-Gordan bằng không trừ khi $M = m_1 + m_2$ và $|j_1 – j_2| \le J \le j_1 + j_2$. Điều này phản ánh các quy tắc bảo toàn mômen động lượng.
• Tính đối xứng: Các hệ số Clebsch-Gordan tuân theo một số tính chất đối xứng, ví dụ:
  $ \langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2, j_1 m_1 | J M \rangle $
• Quan hệ trực giao:
  $ \sum_{m_1, m_2} \langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle \langle j_1 m_1, j_2 m2 | J’ M’ \rangle = \delta{J,J’} \delta{M,M’} $
  $ \sum{J, M} \langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle \langle j_1 m’_1, j_2 m’2 | J M \rangle = \delta{m_1,m’1} \delta{m_2,m’_2} $

Cách tính

Có nhiều cách để tính toán hệ số Clebsch-Gordan, bao gồm:

• Công thức đệ quy: Sử dụng quan hệ đệ quy giữa các hệ số.
• Bảng tra cứu: Sử dụng các bảng có sẵn liệt kê các giá trị của hệ số cho các giá trị khác nhau của $j_1$, $j_2$, $J$, $m_1$, $m_2$ và $M$.
• Phần mềm máy tính: Sử dụng các phần mềm chuyên dụng như Mathematica, Maple, hay các thư viện lập trình như SymPy. Việc sử dụng phần mềm thường là cách hiệu quả nhất cho các bài toán phức tạp.

Ứng dụng

Hệ số Clebsch-Gordan có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, bao gồm:

• Phổ học nguyên tử: Xác định cường độ của các vạch phổ. Cụ thể, hệ số Clebsch-Gordan giúp tính toán xác suất chuyển đổi giữa các mức năng lượng nguyên tử khi có tương tác với bức xạ điện từ.
• Vật lý hạt nhân: Mô tả các phản ứng hạt nhân và phân rã phóng xạ. Chúng được sử dụng để tính toán xác suất của các quá trình phân rã và xác định cấu trúc của các hạt nhân.
• Cộng hưởng từ hạt nhân (NMR): Phân tích phổ NMR. Hệ số Clebsch-Gordan đóng vai trò trong việc xác định cường độ tín hiệu NMR và phân tích cấu trúc phân tử.
• Quang học lượng tử: Mô tả sự tương tác giữa ánh sáng và vật chất. Chúng giúp tính toán xác suất hấp thụ và phát xạ photon.
• Vật lý vật chất ngưng tụ: Nghiên cứu các hệ nhiều hạt. Ví dụ, trong việc nghiên cứu các hệ spin.
• Tin học lượng tử: Xây dựng các cổng logic lượng tử.

Ví dụ

Để minh họa rõ hơn về cách sử dụng hệ số Clebsch-Gordan, xét trường hợp cộng hai spin 1/2 ($j_1 = j_2 = 1/2$). Các giá trị có thể có của mômen động lượng tổng $J$ là 0 và 1.

• $J = 1, M = 1$: $|1 1\rangle = |1/2 1/2\rangle |1/2 1/2\rangle$
• $J = 1, M = 0$: $|1 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1/2 1/2\rangle |1/2 -1/2\rangle + |1/2 -1/2\rangle |1/2 1/2\rangle)$
• $J = 1, M = -1$: $|1 -1\rangle = |1/2 -1/2\rangle |1/2 -1/2\rangle$
• $J = 0, M = 0$: $|0 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1/2 1/2\rangle |1/2 -1/2\rangle – |1/2 -1/2\rangle |1/2 1/2\rangle)$

Từ ví dụ này, ta thấy hệ số Clebsch-Gordan cho biết hệ số của mỗi tổ hợp trạng thái riêng của các hệ con khi biểu diễn trạng thái riêng của hệ tổng hợp. Ví dụ, $\langle 1/2 1/2, 1/2 -1/2 | 1 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Biểu diễn 3j-symbol

Hệ số Clebsch-Gordan có liên hệ mật thiết với ký hiệu 3j-symbol, được định nghĩa như sau:

$ \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & J \ m_1 & m_2 & -M \end{pmatrix} = \frac{(-1)^{j_1-j_2+M}}{\sqrt{2J+1}} \langle j_1 m_1, j_2 m_2 | J M \rangle $

Ký hiệu 3j-symbol thể hiện rõ hơn tính đối xứng của hệ số Clebsch-Gordan.

Tính toán bằng công thức

Mặc dù công thức tính toán hệ số Clebsch-Gordan khá phức tạp, nhưng có thể tìm thấy trong các tài liệu tham khảo. Công thức tổng quát bao gồm các hàm gamma và tổng. Tuy nhiên, việc sử dụng bảng tra cứu hoặc phần mềm tính toán thường hiệu quả hơn. Một số công thức đệ quy cũng có thể được sử dụng để tính toán.

• Quantum Mechanics (Non-relativistic theory), L. D. Landau and E. M. Lifshitz
• Principles of Quantum Mechanics, R. Shankar
• Modern Quantum Mechanics, J. J. Sakurai

Câu hỏi và Giải đáp

Hệ số Clebsch-Gordan có ý nghĩa vật lý gì ngoài việc biểu diễn xác suất?

Trả lời: Hệ số Clebsch-Gordan không chỉ biểu diễn xác suất tìm thấy hệ trong một trạng thái lượng tử cụ thể mà còn cho biết biên độ xác suất của trạng thái đó. Biên độ xác suất là một số phức, bình phương module của nó mới cho xác suất. Pha của biên độ xác suất cũng quan trọng vì nó ảnh hưởng đến sự giao thoa giữa các trạng thái lượng tử khác nhau.

Làm thế nào để tính hệ số Clebsch-Gordan cho trường hợp $j_1=1$ và $j_2=1/2$?

Trả lời: Có thể tra bảng Clebsch-Gordan hoặc sử dụng công thức đệ quy. Ví dụ, một số hệ số CG cho trường hợp này là:

• $\langle 1 1, 1/2 -1/2 | 3/2 1/2 \rangle = \sqrt{\frac{2}{3}}$
• $\langle 1 0, 1/2 1/2 | 3/2 1/2 \rangle = \sqrt{\frac{1}{3}}$
• $\langle 1 1, 1/2 -1/2 | 1/2 1/2 \rangle = \sqrt{\frac{1}{3}}$
• $\langle 1 0, 1/2 1/2 | 1/2 1/2 \rangle = -\sqrt{\frac{2}{3}}$

Ký hiệu 3j-symbol có ưu điểm gì so với hệ số Clebsch-Gordan?

Trả lời: Ký hiệu 3j-symbol thể hiện tính đối xứng của hệ số Clebsch-Gordan một cách rõ ràng và gọn gàng hơn. Việc hoán vị các cột hoặc đổi dấu của các $m_i$ trong 3j-symbol chỉ làm thay đổi một thừa số pha đơn giản, giúp dễ dàng nhận ra các quan hệ đối xứng.

Hệ số Clebsch-Gordan có vai trò gì trong việc tính toán các giá trị kỳ vọng của toán tử?

Trả lời: Khi làm việc với hệ nhiều hạt, ta cần biểu diễn các toán tử trong cơ sở của mômen động lượng tổng. Hệ số Clebsch-Gordan cho phép ta biến đổi toán tử từ cơ sở tích sang cơ sở mômen động lượng tổng, từ đó tính toán giá trị kỳ vọng.

Ứng dụng của hệ số Clebsch-Gordan trong vật lý hạt nhân là gì?

Trả lời: Trong vật lý hạt nhân, hệ số Clebsch-Gordan được sử dụng để mô tả các phản ứng hạt nhân, sự phân rã phóng xạ, và cấu trúc của hạt nhân. Ví dụ, chúng được sử dụng để tính toán xác suất chuyển đổi giữa các trạng thái năng lượng khác nhau của hạt nhân, xác định spin và parity của các trạng thái hạt nhân, và phân tích các phổ gamma.