Hệ tọa độ cầu (Spherical coordinate system)

Định nghĩa:

Mỗi điểm P trong không gian ba chiều được biểu diễn bằng một bộ ba số ($r$, $\theta$, $\phi$), trong đó:

• $r$: Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến điểm P ($r \ge 0$). $r$ còn được gọi là bán kính (radius).
• $\theta$: Góc nghiêng giữa vector vị trí $\vec{OP}$ và trục z ($0 \le \theta \le \pi$). $\theta$ còn được gọi là góc thiên đỉnh (zenith angle) hoặc góc đồng vị (colatitude). Lưu ý rằng, một số tài liệu định nghĩa $\theta$ là góc giữa hình chiếu của $\vec{OP}$ lên mặt phẳng xy và trục x. Cần phân biệt rõ hai cách định nghĩa này để tránh nhầm lẫn.
• $\phi$: Góc phương vị là góc giữa hình chiếu của vector vị trí $\vec{OP}$ lên mặt phẳng xy và trục x ($0 \le \phi < 2\pi$). $\phi$ cũng được gọi là kinh độ (longitude). Đôi khi, $\phi$ cũng được ký hiệu là $\var\phi$.

Hình ảnh minh họa

[Hình ảnh minh họa hệ tọa độ cầu với điểm P, các trục x, y, z, góc $\theta$ và $\phi$, và khoảng cách $r$. Do hạn chế về khả năng hiển thị hình ảnh, bạn có thể tìm kiếm “spherical coordinate system” trên internet để thấy hình minh họa trực quan hơn.] Nên bổ sung một hình ảnh minh họa vào đây. Bạn có thể sử dụng các công cụ vẽ trực tuyến hoặc phần mềm vẽ để tạo hình ảnh. Ví dụ, hình ảnh có thể cho thấy một điểm P trong không gian 3 chiều, gốc tọa độ O, các trục x, y, z, hình chiếu của P lên mặt phẳng xy, và các góc $\theta$, $\phi$ cùng khoảng cách $r$.

Quan hệ với hệ tọa độ Descartes

Chuyển đổi từ tọa độ cầu ($r$, $\theta$, $\phi$) sang tọa độ Descartes ($x$, $y$, $z$):

• $x = r \sin \theta \cos \phi$
• $y = r \sin \theta \sin \phi$
• $z = r \cos \theta$

Chuyển đổi từ tọa độ Descartes ($x$, $y$, $z$) sang tọa độ cầu ($r$, $\theta$, $\phi$):

• $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
• $\theta = \arc\cos(\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}) = \arc\cos(\frac{z}{r})$
• $\phi = \arctan(\frac{y}{x})$ (Cần chú ý đến góc phần tư để xác định giá trị chính xác của $\phi$. Cụ thể hơn, nên sử dụng hàm `atan2(y,x)` trong lập trình để tránh nhầm lẫn về góc phần tư.)

Ứng dụng

Hệ tọa độ cầu thường được sử dụng trong:

• Vật lý: Mô tả trường điện từ, trường hấp dẫn, sóng âm, v.v… Đặc biệt hữu ích khi làm việc với các hệ có tính đối xứng cầu.
• Toán học: Tính toán tích phân ba lớp, biểu diễn các hàm số, hình học không gian, v.v…
• Đồ họa máy tính: Xử lý hình ảnh 3D, mô phỏng chuyển động, v.v…
• Địa lý: Xác định vị trí trên Trái Đất (vĩ độ, kinh độ, độ cao). Tuy nhiên, cần lưu ý Trái Đất không phải là một hình cầu hoàn hảo.

Lưu ý

Có một số biến thể trong cách định nghĩa hệ tọa độ cầu, đặc biệt là trong việc sử dụng $\theta$ và $\phi$. Một số tài liệu sử dụng $\theta$ là góc phương vị và $\phi$ là góc nghiêng. Vì vậy, cần chú ý đến định nghĩa được sử dụng trong từng ngữ cảnh cụ thể. Quy ước sử dụng $\theta$ là góc nghiêng (polar angle) và $\phi$ là góc phương vị (azimuthal angle) phổ biến hơn, và được sử dụng trong bài viết này.

Vector đơn vị

Trong hệ tọa độ cầu, ta có ba vector đơn vị: $\hat{r}$, $\hat{\theta}$, và $\hat{\phi}$. Chúng lần lượt chỉ theo hướng tăng của $r$, $\theta$, và $\phi$. Lưu ý rằng các vector đơn vị này không cố định trong không gian như hệ Descartes, mà thay đổi theo vị trí của điểm P. Chính xác hơn, chúng phụ thuộc vào hướng của điểm P so với gốc tọa độ. Các vector này được định nghĩa như sau theo hệ Descartes:

• $\hat{r} = \sin \theta \cos \phi \hat{i} + \sin \theta \sin \phi \hat{j} + \cos \theta \hat{k}$
• $\hat{\theta} = \cos \theta \cos \phi \hat{i} + \cos \theta \sin \phi \hat{j} – \sin \theta \hat{k}$
• $\hat{\phi} = -\sin \phi \hat{i} + \cos \phi \hat{j}$

Các yếu tố vi phân

• Yếu tố độ dài vi phân: $ds = \sqrt{dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2}$
• Yếu tố diện tích vi phân:
  • $dS_r = r^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi$ (diện tích trên mặt cầu bán kính $r$)
  • $dS_{\theta} = r \sin \theta \, dr \, d\phi$ (diện tích trên mặt phẳng $\theta$ = const)
  • $dS_{\phi} = r \, dr \, d\theta$ (diện tích trên mặt phẳng $\phi$ = const)
• Yếu tố thể tích vi phân: $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$

Toán tử vi phân

Một số toán tử vi phân quan trọng trong hệ tọa độ cầu:

• Gradient: $\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\hat{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\hat{\theta} + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\hat{\phi}$
• Divergence: $\nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial (r^2 A_r)}{\partial r} + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial (\sin \theta A_{\theta})}{\partial \theta} + \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial \phi}$
• Laplacian: $\nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta}) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2}$

• Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2013). Mathematical methods for physicists: A comprehensive guide. Academic press.
• Boas, M. L. (2006). Mathematical methods in the physical sciences. John Wiley & Sons.
• Spiegel, M. R., Lipschutz, S., & Spellman, D. (2009). Vector analysis. McGraw-Hill.

Câu hỏi và Giải đáp

Hệ tọa độ cầu có ưu điểm gì so với hệ tọa độ Descartes trong việc mô tả các hiện tượng vật lý có tính đối xứng cầu?

Trả lời: Trong các bài toán liên quan đến hình cầu hoặc các hệ có tính đối xứng cầu (ví dụ, trường điện từ của một điện tích điểm), việc sử dụng hệ tọa độ cầu giúp đơn giản hóa đáng kể các phương trình toán học. Ví dụ, phương trình của một mặt cầu trong hệ tọa độ cầu chỉ đơn giản là $r = R$ (với R là bán kính), trong khi phương trình tương đương trong hệ tọa độ Descartes phức tạp hơn nhiều: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

Làm thế nào để xác định góc phương vị $\phi$ một cách chính xác khi chuyển đổi từ tọa độ Descartes sang tọa độ cầu, đặc biệt khi $x = 0$?

Trả lời: Khi $x = 0$, ta cần xét dấu của $y$. Nếu $y > 0$, thì $\phi = \frac{\pi}{2}$. Nếu $y < 0$, thì $\phi = \frac{3\pi}{2}$. Nếu cả $x$ và $y$ đều bằng 0, thì $\phi$ không xác định (điểm nằm trên trục z). Trong trường hợp tổng quát, nên sử dụng hàm atan2(y, x) (có sẵn trong nhiều ngôn ngữ lập trình) để xác định $\phi$ một cách chính xác, vì hàm này xét cả dấu của $x$ và $y$.

Yếu tố thể tích vi phân $dV = r^2 \sin \theta , dr , d\theta , d\phi$ có ý nghĩa hình học như thế nào?

Trả lời: $dV$ đại diện cho thể tích của một phần tử vô cùng nhỏ trong không gian, có dạng một hình hộp gần giống hình lập phương. $dr$, $r , d\theta$ và $r \sin \theta , d\phi$ lần lượt là độ dài các cạnh của hình hộp này theo hướng $\hat{r}$, $\hat{\theta}$ và $\hat{\phi}$. Nhân ba cạnh này với nhau ta được thể tích $dV$.

Tại sao các vector đơn vị trong hệ tọa độ cầu lại thay đổi theo vị trí của điểm, trong khi các vector đơn vị trong hệ tọa độ Descartes thì không?

Trả lời: Các vector đơn vị trong hệ tọa độ cầu ($\hat{r}$, $\hat{\theta}$, $\hat{\phi}$) được định nghĩa dựa trên hướng tăng của các tọa độ cầu. Vì hướng tăng của $r$, $\theta$ và $\phi$ thay đổi theo vị trí của điểm trong không gian, nên các vector đơn vị cũng thay đổi theo. Ngược lại, trong hệ Descartes, hướng của các trục tọa độ là cố định, nên các vector đơn vị $\hat{i}$, $\hat{j}$ và $\hat{k}$ cũng cố định.

Cho một điểm trong hệ tọa độ cầu với $r=2$, $\theta = \frac{\pi}{2}$, và $\phi = \frac{\pi}{4}$. Tọa độ Descartes tương ứng của điểm này là gì?

Trả lời: Sử dụng công thức chuyển đổi:

• $x = r \sin \theta \cos \phi = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
• $y = r \sin \theta \sin \phi = 2 \sin(\frac{\pi}{2}) \sin(\frac{\pi}{4}) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$
• $z = r \cos \theta = 2 \cos(\frac{\pi}{2}) = 2 \cdot 0 = 0$

Vậy tọa độ Descartes tương ứng là ($\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, $0$).