Mỗi điểm trong hệ tọa độ cực được xác định bởi hai thành phần:
- $r$ (Khoảng cách cực hay bán kính): là khoảng cách từ cực $O$ đến điểm $P$. $r$ có thể nhận giá trị không âm ($r \ge 0$).
- $\theta$ (Góc cực hay argument): là góc giữa trục cực và đoạn thẳng nối cực $O$ với điểm $P$. Góc $\theta$ thường được đo bằng radian, nhưng cũng có thể dùng độ. Để đảm bảo tính duy nhất của biểu diễn, $\theta$ thường được giới hạn trong khoảng $0 \le \theta < 2\pi$ hoặc $-\pi < \theta \le \pi$. Tuy nhiên, trên thực tế, $\theta$ có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào, và các góc lệch nhau một bội số nguyên của $2\pi$ sẽ xác định cùng một điểm.
Một điểm trong hệ tọa độ cực được biểu diễn là $(r, \theta)$. Ví dụ, điểm $(3, \pi/2)$ đại diện cho một điểm cách cực 3 đơn vị và tạo với trục cực một góc $\pi/2$ radian (tức 90 độ). Lưu ý rằng các điểm $(-r, \theta)$ và $(r, \theta + \pi)$ là trùng nhau.
Chuyển Đổi Giữa Hệ Tọa Độ Đề-các và Hệ Tọa Độ Cực
Việc chuyển đổi giữa hệ tọa độ Đề-các $(x, y)$ và hệ tọa độ cực $(r, \theta)$ tương ứng của một điểm được thực hiện thông qua các công thức sau:
- Từ cực sang Đề-các:
$x = r \cos\theta$
$y = r \sin\theta$ - Từ Đề-các sang cực:
$r = \sqrt{x^2 + y^2}$
$\theta = \arctan(\frac{y}{x})$
Lưu ý quan trọng: Khi tính $\theta$ bằng $\arctan(\frac{y}{x})$, cần chú ý đến góc phần tư của điểm $(x, y)$ để xác định giá trị chính xác của $\theta$. Hàm $\arctan$ chỉ trả về giá trị trong khoảng $(-\pi/2, \pi/2)$. Ví dụ, nếu $x < 0$ và $y > 0$, $\theta$ sẽ nằm trong góc phần tư thứ hai, ta cần cộng thêm $\pi$ vào kết quả của $\arctan(\frac{y}{x})$. Tương tự, nếu $x<0$ và $y<0$ thì $\theta$ nằm ở góc phần tư thứ ba, cần cộng thêm $\pi$. Nếu $x=0$, $\theta$ sẽ là $\pi/2$ nếu $y>0$ và $-\pi/2$ nếu $y<0$.
Một số điểm đặc biệt:
- Cực $O$ có tọa độ cực $(0, \theta)$ với $\theta$ là bất kỳ giá trị nào.
- Các điểm nằm trên trục cực có $\theta = 0$ (hoặc bội số nguyên của $2\pi$).
- Các điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với trục cực và đi qua cực có $\theta = \frac{\pi}{2}$ (hoặc $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$…).
Ứng Dụng
Hệ tọa độ cực rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là khi làm việc với các đối tượng hoặc hiện tượng có tính đối xứng tròn hoặc xoắn ốc. Một số ứng dụng bao gồm:
- Toán học: Đơn giản hóa các phương trình của đường cong và tính toán diện tích và độ dài đường cong.
- Vật lý: Mô tả chuyển động tròn, sóng, trường lực,…
- Kỹ thuật: Thiết kế anten, radar, hệ thống định vị.
- Đồ họa máy tính: Vẽ hình ảnh và tạo hiệu ứng hình ảnh.
- Hàng không: Điều hướng và dẫn đường.
- Xử lý tín hiệu: Biểu diễn tín hiệu và phân tích phổ tần số.
Ví dụ
Điểm có tọa độ cực $(2, \frac{\pi}{3})$ có tọa độ Đề-các là:
$x = 2\cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1$
$y = 2\sin(\frac{\pi}{3}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$
Vậy tọa độ Đề-các là $(1, \sqrt{3})$.
Đường cong trong hệ tọa độ cực
Phương trình của một đường cong trong hệ tọa độ cực thường được biểu diễn dưới dạng $r = f(\theta)$ hoặc $F(r, \theta) = 0$. Ví dụ:
- Đường tròn tâm O bán kính $a$: $r = a$
- Đường thẳng đi qua cực và tạo góc $\alpha$ với trục cực: $\theta = \alpha$
- Đường xoắn ốc Archimedes: $r = a\theta$ (với $a$ là một hằng số)
- Đường cong hình hoa hồng (Rose curve): $r = a\cos(n\theta)$ hoặc $r = a\sin(n\theta)$ (với $a$ và $n$ là các hằng số)
- Đường conic: Các đường conic (elip, parabol, hyperbol) cũng có thể được biểu diễn trong hệ tọa độ cực. Ví dụ, phương trình cực của một đường conic với một tiêu điểm tại cực và đường chuẩn song song với trục cực là $r = \frac{ep}{1 \pm e\cos\theta}$ hoặc $r = \frac{ep}{1 \pm e\sin\theta}$, trong đó $e$ là độ lệch tâm và $p$ là khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn.
Diện tích trong hệ tọa độ cực
Diện tích của một vùng được giới hạn bởi đường cong $r = f(\theta)$ và hai tia $\theta = \alpha$ và $\theta = \beta$ được tính theo công thức:
$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2 d\theta$
Độ dài đường cong trong hệ tọa độ cực
Độ dài của một đường cong được cho bởi $r = f(\theta)$ từ $\theta = \alpha$ đến $\theta = \beta$ được tính theo công thức:
$L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta$
Hệ Tọa Độ Trụ (Cylindrical Coordinates)
Hệ tọa độ trụ là một mở rộng của hệ tọa độ cực trong không gian ba chiều. Nó sử dụng tọa độ cực $(r, \theta)$ trên mặt phẳng $xy$ và thêm một tọa độ $z$ để biểu diễn chiều cao của điểm so với mặt phẳng $xy$. Tọa độ trụ của một điểm được biểu diễn là $(r, \theta, z)$. $r$ là khoảng cách từ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng $xy$ đến gốc tọa độ, $\theta$ là góc giữa hình chiếu của vector bán kính lên mặt phẳng $xy$ và trục $x$ dương, và $z$ là tọa độ của điểm theo trục $z$.
Hệ tọa độ cực cung cấp một cách thay thế để biểu diễn các điểm trên mặt phẳng, sử dụng khoảng cách và góc thay vì tọa độ x và y như trong hệ tọa độ Đề-các. Hãy nhớ rằng một điểm trong hệ tọa độ cực được biểu diễn bằng cặp $(r, \theta)$, trong đó $r$ là khoảng cách từ cực đến điểm và $\theta$ là góc giữa trục cực và đoạn thẳng nối cực với điểm. Điều quan trọng cần lưu ý là $r$ luôn không âm ($r ge 0$), trong khi $\theta$ có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào, mặc dù thường được giới hạn trong một khoảng nhất định như $0 le \theta < 2\pi$ để đảm bảo tính duy nhất.
Việc chuyển đổi giữa hệ tọa độ cực và Đề-các rất cần thiết. Để chuyển từ tọa độ cực $(r, \theta)$ sang tọa độ Đề-các $(x, y)$, ta sử dụng công thức $x = r\cos\theta$ và $y = r\sin\theta$. Ngược lại, để chuyển từ tọa độ Đề-các $(x, y)$ sang tọa độ cực $(r, \theta)$, ta dùng $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ và $\theta = arctan(\frac{y}{x})$. Khi tính $\theta$, hãy cẩn thận xác định góc phần tư chính xác để tránh sai sót.
Hệ tọa độ cực đặc biệt hữu ích khi làm việc với các vấn đề liên quan đến đối xứng tròn hoặc xoắn ốc. Nó đơn giản hóa phương trình của nhiều đường cong, chẳng hạn như đường tròn, đường xoắn ốc, và hình hoa hồng. Ngoài ra, hệ tọa độ cực còn cho phép tính toán diện tích và độ dài đường cong một cách dễ dàng hơn trong một số trường hợp so với hệ tọa độ Đề-các. Cuối cùng, hệ tọa độ trụ mở rộng hệ tọa độ cực vào không gian ba chiều bằng cách thêm tọa độ $z$.
Tài liệu tham khảo:
- Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals. Các phiên bản khác nhau.
- Thomas, George B., et al. Thomas’ Calculus. Các phiên bản khác nhau.
- Anton, Howard, et al. Calculus. Các phiên bản khác nhau.
- Larson, Ron, and Bruce H. Edwards. Calculus. Các phiên bản khác nhau.
Câu hỏi và Giải đáp
Làm thế nào để biểu diễn một điểm có tọa độ Đề-các (-3, 4) trong hệ tọa độ cực?
Trả lời:
- $r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
- $\theta = arctan(\frac{4}{-3})$ . Vì điểm nằm ở góc phần tư thứ hai, ta có $\theta = arctan(\frac{4}{-3}) + \pi \approx 2.214$ radian (hoặc $\approx 126.87^\circ$).
Vậy tọa độ cực là $(5, 2.214)$.
Phương trình $r = 2\sin\theta$ biểu diễn hình dạng gì trong hệ tọa độ cực?
Trả lời: Nhân cả hai vế với $r$, ta được $r^2 = 2r\sin\theta$. Chuyển sang hệ tọa độ Đề-các: $x^2 + y^2 = 2y$. Biến đổi thành $x^2 + y^2 – 2y = 0$. Thêm 1 vào cả hai vế để hoàn thành bình phương: $x^2 + (y^2 – 2y + 1) = 1$, hay $x^2 + (y – 1)^2 = 1$. Đây là phương trình đường tròn tâm $(0, 1)$ và bán kính 1.
Diện tích của vùng được giới hạn bởi đường cong $r = 2\cos\theta$ là bao nhiêu?
Trả lời: Đường cong $r = 2\cos\theta$ là một đường tròn. Diện tích được tính bằng công thức: $A = \frac{1}{2} int{0}^{\pi} (2\cos\theta)^2 d\theta = 2 int{0}^{\pi} \cos^2\theta d\theta = int{0}^{\pi} (1 + \cos2\theta) d\theta = [\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta]{0}^{\pi} = \pi$.
Ngoài hệ tọa độ trụ, còn hệ tọa độ 3 chiều nào khác có liên quan đến hệ tọa độ cực?
Trả lời: Hệ tọa độ cầu cũng là một hệ tọa độ 3 chiều liên quan đến hệ tọa độ cực. Nó sử dụng hai góc ($\theta$ và $\phi$) và khoảng cách từ gốc tọa độ ($\rho$) để xác định vị trí của một điểm trong không gian.
Ưu điểm của việc sử dụng hệ tọa độ cực trong đồ họa máy tính là gì?
Trả lời: Hệ tọa độ cực rất hữu ích trong đồ họa máy tính khi vẽ các hình dạng có tính đối xứng tròn hoặc xoắn ốc. Nó đơn giản hóa việc biểu diễn và thao tác với các hình dạng này, giúp tiết kiệm tài nguyên tính toán và tạo ra mã hiệu quả hơn. Ví dụ, vẽ một hình tròn bằng hệ tọa độ cực sẽ đơn giản hơn nhiều so với sử dụng hệ tọa độ Descartes.
- Hoa hồng toán học: Hệ tọa độ cực là chìa khóa để vẽ nên những hình hoa hồng tuyệt đẹp trong toán học. Công thức r = acos(nθ) hoặc r = asin(nθ) tạo ra những hình dạng đối xứng phức tạp, với số cánh hoa phụ thuộc vào giá trị của n. Nếu n là số lẻ, hoa hồng có n cánh, còn nếu n là số chẵn, nó có 2n cánh. Thử tưởng tượng vẽ chúng bằng hệ tọa độ Descartes xem, phức tạp hơn rất nhiều!
- Xoắn ốc trong tự nhiên: Từ vỏ ốc sên đến các thiên hà xoắn ốc, hệ tọa độ cực phản ánh sự hài hòa của tự nhiên. Xoắn ốc Archimedes, được mô tả bằng phương trình r = aθ, là một ví dụ điển hình cho thấy sự tăng trưởng theo hình xoắn ốc, một mô hình phổ biến trong thế giới tự nhiên.
- GPS và hệ tọa độ cực: Mặc dù GPS sử dụng kinh độ và vĩ độ, bản chất của chúng liên quan chặt chẽ đến hệ tọa độ cầu, một dạng mở rộng của hệ tọa độ cực trong không gian 3 chiều. Vị trí của bạn trên Trái Đất được xác định bằng khoảng cách từ tâm Trái Đất và các góc so với các mặt phẳng tham chiếu.
- Radar và hệ tọa độ cực: Radar sử dụng nguyên lý của hệ tọa độ cực để xác định vị trí của vật thể. Nó phát ra sóng điện từ và đo thời gian sóng phản hồi để tính toán khoảng cách (r). Góc (θ) được xác định bằng hướng của anten.
- Đơn giản hóa bài toán phức tạp: Nhiều bài toán vật lý và toán học trở nên đơn giản hơn khi sử dụng hệ tọa độ cực. Ví dụ, tính toán tích phân kép trên một hình tròn sẽ dễ dàng hơn nhiều trong hệ tọa độ cực so với hệ tọa độ Descartes.
- Lịch sử lâu đời: Ý tưởng về hệ tọa độ cực đã được sử dụng từ thời Hy Lạp cổ đại, nhưng hệ thống hóa và phát triển hoàn chỉnh hơn được cho là do Grégoire de Saint-Vincent và Bonaventura Cavalieri thực hiện vào thế kỷ 17. Tuy nhiên, một số học giả cho rằng Isaac Newton là người đầu tiên sử dụng hệ tọa độ cực một cách có hệ thống.