Hiệu ứng Hall lượng tử phân số (Fractional quantum Hall effect)

Bối cảnh

Hiệu ứng Hall cổ điển mô tả sự lệch hướng của dòng điện trong vật dẫn hai chiều khi đặt trong từ trường vuông góc. Điện trở Hall $R_H$ được cho bởi:

$R_H = \frac{B}{ne}$,

trong đó $B$ là cường độ từ trường và $n$ là mật độ electron.

Hiệu ứng Hall lượng tử nguyên (IQHE) được khám phá trước FQHE và cho thấy $R_H$ được lượng tử hóa tại các giá trị nguyên của $h/e^2$:

$R_H = \frac{h}{\nu e^2}$, với $\nu = 1, 2, 3,…$ (Ở đây tôi đổi i thành $\nu$ – ký hiệu thường dùng cho filling factor)

IQHE có thể được giải thích bằng lý thuyết vùng năng lượng và sự hình thành các mức Landau. Sự lượng tử hóa này xuất hiện do sự hình thành các mức Landau rời rạc trong mật độ trạng thái của electron dưới tác dụng của từ trường. Khi các mức Landau này được lấp đầy hoàn toàn, điện trở Hall thể hiện các giá trị nguyên của $h/e^2$. Tuy nhiên, FQHE lại xảy ra khi các mức Landau chỉ được lấp đầy một phần, ví dụ $\nu = 1/3, 2/5, 3/7,…$, đòi hỏi một lời giải thích vượt ra khỏi khuôn khổ của lý thuyết vùng năng lượng đơn giản. Chính sự tương tác mạnh giữa các electron đóng vai trò chủ chốt trong việc hình thành FQHE.

Khám phá FQHE

FQHE được Tsui, Stormer và Gossard khám phá năm 1982. Họ quan sát thấy sự lượng tử hóa $R_H$ tại các giá trị phân số của $h/e^2$, ví dụ:

$R_H = \frac{h}{\nu e^2}$, với $\nu = \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{3}{7},…$

Khám phá này gây ngạc nhiên lớn vì không thể giải thích bằng lý thuyết vùng năng lượng đơn giản như IQHE. Việc quan sát được các giá trị phân số của $\nu$ đã mở ra một hướng nghiên cứu mới về các trạng thái vật chất lượng tử.

Giải thích FQHE

Sự tương tác mạnh giữa các electron đóng vai trò quan trọng trong FQHE. Laughlin đã đề xuất một hàm sóng nhiều hạt mô tả trạng thái cơ bản của hệ electron tại $\nu = 1/m$ (với $m$ là số nguyên lẻ):

$\Psi(zi) = \prod{i<j} (z_i – z_j)^m \exp(-\sum_k |z_k|^2/4l_B^2)$,

trong đó $z_i = x_i + iy_i$ là tọa độ phức của electron thứ $i$, và $l_B = \sqrt{\frac{\hbar}{eB}}$ là độ dài từ trường. ($\hbar$ là hằng số Planck rút gọn, bằng $h/2\pi$)

Hàm sóng này mô tả một chất lỏng điện tử tương tác mạnh, thường được gọi là chất lỏng Laughlin. Hàm sóng Laughlin thể hiện sự tương quan mạnh giữa các electron và chứa đựng thông tin về các kích thích cơ bản mang điện tích phân số. Các phân số khác của $\nu$ có thể được giải thích bằng việc thêm hoặc bớt các quasiparticle (các hạt giả) mang điện tích phân số vào chất lỏng Laughlin. Các quasiparticle này chính là các anyon, một loại hạt thống kê mới khác với fermion và boson.

Tầm quan trọng của FQHE

FQHE là một hiện tượng vật lý cơ bản, minh chứng cho sự tồn tại của các trạng thái lượng tử mới của vật chất. Nó không chỉ làm sâu sắc thêm hiểu biết của chúng ta về vật lý vật chất ngưng tụ mà còn mở ra cánh cửa cho việc nghiên cứu các hạt giả mang điện tích phân số (anyon). FQHE có tiềm năng ứng dụng trong việc phát triển các thiết bị điện tử mới dựa trên các nguyên lý lượng tử, đặc biệt là trong lĩnh vực tính toán lượng tử топологический, nhờ vào tính ổn định топологический của các anyon.

Các đặc điểm chính của FQHE

• Lượng tử hóa điện trở Hall tại các giá trị phân số của $h/e^2$.
• Sự hình thành chất lỏng lượng tử tương tác mạnh (chất lỏng Laughlin).
• Sự tồn tại của các quasiparticle mang điện tích phân số (anyon).
• Yêu cầu nhiệt độ cực thấp và từ trường mạnh.

FQHE là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động và thú vị trong vật lý vật chất ngưng tụ. Việc tìm hiểu sâu hơn về FQHE có thể dẫn đến những khám phá mới về vật chất lượng tử và ứng dụng tiềm năng trong công nghệ tương lai.

Các Quasiparticle và Anyon

Một trong những khía cạnh thú vị nhất của FQHE là sự tồn tại của các quasiparticle mang điện tích phân số. Ví dụ, trong trạng thái $\nu=1/3$, các quasiparticle mang điện tích $e/3$. Các quasiparticle này không phải là các hạt cơ bản như electron, mà là các kích thích tập thể của chất lỏng điện tử.

Hơn nữa, các quasiparticle trong FQHE được cho là thuộc về một loại hạt mới gọi là anyon. Khác với fermion và boson, anyon tuân theo một thống kê lượng tử kỳ lạ. Khi hai anyon được đổi chỗ, hàm sóng của chúng nhận được một pha tổng quát, không phải là $+1$ (boson) hay $-1$ (fermion). Tính chất này mở ra những khả năng thú vị cho việc tính toán lượng tử topo, nơi mà thông tin được mã hóa trong các trạng thái topo của hệ anyon. Tính ổn định topo này giúp bảo vệ thông tin lượng tử khỏi nhiễu.

Các trạng thái FQHE ở các Filling Factor khác

Mặc dù hàm sóng Laughlin giải thích được các trạng thái FQHE ở $\nu = 1/m$, nhiều trạng thái FQHE khác với các filling factor phức tạp hơn cũng đã được quan sát. Ví dụ, các trạng thái ở $\nu = 2/5, 3/7, …$ có thể được giải thích bằng lý thuyết hệ phân cấp, trong đó các quasiparticle của chất lỏng Laughlin tương tác với nhau để tạo thành một chất lỏng mới.

Phương pháp thực nghiệm nghiên cứu FQHE

FQHE được nghiên cứu bằng các thiết bị bán dẫn dị cấu trúc, ví dụ như GaAs/AlGaAs, trong đó một lớp electron hai chiều được hình thành ở mặt phân cách giữa hai vật liệu. Các phép đo điện trở Hall ở nhiệt độ cực thấp (dưới 1K) và từ trường mạnh (vài Tesla) cho thấy sự lượng tử hóa đặc trưng của FQHE. Ngoài ra, các kỹ thuật đo khác như giao thoa kế Aharonov-Bohm và spectroscopy cũng được sử dụng để nghiên cứu tính chất của các quasiparticle và anyon.

Ứng dụng tiềm năng

FQHE có tiềm năng ứng dụng trong việc phát triển các chuẩn điện trở chính xác hơn, cũng như trong lĩnh vực tính toán lượng tử topo. Việc sử dụng anyon để mã hóa và xử lý thông tin có thể dẫn đến sự ra đời của máy tính lượng tử topo, có khả năng chống nhiễu tốt hơn so với các kiến trúc máy tính lượng tử khác.

• The Quantum Hall Effect, edited by R. E. Prange and S. M. Girvin (Springer-Verlag, 1990).
• Perspective on Fractional Quantum Hall Effect, D. C. Tsui, Nobel Lecture (2000).
• Fractional Statistics and Anyon Superconductivity, F. Wilczek (World Scientific, 1990).

Câu hỏi và Giải đáp

Tại sao hiệu ứng Hall lượng tử phân số chỉ xảy ra ở hệ electron hai chiều?

Trả lời: Hiệu ứng Hall lượng tử, cả nguyên và phân số, đều dựa trên sự lượng tử hóa mức năng lượng của electron trong từ trường. Sự lượng tử hóa này, được gọi là mức Landau, chỉ xảy ra rõ rệt khi chuyển động của electron bị giới hạn trong hai chiều. Ở hệ ba chiều, electron có thể di chuyển theo hướng của từ trường, làm mờ đi hiệu ứng lượng tử hóa.

Hàm sóng Laughlin mô tả trạng thái FQHE tại $\nu=1/m$ như thế nào?

Trả lời: Hàm sóng Laughlin, $\Psi({zi}) = prod{i<j} (z_i – z_j)^m \exp(-\sum_k |z_k|^2/4l_B^2)$, mô tả một chất lỏng electron không nén được. Thừa số $(z_i – z_j)^m$ đảm bảo rằng các electron tránh nhau, với $m$ là một số nguyên lẻ tương ứng với filling factor $\nu=1/m$. Thừa số $\exp(-\sum_k |z_k|^2/4l_B^2)$ phản ánh sự giam giữ của electron trong mặt phẳng hai chiều bởi từ trường.

Sự khác biệt chính giữa anyons và fermion/boson là gì?

Trả lời: Sự khác biệt nằm ở thống kê trao đổi. Khi hai fermion giống hệt nhau được đổi chỗ, hàm sóng tổng thể thay đổi dấu (nhân với -1). Khi hai boson giống hệt nhau được đổi chỗ, hàm sóng không thay đổi (nhân với +1). Đối với anyons, khi hai anyons giống hệt nhau được đổi chỗ, hàm sóng được nhân với một pha tổng quát $e^{i\theta}$, với $\theta$ có thể nhận bất kỳ giá trị nào.

Làm thế nào để đo điện trở Hall trong thực nghiệm?

Trả lời: Điện trở Hall $R_H$ được đo bằng cách cho dòng điện $I$ chạy qua mẫu vật hai chiều trong từ trường vuông góc $B$. Hiệu điện thế Hall $V_H$ được đo vuông góc với cả dòng điện và từ trường. Điện trở Hall được tính bằng $R_H = V_H/I$.

Ứng dụng tiềm năng của FQHE trong tính toán lượng tử là gì?

Trả lời: Anyons trong FQHE có thể được sử dụng để xây dựng các qubit topo. Thông tin được mã hóa trong các trạng thái topo của hệ anyon, ví dụ như sự bện xoắn của các đường thế giới của chúng. Do thông tin được mã hóa theo kiểu topo, các qubit này ít bị ảnh hưởng bởi nhiễu từ môi trường, mở ra tiềm năng cho việc xây dựng máy tính lượng tử ổn định và hiệu quả.