Hình thức luận ADM (ADM formalism)

Ý tưởng chính:

Thay vì coi không-thời gian như một thực thể 4 chiều tĩnh, hình thức luận ADM xem nó như một sự tiến triển của các siêu mặt dạng không 3 chiều theo thời gian. Mỗi siêu mặt này được đặc trưng bởi metric riêng của nó, $g{ij}$, và tốc độ thay đổi của metric này theo thời gian được biểu diễn bởi tenxơ vận tốc ngoài $K{ij}$. Việc phân tích này cho phép ta viết lại phương trình trường Einstein theo $g{ij}$, $K{ij}$ và các đại lượng dẫn xuất từ chúng, biến bài toán tìm nghiệm của phương trình trường thành bài toán giá trị ban đầu. Điều này rất quan trọng cho việc mô phỏng số, nơi ta tiến hành “tiến hóa” không-thời gian từ một trạng thái ban đầu cho trước.

Các biến ADM

Hình thức luận ADM sử dụng ba biến chính để mô tả hình học và sự tiến triển của không-thời gian:

1. Hàm lapse ($N$): Đại diện cho sự tiến triển thích hợp của thời gian giữa các siêu mặt lân cận. Nó cho biết thời gian trôi qua bao lâu giữa hai siêu mặt theo đồng hồ của một quan sát viên di chuyển vuông góc với các siêu mặt. $N$ là một hàm vô hướng trên mỗi siêu mặt 3 chiều.
2. Vector shift ($N^i$): Đại diện cho sự khác biệt tọa độ không gian giữa các quan sát viên di chuyển vuông góc với các siêu mặt tại các điểm lân cận. Nói cách khác, nó mô tả cách tọa độ không gian thay đổi từ siêu mặt này sang siêu mặt kế tiếp. $N^i$ là một vector 3 chiều trên mỗi siêu mặt.
3. 3-metric ($g_{ij}$): Đây là metric trên mỗi siêu mặt 3 chiều. Nó mô tả hình học nội tại của siêu mặt. $g_{ij}$ là một tenxơ hạng 2 đối xứng trên mỗi siêu mặt.

Phân rã metric:

Với các biến ADM, metric 4 chiều $g_{\mu\nu}$ có thể được viết dưới dạng:
$ds^2 = -(N^2 – N_i N^i) dt^2 + 2N_i dx^i dt + g_{ij} dx^i dx^j$
trong đó $Ni = g{ij}N^j$. Lưu ý rằng các chỉ số Latinh $i, j$ chạy từ 1 đến 3, đại diện cho các tọa độ không gian trên siêu mặt 3 chiều.

Hàm tác dụng ADM:

Hàm tác dụng Einstein-Hilbert có thể được viết lại theo các biến ADM. Dạng này của hàm tác dụng làm rõ ràng các đại lượng động lực ($g_{ij}$) và các ràng buộc của lý thuyết. Hàm tác dụng ADM được cho bởi:
$S = \int dt \int d^3x \sqrt{g} N (K_{ij}K^{ij} – K^2 + R^{(3)})$
Trong đó:

• $g$ là định thức của 3-metric $g_{ij}$.
• $K_{ij}$ là tenxơ vận tốc ngoài, biểu diễn tốc độ thay đổi của 3-metric theo thời gian. $K = g^{ij}K_{ij}$ là vết của nó.
• $R^{(3)}$ là độ cong vô hướng của 3-metric.

Biểu thức này là trung tâm của hình thức luận ADM và cho phép ta phân tích động lực học của không-thời gian theo một cách tiếp cận Hamiltonian.

Ràng buộc Hamilton

Hình thức luận ADM dẫn đến hai ràng buộc quan trọng, xuất phát từ việc công thức hóa lại thuyết tương đối rộng theo dạng Hamiltonian:

1. Ràng buộc Hamilton: Liên quan đến độ cong vô hướng của siêu mặt với mật độ năng lượng và động lượng của trường hấp dẫn. Nó thể hiện sự bất biến của lý thuyết dưới phép biến đổi tọa độ thời gian.
2. Ràng buộc động lượng: Liên quan đến độ cong ngoài của siêu mặt với mật độ dòng động lượng của trường hấp dẫn. Nó thể hiện sự bất biến của lý thuyết dưới phép biến đổi tọa độ không gian trên siêu mặt.

Việc thỏa mãn hai ràng buộc này là cần thiết để đảm bảo nghiệm tìm được là nghiệm vật lý của phương trình trường Einstein.

Ứng dụng

Hình thức luận ADM được sử dụng rộng rãi trong:

• Thuyết tương đối số: Cho phép mô phỏng số sự tiến hóa của các hệ hấp dẫn phức tạp, chẳng hạn như sự hợp nhất của lỗ đen. Hình thức luận ADM cung cấp một phương pháp để biến đổi phương trình trường thành một bài toán giá trị ban đầu, phù hợp cho việc tính toán số.
• Hấp dẫn lượng tử: Cung cấp một khuôn khổ để lượng tử hóa hấp dẫn bằng cách sử dụng các biến ADM làm biến động lực học cơ bản. Các ràng buộc Hamilton và động lượng đóng vai trò quan trọng trong việc xác định không gian Hilbert vật lý của lý thuyết lượng tử.
• Vũ trụ học: Cho phép nghiên cứu sự tiến hóa của vũ trụ bằng cách xem nó như một chuỗi các siêu mặt không gian. Hình thức luận ADM cung cấp một công cụ để phân tích các mô hình vũ trụ khác nhau.

Động lực học của Hình thức luận ADM

Từ hàm tác dụng ADM, ta có thể rút ra các phương trình tiến hóa cho $g{ij}$ và $K{ij}$. Các phương trình này mô tả cách 3-metric và tenxơ vận tốc ngoài thay đổi theo thời gian. Chúng phức tạp và phi tuyến, nhưng đóng vai trò cốt lõi trong thuyết tương đối số.

Tenxơ vận tốc ngoài ($K_{ij}$)

Tenxơ vận tốc ngoài $K_{ij}$ được định nghĩa là đạo hàm Lie của 3-metric theo vector pháp tuyến đơn vị $n^\mu$ của siêu mặt dạng không, sau đó chiếu lên siêu mặt. Công thức cụ thể là:
$K_{ij} = -\frac{1}{2N} (\partial_t g_{ij} - \nabla_i N_j - \nabla_j N_i)$
trong đó $\nablai$ là đạo hàm hiệp biến tương ứng với 3-metric $g{ij}$.

Ý nghĩa hình học của Lapse và Shift

• Lapse ($N$): Xác định khoảng cách thời gian thích hợp giữa các siêu mặt lân cận. Một lapse lớn tương ứng với bước thời gian lớn giữa các siêu mặt.
• Shift ($N^i$): Xác định cách tọa độ không gian thay đổi từ siêu mặt này sang siêu mặt kế tiếp. Nó thể hiện sự “dịch chuyển” của tọa độ không gian khi thời gian trôi qua. Việc lựa chọn lapse và shift ảnh hưởng đến sự ổn định và hiệu quả của mô phỏng số.

Khó khăn và Hạn chế

Mặc dù mạnh mẽ, hình thức luận ADM cũng có một số khó khăn:

• Độ phức tạp của phương trình: Các phương trình tiến hóa ADM phức tạp và phi tuyến, khiến việc giải quyết chúng một cách phân tích trở nên khó khăn.
• Lựa chọn lapse và shift: Việc lựa chọn lapse và shift ảnh hưởng đến sự ổn định và hiệu quả của mô phỏng số. Không có một lựa chọn “tối ưu” duy nhất, và việc tìm ra lựa chọn phù hợp cho một bài toán cụ thể có thể là một thách thức.
• Định nghĩa năng lượng: Định nghĩa năng lượng trong hình thức luận ADM khá phức tạp và không phải lúc nào cũng rõ ràng. Việc xác định năng lượng hấp dẫn toàn phần của một hệ trong thuyết tương đối rộng là một vấn đề phức tạp.

ds^2 = -(N^2 - N_i N^i) dt^2 + 2N_i dx^i dt + g_{ij} dx^i dx^j

• Arnowitt, R., Deser, S., & Misner, C. W. (1962). The dynamics of general relativity. In Gravitation: an introduction to current research (pp. 227-265). Wiley.
• Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. W. H. Freeman.
• Baumgarte, T. W., & Shapiro, S. L. (2010). Numerical relativity: solving Einstein’s equations on the computer. Cambridge University Press.
• Gourgoulhon, É. (2012). 3+1 formalism in general relativity: bases of numerical relativity. Springer Science & Business Media.

Câu hỏi và Giải đáp

Vai trò của ràng buộc Hamilton và ràng buộc động lượng trong hình thức luận ADM là gì?

Trả lời: Ràng buộc Hamilton và ràng buộc động lượng là hai ràng buộc phát sinh từ việc viết lại hàm tác dụng Einstein-Hilbert theo các biến ADM. Chúng phản ánh tính bất biến dưới phép biến đổi tọa độ của thuyết tương đối rộng. Ràng buộc Hamilton liên quan đến độ cong vô hướng của siêu mặt 3 chiều với mật độ năng lượng và động lượng. Ràng buộc động lượng liên quan đến độ cong ngoài của siêu mặt với mật độ động lượng. Việc thỏa mãn hai ràng buộc này là cần thiết để đảm bảo rằng nghiệm tìm được là một nghiệm vật lý của thuyết tương đối rộng.

Làm thế nào để lựa chọn lapse function và shift vector trong một mô phỏng số?

Trả lời: Không có một quy tắc chung nào để lựa chọn lapse và shift tối ưu. Việc lựa chọn phụ thuộc vào bài toán cụ thể đang được xem xét. Một số lựa chọn phổ biến bao gồm:

• Lựa chọn geodesic slicing: $N=1$ và $N^i = 0$. Lựa chọn này đơn giản nhưng thường dẫn đến các điểm kỳ dị tọa độ.
• Lựa chọn harmonic slicing: $Box N = 0$. Lựa chọn này có thể giúp tránh các điểm kỳ dị tọa độ.
• Lựa chọn maximal slicing: $K = 0$, trong đó $K$ là vết của tenxơ vận tốc ngoài. Lựa chọn này giúp tối đa hóa thể tích của các siêu mặt dạng không.

Tenxơ vận tốc ngoài $K_{ij}$ có ý nghĩa hình học như thế nào?

Trả lời: Tenxơ vận tốc ngoài $K{ij}$ đo lường tốc độ thay đổi của 3-metric $g{ij}$ theo thời gian. Về mặt hình học, nó mô tả cách siêu mặt dạng không bị “biến dạng” khi nó tiến triển trong không-thời gian.

Hình thức luận ADM có những ưu điểm gì so với việc sử dụng trực tiếp metric 4 chiều trong thuyết tương đối rộng?

Trả lời: Hình thức luận ADM cung cấp một cách tiếp cận thuận tiện hơn để nghiên cứu sự tiến hóa theo thời gian của các hệ hấp dẫn. Nó tách biệt rõ ràng phần không gian và thời gian, làm cho việc xây dựng các mã số dễ dàng hơn. Ngoài ra, nó cung cấp một khuôn khổ tự nhiên cho việc lượng tử hóa hấp dẫn.

Hạn chế chính của hình thức luận ADM là gì và làm thế nào để khắc phục chúng?

Trả lời: Một hạn chế chính của hình thức luận ADM là độ phức tạp của phương trình tiến hóa. Việc giải quyết chúng một cách phân tích thường là không thể, và việc mô phỏng số có thể gặp phải các vấn đề về ổn định. Một hạn chế khác là việc lựa chọn lapse và shift có thể ảnh hưởng đáng kể đến kết quả của mô phỏng. Để khắc phục những hạn chế này, các nhà nghiên cứu đã phát triển các kỹ thuật số tinh vi và các lựa chọn gauge thông minh hơn. Việc phát triển các phương pháp số mới và hiểu rõ hơn về vai trò của lapse và shift vẫn là những lĩnh vực nghiên cứu đang diễn ra.