Không gian Hilbert (Hilbert space)

Định nghĩa hình thức

Một không gian Hilbert $H$ trên trường số thực hoặc phức là một không gian vectơ trên trường đó, cùng với một tích vô hướng $\langle \cdot, \cdot \rangle: H \times H \to \mathbb{C}$ (hoặc $\mathbb{R}$) thỏa mãn các tính chất sau:

1. Tuyến tính theo đối số thứ nhất: $\langle ax + by, z \rangle = a\langle x, z \rangle + b\langle y, z \rangle$ với mọi $x, y, z \in H$ và $a, b \in \mathbb{C}$ (hoặc $\mathbb{R}$).
2. Liên hợp đối xứng: $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ với mọi $x, y \in H$ (trong trường hợp không gian thực, điều này trở thành $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$).
3. Xác định dương: $\langle x, x \rangle \ge 0$ với mọi $x \in H$, và $\langle x, x \rangle = 0$ khi và chỉ khi $x = 0$.
4. Đầy đủ: Mọi chuỗi Cauchy trong $H$ đều hội tụ về một phần tử trong $H$. Một chuỗi $(x_n)$ trong $H$ được gọi là chuỗi Cauchy nếu với mọi $\epsilon > 0$, tồn tại $N$ sao cho với mọi $m, n > N$, ta có $||x_m – x_n|| < \epsilon$, trong đó $||x|| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ là chuẩn (norm) được cảm sinh bởi tích vô hướng.

Ví dụ

Dưới đây là một số ví dụ về không gian Hilbert:

• Không gian Euclide $\mathbb{R}^n$: Với tích vô hướng thông thường $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$, $\mathbb{R}^n$ là một không gian Hilbert thực.
• Không gian $l^2$: Không gian các chuỗi vô hạn $(xn)$ sao cho $\sum{n=1}^\infty |xn|^2 < \infty$. Tích vô hướng được định nghĩa là $\langle x, y \rangle = \sum{n=1}^\infty x_n \overline{y_n}$.
• Không gian $L^2([a, b])$: Không gian các hàm bình phương khả tích trên đoạn $[a, b]$, tức là các hàm $f$ sao cho $\int_a^b |f(x)|^2 dx < \infty$. Tích vô hướng được định nghĩa là $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) \overline{g(x)} dx$.

Ứng dụng

Không gian Hilbert có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

• Phương trình vi phân: Giải các phương trình vi phân bằng phương pháp biến phân.
• Cơ học lượng tử: Mô tả trạng thái của các hệ lượng tử.
• Xử lý tín hiệu: Biểu diễn và phân tích tín hiệu.
• Học máy: Xây dựng các mô hình học máy, đặc biệt là trong các phương pháp kernel.

Khái niệm liên quan

Một số khái niệm liên quan đến không gian Hilbert bao gồm:

• Không gian Banach: Là một không gian vectơ được trang bị chuẩn và đầy đủ, nhưng không nhất thiết phải có tích vô hướng. Mọi không gian Hilbert đều là không gian Banach, nhưng điều ngược lại không đúng.
• Toán tử tuyến tính: Ánh xạ tuyến tính giữa các không gian Hilbert.
• Toán tử tự liên hợp: Một loại toán tử tuyến tính đặc biệt trên không gian Hilbert có vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử.

Cơ sở trực giao và cơ sở chuẩn tắc

Một tập hợp các vectơ ${ei}{i \in I}$ trong không gian Hilbert $H$ được gọi là trực giao nếu $\langle e_i, e_j \rangle = 0$ với mọi $i \ne j$. Nếu thêm vào đó, mỗi vectơ $e_i$ có chuẩn bằng 1 (tức là $\langle e_i, e_i \rangle = 1$), thì tập hợp này được gọi là chuẩn tắc. Một cơ sở trực giao (hoặc cơ sở chuẩn tắc) là một tập hợp các vectơ trực giao (hoặc chuẩn tắc) sao cho mọi vectơ trong $H$ đều có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính (có thể vô hạn) của các vectơ trong cơ sở.

Định lý hình chiếu

Cho $M$ là một không gian con đóng của không gian Hilbert $H$. Với mỗi $x \in H$, tồn tại duy nhất một vectơ $y \in M$ sao cho $||x – y||$ là nhỏ nhất. Vectơ $y$ này được gọi là hình chiếu của $x$ lên $M$ và được ký hiệu là $P_M(x)$. Ngoài ra, $x – y$ vuông góc với mọi vectơ trong $M$.

Không gian Hilbert khả ly

Một không gian Hilbert được gọi là khả ly nếu nó chứa một tập con đếm được trù mật. Điều này tương đương với việc không gian Hilbert đó có một cơ sở chuẩn tắc đếm được. Ví dụ, không gian $l^2$ và $L^2([a, b])$ là các không gian Hilbert khả ly.

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier là một ví dụ quan trọng của một toán tử unitary trên không gian Hilbert $L^2(\mathbb{R})$. Nó biến đổi một hàm $f(t)$ thành một hàm $\hat{f}(\omega)$ trong miền tần số. Biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu và phân tích hàm. Công thức biến đổi Fourier được cho bởi:

$\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt$

Toán tử compact

Một toán tử tuyến tính $T: H \to H$ được gọi là compact nếu nó biến mọi tập hợp bị chặn thành một tập hợp precompact (tức là bao đóng của nó là compact). Toán tử compact có nhiều tính chất đặc biệt và đóng vai trò quan trọng trong việc giải các phương trình tích phân.

Một số kết quả quan trọng khác

• Bất đẳng thức Bessel: Cho ${en}$ là một hệ trực giao trong $H$ và $x \in H$. Khi đó, $\sum{n=1}^{\infty} |\langle x, e_n \rangle|^2 \le ||x||^2$.
• Đẳng thức Parseval: Nếu ${en}$ là một cơ sở chuẩn tắc của $H$, thì $\sum{n=1}^{\infty} |\langle x, e_n \rangle|^2 = ||x||^2$.
• Định lý Riesz: Mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên $H$ đều có thể được biểu diễn dưới dạng $\langle x, y \rangle$ với một $y \in H$ duy nhất.

• Kreyszig, E. (1999). Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley.
• Rudin, W. (1991). Functional Analysis. McGraw-Hill.
• Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Springer.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa không gian Banach và không gian Hilbert là gì? Tại sao sự khác biệt này lại quan trọng?

Trả lời: Mọi không gian Hilbert đều là không gian Banach vì nó là một không gian vectơ có chuẩn đầy đủ. Tuy nhiên, không gian Hilbert còn được trang bị thêm một tích vô hướng, cho phép định nghĩa góc giữa các vectơ và các khái niệm liên quan như trực giao. Sự khác biệt này rất quan trọng vì tích vô hướng cho phép phát triển các công cụ mạnh mẽ hơn cho việc phân tích, ví dụ như định lý hình chiếu và cơ sở trực giao, mà không có sẵn trong không gian Banach tổng quát.

Làm thế nào để chứng minh rằng không gian $C[a, b]$ của các hàm liên tục trên đoạn $[a, b]$ với chuẩn $||f|| = max_{x in [a, b]} |f(x)|$ không phải là một không gian Hilbert?

Trả lời: Để chứng minh $C[a, b]$ với chuẩn trên không phải là không gian Hilbert, ta cần chỉ ra rằng chuẩn này không được cảm sinh bởi một tích vô hướng. Một cách để làm điều này là sử dụng đẳng thức hình bình hành: Nếu một chuẩn $||\cdot||$ được cảm sinh bởi một tích vô hướng, thì $||x + y||^2 + ||x – y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)$ với mọi $x, y$. Xét hai hàm $f(x) = 1$ và $g(x) = x$ trên $[0, 1]$. Ta có $||f + g|| = 2$, $||f – g|| = 1$, $||f|| = 1$, và $||g|| = 1$. Do đó, $||f + g||^2 + ||f – g||^2 = 5$, trong khi $2(||f||^2 + ||g||^2) = 4$. Đẳng thức hình bình hành không được thỏa mãn, vậy chuẩn này không được cảm sinh bởi một tích vô hướng, và $C[a, b]$ với chuẩn này không phải là không gian Hilbert.

Vai trò của cơ sở chuẩn tắc trong không gian Hilbert là gì?

Trả lời: Cơ sở chuẩn tắc cung cấp một cách “tiện lợi” để biểu diễn mọi vectơ trong không gian Hilbert dưới dạng một tổ hợp tuyến tính (có thể vô hạn) của các vectơ cơ sở. Điều này đơn giản hóa nhiều phép tính và cho phép áp dụng các công cụ từ đại số tuyến tính vào việc nghiên cứu không gian Hilbert. Ví dụ, đẳng thức Parseval cho phép tính toán chuẩn của một vectơ bằng tổng bình phương các hệ số Fourier của nó.

Tại sao tính đầy đủ lại quan trọng trong định nghĩa của không gian Hilbert?

Trả lời: Tính đầy đủ đảm bảo rằng mọi chuỗi Cauchy trong không gian đều hội tụ về một giới hạn nằm trong chính không gian đó. Điều này rất quan trọng cho nhiều kết quả trong giải tích hàm, chẳng hạn như định lý điểm bất động Banach và sự tồn tại và duy nhất của nghiệm của một số phương trình vi phân. Nếu không có tính đầy đủ, chúng ta không thể đảm bảo rằng các giới hạn của chuỗi Cauchy tồn tại trong không gian, và nhiều kết quả quan trọng sẽ không còn đúng.

Cho một ví dụ về một toán tử tuyến tính trên một không gian Hilbert không phải là toán tử compact.

Trả lời: Toán tử đồng nhất $I: H to H$ trên một không gian Hilbert vô hạn chiều $H$ không phải là toán tử compact. Để thấy điều này, xét quả cầu đơn vị $B = {x in H: ||x|| le 1}$. $I(B) = B$, và vì $H$ là vô hạn chiều, $B$ không compact (bao đóng của nó cũng không compact). Do đó, $I$ không biến một tập bị chặn thành một tập precompact, vậy $I$ không phải là toán tử compact.