Khuếch tán Knudsen (Knudsen Diffusion)

Điều kiện tiên quyết để khuếch tán Knudsen xảy ra được xác định bởi số Knudsen ($K_n$), một đại lượng không thứ nguyên:
$ K_n = \frac{\lambda}{d} $
Trong đó $ \lambda $ là quãng đường tự do trung bình và $ d $ là đường kính của lỗ rỗng. Khuếch tán Knudsen chiếm ưu thế khi $ K_n > 10 $. Khi $ K_n < 0.1 $, khuếch tán phân tử thông thường sẽ chiếm ưu thế. Vùng chuyển tiếp ($ 0.1 < K_n < 10 $) có sự đóng góp của cả hai cơ chế.

Quãng đường tự do trung bình ($ \lambda $)

Quãng đường tự do trung bình là khoảng cách trung bình mà một phân tử (ví dụ: nguyên tử, phân tử, photon) di chuyển giữa các lần va chạm liên tiếp làm thay đổi hướng hoặc năng lượng của nó. Đại lượng này phụ thuộc vào các đặc tính của phân tử, áp suất và nhiệt độ của hệ thống. Nó được tính theo công thức của khí lý tưởng:

$ \lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d_m^2 P} $

Trong đó:

• $k_B$: Hằng số Boltzmann ($1.380649 \times 10^{-23} J/K$)
• $T$: Nhiệt độ tuyệt đối của hệ (K)
• $d_m$: Đường kính hiệu dụng của phân tử khí (m)
• $P$: Áp suất tuyệt đối của khí (Pa)

Phân loại cơ chế khuếch tán dựa trên số Knudsen ($K_n$)

Số Knudsen là một đại lượng không thứ nguyên, được định nghĩa là tỷ số giữa quãng đường tự do trung bình ($ \lambda $) của phân tử và một kích thước vật lý đặc trưng của hệ thống, ví dụ như đường kính lỗ rỗng ($d$).
$ K_n = \frac{\lambda}{d} $
Dựa vào giá trị của số Knudsen, ta có thể xác định cơ chế vận chuyển khí chủ đạo:

• $K_n < 0.01$ (Dòng chảy liên tục): Trong chế độ này, quãng đường tự do trung bình của các phân tử nhỏ hơn nhiều so với đường kính lỗ rỗng. Các va chạm giữa các phân tử khí với nhau xảy ra thường xuyên hơn nhiều so với va chạm với thành lỗ rỗng. Dòng chảy được mô tả tốt bởi các phương trình thủy động lực học, và cơ chế khuếch tán chủ đạo là khuếch tán phân tử (tuân theo định luật Fick).
• $0.01 < K_n < 10$ (Vùng chuyển tiếp): Đây là vùng trung gian, nơi cả va chạm giữa phân tử-phân tử và va chạm giữa phân tử-thành đều có vai trò quan trọng. Việc mô tả dòng chảy trong vùng này rất phức tạp, đòi hỏi sự kết hợp của cả hai cơ chế khuếch tán.
• $K_n > 10$ (Dòng chảy phân tử tự do / Khuếch tán Knudsen): Khi quãng đường tự do trung bình lớn hơn đáng kể so với đường kính lỗ rỗng, các phân tử khí sẽ va chạm với thành lỗ rỗng thường xuyên hơn nhiều so với va chạm với nhau. Chuyển động của mỗi phân tử gần như độc lập với các phân tử khác. Đây chính là điều kiện để khuếch tán Knudsen trở thành cơ chế vận chuyển chi phối.

Hệ số khuếch tán Knudsen ($D_K$)

Hệ số khuếch tán Knudsen ($D_K$) mô tả tốc độ vận chuyển khối lượng của một chất khí trong chế độ Knudsen. Không giống như hệ số khuếch tán phân tử phụ thuộc vào áp suất, $D_K$ gần như độc lập với áp suất tổng nhưng phụ thuộc vào hình học của lỗ rỗng, nhiệt độ và khối lượng phân tử của khí khuếch tán.

Đối với một lỗ rỗng hình trụ dài, hệ số khuếch tán Knudsen được tính toán dựa trên lý thuyết động học chất khí:
$D_K = \frac{d\bar{v}}{3}$
Trong đó, $\bar{v}$ là vận tốc trung bình của phân tử khí, được tính bằng công thức Maxwell-Boltzmann:
$\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$
Kết hợp hai công thức trên, ta có biểu thức đầy đủ cho hệ số khuếch tán Knudsen:
$D_K = \frac{d}{3}\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$

Trong đó:

• $d$: Đường kính lỗ rỗng (hay mao quản) (m)
• $\bar{v}$: Vận tốc phân tử trung bình (m/s)
• $R$: Hằng số khí lý tưởng ($8.314 J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$)
• $T$: Nhiệt độ tuyệt đối (K)
• $M$: Khối lượng mol của chất khí (kg/mol)

Ứng dụng

Khuếch tán Knudsen có vai trò then chốt trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, đặc biệt là ở những nơi có sự vận chuyển khí qua các cấu trúc vi mô hoặc trong điều kiện áp suất thấp. Các ứng dụng chính bao gồm:

• Vật liệu xốp: Trong các vật liệu như chất xúc tác dị thể, màng lọc khí, và vật liệu cách nhiệt aerogel, khuếch tán Knudsen thường là bước giới hạn tốc độ. Nó quyết định tốc độ các phân tử khí phản ứng tiếp cận bề mặt hoạt động và các sản phẩm thoát ra khỏi cấu trúc lỗ rỗng của vật liệu.
• Hệ thống chân không: Trong kỹ thuật chân không cao và siêu cao, nơi quãng đường tự do trung bình của các phân tử khí rất lớn, dòng chảy trong các đường ống và các bộ phận của hệ thống chủ yếu tuân theo cơ chế Knudsen. Việc tính toán độ dẫn của ống phải dựa trên mô hình này.
• Kỹ thuật hóa học và Tách đồng vị: Do hệ số khuếch tán Knudsen phụ thuộc vào căn bậc hai của khối lượng phân tử ($D_K \propto 1/\sqrt{M}$), cơ chế này được ứng dụng để tách các đồng vị khí, ví dụ như làm giàu Uranium (tách $^{235}UF_6$ khỏi $^{238}UF_6$).
• Khoa học địa chất: Sự vận chuyển của các khí như metan và radon trong các cấu trúc đá và đất xốp thường bị chi phối bởi khuếch tán Knudsen.
• Pin nhiên liệu và Pin kim loại-không khí: Việc vận chuyển khí oxy đến lớp xúc tác qua lớp khuếch tán khí (Gas Diffusion Layer – GDL) trong pin nhiên liệu là một quá trình phức tạp, trong đó khuếch tán Knudsen đóng một vai trò quan trọng bên cạnh khuếch tán phân tử.

So sánh Khuếch tán Knudsen và Khuếch tán Phân tử

Mô hình hóa trong các cấu trúc phức tạp

Trong thực tế, cấu trúc lỗ rỗng của vật liệu hiếm khi là một ống trụ lý tưởng. Chúng thường là một mạng lưới phức tạp, quanh co với sự phân bố kích thước lỗ rỗng đa dạng. Để mô tả chính xác hơn, các mô hình tiên tiến đã được phát triển:

• Mô hình Dusty-Gas: Đây là mô hình tổng quát nhất, coi môi trường xốp như một loại “phân tử bụi” đứng yên khổng lồ. Mô hình này kết hợp các hiệu ứng từ khuếch tán Knudsen (va chạm khí-bụi), khuếch tán phân tử (va chạm khí-khí), và dòng chảy nhớt (do chênh lệch áp suất). Nó có thể áp dụng cho mọi chế độ dòng chảy từ Knudsen đến liên tục.
• Mô hình Mean Transport Pore Model (MTPM): Mô hình này đơn giản hóa cấu trúc phức tạp thành một tập hợp các lỗ rỗng đại diện có tính đến sự phân bố kích thước và độ quanh co (tortuosity).
• Mô phỏng Monte Carlo (DSMC): Phương pháp này theo dõi quỹ đạo ngẫu nhiên của một số lượng lớn các phân tử riêng lẻ khi chúng di chuyển và va chạm với thành lỗ rỗng và với nhau. Đây là một công cụ mạnh mẽ nhưng đòi hỏi chi phí tính toán cao.
• Phương pháp Lattice Boltzmann (LBM): Giải phương trình Boltzmann trên một mạng lưới (lattice) để mô phỏng dòng chảy của chất lưu ở quy mô trung gian (mesoscopic), có khả năng mô tả tốt vùng chuyển tiếp.

Các yếu tố ảnh hưởng khác

• Hấp phụ bề mặt: Khi các phân tử khí bị hấp phụ lên bề mặt lỗ rỗng, chúng có thể di chuyển dọc theo bề mặt, tạo ra một cơ chế vận chuyển bổ sung gọi là khuếch tán bề mặt. Dòng chảy tổng cộng sẽ là tổng của dòng chảy Knudsen và dòng chảy bề mặt.
• Độ nhám bề mặt: Một bề mặt nhám làm tăng diện tích bề mặt hiệu dụng và có thể thay đổi góc va chạm của phân tử, ảnh hưởng đến đường đi và tốc độ khuếch tán tổng thể.
• Nhiệt độ: Nhiệt độ ảnh hưởng trực tiếp đến tốc độ phân tử trung bình ($\bar{v} \propto \sqrt{T}$), do đó làm tăng hệ số khuếch tán Knudsen ($D_K \propto \sqrt{T}$).