Lý thuyết trường conformal (Conformal field theory – CFT)

Biến đổi Conformal

Một biến đổi conformal là một biến đổi tọa độ $x^\mu \to x’^\mu$ sao cho metric được nhân với một hệ số nhân tùy thuộc vào vị trí:

$g'{\mu\nu}(x’) = \Omega^2(x) g{\mu\nu}(x)$

Trong không gian Euclid $d$-chiều, các biến đổi conformal bao gồm:

• Dịch chuyển: $x^\mu \to x^\mu + a^\mu$
• Quay: $x^\mu \to \Lambda^\mu_\nu x^\nu$ (với $\Lambda$ là ma trận quay)
• Độ giãn: $x^\mu \to \lambda x^\mu$
• Biến đổi đặc biệt conformal: $x^\mu \to \frac{x^\mu – b^\mu x^2}{1 – 2b \cdot x + b^2 x^2}$

Ở đây, $a^\mu$ là vector dịch chuyển, $\lambda$ là hệ số giãn, và $b^\mu$ là vector tham số của biến đổi đặc biệt conformal. $x^2$ là bình phương khoảng cách Euclid, $x^2 = x^\mu x_\mu$. Cần lưu ý rằng các biến đổi đặc biệt conformal có thể được hiểu như là sự kết hợp của phép nghịch đảo, dịch chuyển và nghịch đảo lại.

Đại lượng trung tâm (Central charge) $c$

Một đặc trưng quan trọng của CFT 2 chiều là đại lượng trung tâm $c$. Nó xuất hiện trong đại số Virasoro, một đại số đối xứng vô hạn chiều của CFT 2 chiều, và chi phối hành vi của lý thuyết. Giá trị của $c$ liên quan đến các tính chất vật lý của hệ, ví dụ như tính phá quái (anomaly) conformal. Đại lượng trung tâm $c$ đóng vai trò quan trọng trong việc phân loại các CFT và xác định các tính chất của chúng, chẳng hạn như phổ của các chiều conformal.

Chiều Conformal

Trong CFT, thay vì khối lượng, các trường được đặc trưng bởi chiều conformal $\Delta$. Dưới phép độ giãn $x \to \lambda x$, một trường $\phi(x)$ biến đổi như sau:

$\phi(x) \to \lambda^{-\Delta} \phi(\lambda x)$

Chiều conformal $\Delta$ xác định cách trường co giãn dưới phép biến đổi độ giãn. Nó tương tự như khối lượng trong các lý thuyết trường lượng tử khác, nhưng mang một ý nghĩa khác. Một trường có chiều conformal $\Delta$ được gọi là một trường conformal bậc $\Delta$.

Hàm tương quan (Correlation function)

Cũng như trong QFT nói chung, thông tin vật lý trong CFT được mã hóa trong các hàm tương quan. Hình thức của các hàm tương quan bị ràng buộc chặt chẽ bởi tính đối xứng conformal. Ví dụ, hàm tương quan hai điểm của hai trường vô hướng với chiều conformal $\Delta$ trong CFT 2 chiều có dạng:

$\langle \phi_1(z_1) \phi_2(z2) \rangle = \frac{C{12}}{(z_1 – z_2)^{2\Delta}}$

trong đó $z = x + iy$ là tọa độ phức và $C_{12}$ là hằng số. Công thức này chỉ đúng khi hai trường $\phi_1$ và $\phi_2$ giống nhau hoặc có liên quan với nhau. Đối với các trường khác nhau, hàm tương quan hai điểm có thể bằng không. Việc sử dụng tọa độ phức $z$ và $\bar{z}$ rất phổ biến trong CFT 2 chiều vì nó đơn giản hóa nhiều phép tính. Tính đối xứng conformal ràng buộc mạnh mẽ hình thức của các hàm tương quan, cho phép ta tính toán chúng một cách chính xác trong nhiều trường hợp.

Ứng dụng

CFT có nhiều ứng dụng quan trọng:

• Điểm tới hạn: Gần điểm tới hạn của chuyển pha, các hệ thống vật lý thể hiện tính bất biến scale, và thường cả tính bất biến conformal. CFT cung cấp một khuôn khổ lý thuyết mạnh mẽ để nghiên cứu các hệ thống này. Ví dụ, CFT có thể được sử dụng để tính toán các chỉ số tới hạn, mô tả hành vi của các đại lượng vật lý gần điểm tới hạn.
• Lý thuyết dây: CFT 2 chiều đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết dây, nơi nó mô tả động lực học của dây. Cụ thể, lý thuyết dây được định nghĩa trên worldsheet, một bề mặt hai chiều, và worldsheet này được mô tả bởi một CFT 2 chiều.
• Hấp dẫn lượng tử: Sự tương ứng AdS/CFT liên kết hấp dẫn lượng tử trong không gian anti-de Sitter (AdS) với CFT trên biên của không gian đó, cung cấp một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu cả hai lý thuyết. Tương ứng này cho phép ta nghiên cứu các tính chất của hấp dẫn lượng tử bằng cách sử dụng các công cụ của CFT, và ngược lại.

CFT là một lĩnh vực nghiên cứu phong phú và năng động, với nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý lý thuyết. Tính đối xứng conformal mạnh mẽ cho phép chúng ta hiểu sâu sắc về các hệ thống phức tạp và cung cấp một cầu nối giữa các lĩnh vực khác nhau của vật lý.

Đại số Virasoro

Như đã đề cập, CFT hai chiều sở hữu một đại số đối xứng vô hạn chiều gọi là đại số Virasoro. Đại số này được sinh bởi các generator $L_n$ và $\bar{L}_n$ với $n \in \mathbb{Z}$, thỏa mãn quan hệ giao hoán:

$[L_m, Ln] = (m-n)L{m+n} + \frac{c}{12}(m^3 – m)\delta_{m+n,0}$

và tương tự cho $\bar{L}_n$. $c$ chính là đại lượng trung tâm đã được nhắc đến trước đó. Đại số Virasoro đóng vai trò quan trọng trong việc phân loại và nghiên cứu CFT hai chiều. Các generator $L_n$ và $\bar{L}_n$ tương ứng với các biến đổi conformal vô cùng bé trên mặt phẳng phức.

Mô hình tối thiểu (Minimal models)

Một lớp quan trọng của CFT hai chiều là các mô hình tối thiểu. Chúng được đặc trưng bởi việc có một số hữu hạn các trường conformal bất khả quy. Các mô hình này có thể được phân loại hoàn toàn dựa trên đại lượng trung tâm $c < 1$. Ví dụ, mô hình Ising, mô tả chuyển pha của mô hình Ising hai chiều, là một mô hình tối thiểu với $c = 1/2$. Các mô hình tối thiểu cung cấp những ví dụ đơn giản và chính xác về CFT, cho phép ta kiểm tra và phát triển các phương pháp nghiên cứu.

Bootstrap Conformal

Bootstrap conformal là một phương pháp phi nhiễu loạn mạnh mẽ để nghiên cứu CFT. Ý tưởng chính là sử dụng các ràng buộc từ tính đối xứng conformal, tính unitarity và tính kết hợp để ràng buộc các chiều conformal và các hằng số cấu trúc của lý thuyết. Phương pháp này đã đạt được những thành công đáng kể trong việc xác định chính xác các đại lượng quan trọng trong CFT, đặc biệt là trong không gian ba chiều. Bootstrap conformal là một lĩnh vực nghiên cứu đang phát triển mạnh mẽ và hứa hẹn mang lại những hiểu biết sâu sắc hơn về CFT.

Câu hỏi và Giải đáp

Vai trò của đại số Virasoro trong việc phân loại CFT hai chiều là gì?

Trả lời: Đại số Virasoro, với đại lượng trung tâm $c$, đóng vai trò then chốt trong việc phân loại CFT hai chiều. Đặc biệt, đối với $c < 1$, các mô hình tối thiểu (minimal models) được phân loại hoàn toàn bởi đại lượng trung tâm. Các biểu diễn unita của đại số Virasoro tương ứng với các trường conformal trong CFT, và cấu trúc của đại số này giúp xác định phổ của các chiều conformal và các hàm tương quan.

Sự tương ứng AdS/CFT là gì và nó có ý nghĩa như thế nào?

Trả lời: Sự tương ứng AdS/CFT là một giả thuyết cho rằng một lý thuyết hấp dẫn lượng tử trong không gian anti-de Sitter (AdS) $d+1$ chiều tương đương với một CFT $d$ chiều xác định trên biên của không gian AdS. Đây là một kết quả đáng kinh ngạc, nối kết hai lý thuyết tưởng chừng như rất khác nhau. Nó cung cấp một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu cả hấp dẫn lượng tử và CFT.

Bootstrap conformal là gì và nó khác với các phương pháp nhiễu loạn như thế nào?

Trả lời: Bootstrap conformal là một phương pháp phi nhiễu loạn để nghiên cứu CFT. Nó dựa trên việc sử dụng các ràng buộc từ tính đối xứng conformal, tính unitarity, và crossing symmetry của các hàm tương quan để xác định các chiều conformal và các hằng số cấu trúc. Khác với các phương pháp nhiễu loạn, bootstrap conformal không yêu cầu một Lagrangian cụ thể và có thể được áp dụng cho cả các CFT strongly coupled.

Làm thế nào để tính hàm tương quan ba điểm trong CFT?

Trả lời: Hình thức của hàm tương quan ba điểm trong CFT bị ràng buộc mạnh mẽ bởi tính đối xứng conformal. Đối với ba trường vô hướng với chiều conformal $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3$, hàm tương quan ba điểm trong CFT hai chiều có dạng:

$\langle \phi_1(z_1) \phi_2(z_2) \phi_3(z3) \rangle = \frac{C{123}}{(z_1 – z_2)^{\Delta_1 + \Delta_2 – \Delta_3} (z_2 – z_3)^{\Delta_2 + \Delta_3 – \Delta_1} (z_3 – z_1)^{\Delta_3 + \Delta_1 – \Delta_2}}$

trong đó $C_{123}$ là hằng số cấu trúc ba điểm.

Ứng dụng của CFT trong vật lý vật chất ngưng tụ là gì?

Trả lời: CFT được sử dụng để mô tả các hệ thống vật lý tại điểm tới hạn, nơi các hệ thống thể hiện tính bất biến scale và thường cả tính bất biến conformal. Ví dụ, mô hình Ising hai chiều tại điểm tới hạn được mô tả bởi một CFT với $c = 1/2$. CFT cung cấp một khuôn khổ lý thuyết mạnh mẽ để tính toán các đại lượng tới hạn như exponents tới hạn.