Mạng Bravais (Bravais lattice)

Định nghĩa hình thức

Một mạng Bravais được định nghĩa bởi một tập hợp các vectơ tịnh tiến cơ sở {$\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$}. Bất kỳ điểm nào trên mạng có thể được biểu diễn bằng vectơ vị trí:

$\vec{R} = n_1\vec{a_1} + n_2\vec{a_2} + n_3\vec{a_3}$

trong đó $n_1$, $n_2$, và $n_3$ là các số nguyên. Các vectơ $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}$ được gọi là các vectơ cơ sở của mạng Bravais và chúng xác định hình dạng và kích thước của ô đơn vị. Ô đơn vị là một hình bình hành (trong 2D) hoặc hình hộp (trong 3D) được tạo bởi các vectơ cơ sở, và khi được lặp lại trong không gian, nó sẽ tạo ra toàn bộ mạng Bravais. Việc lựa chọn các vectơ cơ sở không phải là duy nhất, tuy nhiên, thể tích của ô đơn vị là cố định đối với một mạng Bravais nhất định.

Ý nghĩa vật lý

Trong vật lý chất rắn, mạng Bravais thường được sử dụng để mô tả sự sắp xếp của các nguyên tử, ion, hoặc phân tử trong tinh thể. Mạng Bravais thể hiện tính tuần hoàn của cấu trúc tinh thể, chứ không mô tả vị trí chính xác của từng nguyên tử trong ô mạng cơ sở. Để mô tả đầy đủ cấu trúc tinh thể, ta cần kết hợp mạng Bravais với motif (hay basis), là tập hợp các nguyên tử gắn liền với mỗi điểm mạng. Motif có thể bao gồm một nguyên tử, một vài nguyên tử, một phân tử, hoặc một nhóm phân tử.

14 Mạng Bravais

Trong không gian ba chiều, chỉ có 14 mạng Bravais được phân loại theo 7 hệ tinh thể:

• Hệ tinh thể Triclinic (Ba nghiêng): Không có sự đối xứng đặc biệt. (1 mạng Bravais)
• Hệ tinh thể Monoclinic (Đơn nghiêng): Một trục đối xứng bậc hai hoặc một mặt phẳng đối xứng. (2 mạng Bravais)
• Hệ tinh thể Orthorhombic (Trực thoi): Ba trục đối xứng bậc hai vuông góc với nhau. (4 mạng Bravais)
• Hệ tinh thể Tetragonal (Bốn phương): Một trục đối xứng bậc bốn. (2 mạng Bravais)
• Hệ tinh thể Trigonal/Rhombohedral (Ba phương): Một trục đối xứng bậc ba. (1 mạng Bravais)
• Hệ tinh thể Hexagonal (Lục phương): Một trục đối xứng bậc sáu. (1 mạng Bravais)
• Hệ tinh thể Cubic (Lập phương): Bốn trục đối xứng bậc ba. (3 mạng Bravais)

Mỗi hệ tinh thể có thể có một hoặc nhiều mạng Bravais, bao gồm mạng đơn giản (P), mạng tâm đáy (C), mạng tâm khối (I) và mạng tâm mặt (F). Sự kết hợp giữa hệ tinh thể và kiểu mạng (P, C, I, F) tạo ra 14 mạng Bravais.

Ô mạng cơ sở

Ô mạng cơ sở là một hình bình hành (trong 2D) hoặc hình hộp (trong 3D) được xác định bởi các vectơ cơ sở. Thể tích của ô mạng cơ sở được cho bởi:

$V = |\vec{a_1} \cdot (\vec{a_2} \times \vec{a_3})|$

Công thức này sử dụng tích hỗn hợp của ba vectơ cơ sở để tính thể tích.

Tầm quan trọng

Việc hiểu rõ về mạng Bravais là nền tảng cho việc nghiên cứu các tính chất của vật liệu rắn, bao gồm tính chất cơ học, nhiệt học, điện, và quang học. Nó cung cấp một khuôn khổ toán học để mô tả và phân tích cấu trúc tinh thể, giúp dự đoán và giải thích các hiện tượng vật lý xảy ra trong vật liệu. Ví dụ, việc biết cấu trúc mạng Bravais của một vật liệu có thể giúp ta dự đoán tính dẫn điện, độ cứng, và điểm nóng chảy của nó.

Ví dụ về một số mạng Bravais phổ biến:

• Mạng lập phương đơn giản (Simple Cubic – sc): $|\vec{a_1}| = |\vec{a_2}| = |\vec{a_3}| = a$ và $\vec{a_1} \perp \vec{a_2} \perp \vec{a_3}$. Mỗi điểm mạng có 6 láng giềng gần nhất.
• Mạng lập phương tâm khối (Body-Centered Cubic – bcc): Giống mạng sc nhưng có thêm một điểm mạng ở tâm của khối lập phương. Mỗi điểm mạng có 8 láng giềng gần nhất.
• Mạng lập phương tâm mặt (Face-Centered Cubic – fcc): Giống mạng sc nhưng có thêm một điểm mạng ở tâm của mỗi mặt của khối lập phương. Mỗi điểm mạng có 12 láng giềng gần nhất.

Hệ số lấp đầy (Packing fraction):

Hệ số lấp đầy là tỉ lệ phần trăm thể tích của ô mạng cơ sở bị chiếm bởi các nguyên tử, giả sử chúng là các hình cầu cứng tiếp xúc nhau. Hệ số lấp đầy cho biết mức độ “đóng gói” của các nguyên tử trong mạng tinh thể.

• sc: Hệ số lấp đầy = $\frac{\pi}{6} \approx 0.52$
• bcc: Hệ số lấp đầy = $\frac{\sqrt{3}\pi}{8} \approx 0.68$
• fcc: Hệ số lấp đầy = $\frac{\sqrt{2}\pi}{6} \approx 0.74$

Mạng nghịch đảo (Reciprocal lattice):

Mạng nghịch đảo là một khái niệm quan trọng trong vật lý chất rắn, được sử dụng để phân tích các hiện tượng liên quan đến sóng, chẳng hạn như nhiễu xạ tia X. Mạng nghịch đảo được xây dựng từ mạng Bravais ban đầu và có mối quan hệ chặt chẽ với nó. Các vectơ cơ sở của mạng nghịch đảo, $\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3}$, được định nghĩa bởi:

$\vec{b_1} = 2\pi \frac{\vec{a_2} \times \vec{a_3}}{V}$
$\vec{b_2} = 2\pi \frac{\vec{a_3} \times \vec{a_1}}{V}$
$\vec{b_3} = 2\pi \frac{\vec{a_1} \times \vec{a_2}}{V}$

trong đó $V$ là thể tích của ô mạng cơ sở.

Vùng Brillouin:

Vùng Brillouin là một ô mạng cơ sở trong mạng nghịch đảo. Nó có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất điện tử của vật liệu rắn, đặc biệt là trong việc mô tả các trạng thái năng lượng của electron. Hình dạng của vùng Brillouin phụ thuộc vào mạng Bravais của tinh thể.

• Kittel, C. (2004). Introduction to Solid State Physics. John Wiley & Sons.
• Ashcroft, N. W., & Mermin, N. D. (1976). Solid State Physics. Holt, Rinehart and Winston.
• Omar, M. A. (1975). Elementary Solid State Physics. Addison-Wesley Publishing Company.

Câu hỏi và Giải đáp

Làm thế nào để xác định ô mạng cơ sở nguyên thủy (primitive unit cell) của một mạng Bravais?

Trả lời: Ô mạng cơ sở nguyên thủy là ô mạng có thể tích nhỏ nhất mà khi được tịnh tiến theo các vectơ cơ sở của mạng Bravais, sẽ bao phủ toàn bộ không gian mà không chồng chéo. Mỗi ô mạng cơ sở nguyên thủy chỉ chứa một điểm mạng. Có nhiều cách chọn ô mạng cơ sở nguyên thủy, nhưng thể tích của chúng luôn bằng nhau. Một phương pháp phổ biến là phương pháp Wigner-Seitz.

Sự khác biệt giữa mạng Bravais và cấu trúc tinh thể là gì?

Trả lời: Mạng Bravais là một mạng lưới vô hạn các điểm, mỗi điểm có môi trường xung quanh giống hệt nhau. Cấu trúc tinh thể, mặt khác, được hình thành bằng cách gắn một motif (một nhóm nguyên tử hoặc phân tử) vào mỗi điểm của mạng Bravais. Nói cách khác, mạng Bravais mô tả tính tuần hoàn, còn cấu trúc tinh thể mô tả cả tính tuần hoàn lẫn sự sắp xếp của các nguyên tử trong ô mạng.

Tại sao chỉ có 14 mạng Bravais trong không gian ba chiều?

Trả lời: Số lượng mạng Bravais bị giới hạn bởi các quy tắc đối xứng trong không gian ba chiều. Việc phân loại dựa trên 7 hệ tinh thể và các kiểu mạng centering (tâm khối, tâm mặt, tâm đáy) cho thấy chỉ có 14 sự kết hợp duy nhất thỏa mãn các quy tắc đối xứng này.

Mạng nghịch đảo có ứng dụng gì trong phân tích nhiễu xạ?

Trả lời: Trong nhiễu xạ, điều kiện Bragg cho sự giao thoa tăng cường được biểu diễn dưới dạng $2d \sin\theta = n\lambda$, trong đó $d$ là khoảng cách giữa các mặt phẳng nguyên tử, $\theta$ là góc nhiễu xạ, $n$ là số nguyên, và $\lambda$ là bước sóng. Mạng nghịch đảo cung cấp một cách biểu diễn hình học thuận tiện cho điều kiện Bragg. Các vectơ mạng nghịch đảo tương ứng với các mặt phẳng nguyên tử trong mạng thực, và độ lớn của chúng tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa các mặt phẳng.

Làm thế nào để tính hệ số lấp đầy cho một mạng Bravais cụ thể?

Trả lời: Hệ số lấp đầy được tính bằng tỷ lệ thể tích bị chiếm bởi các nguyên tử (giả sử là hình cầu cứng) trong một ô mạng cơ sở so với thể tích của ô mạng đó. Ví dụ, đối với mạng fcc, có 4 nguyên tử trong một ô mạng cơ sở. Nếu bán kính nguyên tử là $r$ và cạnh của ô mạng là $a$ (với $a = 2\sqrt{2}r$ do các nguyên tử tiếp xúc nhau dọc đường chéo mặt), thì hệ số lấp đầy là: $\frac{4 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3} = \frac{4 \times \frac{4}{3}\pi r^3}{(2\sqrt{2}r)^3} = \frac{\sqrt{2}\pi}{6} \approx 0.74$.