Mật độ Lagrangian (Lagrangian density)

Định nghĩa

Mật độ Lagrangian là một hàm số của các trường $\phii(x^\mu)$ (và có thể cả đạo hàm của chúng $\partial\mu \phi_i$) và tọa độ không-thời gian $x^\mu = (ct, \vec{x})$. Nó được định nghĩa sao cho Lagrangian $L$ của hệ có thể được tính bằng tích phân của mật độ Lagrangian trên toàn bộ không gian:

$L = \int d^3x \mathcal{L}(\phii, \partial\mu \phi_i, x^\mu)$

Lưu ý rằng: $\partial_\mu$ đại diện cho đạo hàm riêng theo tọa độ $x^\mu$. Chỉ số $i$ biểu thị các thành phần khác nhau của trường (ví dụ, trong trường hợp trường vector, $i$ sẽ chạy từ 1 đến 3 trong không gian 3 chiều). Việc $\mathcal{L}$ phụ thuộc vào cả $\phii$ và $\partial\mu \phi_i$ cho phép mô tả các hệ vật lý mà động năng phụ thuộc vào cả vị trí và vận tốc (hoặc tương đương, trường và đạo hàm của trường). Việc $\mathcal{L}$ có thể phụ thuộc vào $x^\mu$ một cách tường minh cho phép mô tả các hệ thống mà năng lượng tiềm năng thay đổi theo không gian và thời gian.

Ví dụ

• Trường vô hướng tự do: Đối với một trường vô hướng tự do với khối lượng $m$, mật độ Lagrangian được cho bởi:

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) – \frac{1}{2} m^2 \phi^2$

Trong đó:

• $\partial_\mu \phi = (\frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial t}, \nabla \phi)$
• $\partial^\mu \phi = (\frac{1}{c} \frac{\partial \phi}{\partial t}, -\nabla \phi)$

Thành phần đầu tiên của $\mathcal{L}$ tương ứng với mật độ động năng và thành phần thứ hai tương ứng với mật độ thế năng của trường.

• Điện động lực học cổ điển: Mật độ Lagrangian cho điện động lực học, mô tả sự tương tác giữa trường điện từ và các hạt mang điện, được cho bởi:

$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} F{\mu\nu}F^{\mu\nu} + \bar{\psi}(i\gamma^\mu D\mu – m)\psi$

Trong đó:

• $F{\mu\nu} = \partial\mu A\nu – \partial\nu A_\mu$ là tenxơ cường độ trường điện từ.
• $A_\mu$ là thế vectơ tứ chiều.
• $\psi$ là trường spinor Dirac đại diện cho các hạt fermion (ví dụ electron).
• $D\mu = \partial\mu – ieA_\mu$ là đạo hàm hiệp biến gauge.
• $\gamma^\mu$ là ma trận Dirac.
• $e$ là điện tích cơ sở, $m$ là khối lượng của fermion.

Thành phần $-\frac{1}{4} F{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ mô tả trường điện từ tự do, $\bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial\mu – m)\psi$ mô tả trường fermion tự do, và $\bar{\psi}(i\gamma^\mu (-ieA_\mu))\psi$ mô tả tương tác giữa trường fermion và trường điện từ.

Phương trình Euler-Lagrange

Từ mật độ Lagrangian, ta có thể suy ra phương trình chuyển động của các trường bằng cách sử dụng nguyên lý tác dụng Hamilton. Nguyên lý này phát biểu rằng hệ sẽ tiến hóa theo quỹ đạo làm cho tác dụng $S = \int dt L = \int d^4x \mathcal{L}$ là dừng. Điều này dẫn đến các phương trình Euler-Lagrange cho các trường:

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phii} – \partial\mu \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \phi_i)}\right) = 0$

Đối xứng và Định luật Bảo toàn

Một điểm mạnh của formalization Lagrangian là việc kết nối trực tiếp giữa đối xứng và định luật bảo toàn. Định lý Noether phát biểu rằng mỗi đối xứng liên tục của mật độ Lagrangian tương ứng với một định luật bảo toàn. Ví dụ:

• Đối xứng tịnh tiến thời gian: Nếu $\mathcal{L}$ không phụ thuộc rõ ràng vào thời gian ($\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial t} = 0$), thì năng lượng của hệ được bảo toàn.
• Đối xứng tịnh tiến không gian: Nếu $\mathcal{L}$ không phụ thuộc rõ ràng vào tọa độ không gian ($\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x^i} = 0$), thì động lượng của hệ được bảo toàn.
• Đối xứng quay: Nếu $\mathcal{L}$ bất biến dưới phép quay, thì moment động lượng của hệ được bảo toàn.

Định lý Noether cung cấp một cách hệ thống để tìm ra các đại lượng bảo toàn từ các đối xứng của hệ.

Mật độ Lagrangian trong Lý thuyết trường Lượng tử

Trong lý thuyết trường lượng tử, mật độ Lagrangian đóng vai trò trung tâm trong việc xác định động lực học và tương tác của các hạt cơ bản. Nó được sử dụng để xây dựng tích phân đường Feynman, một công cụ quan trọng để tính toán biên độ tán xạ và các đại lượng vật lý khác. Việc lượng tử hóa một lý thuyết trường cổ điển thường bắt đầu bằng việc xác định mật độ Lagrangian cổ điển tương ứng.

Hạn chế của phương pháp Lagrangian

Mặc dù phương pháp Lagrangian rất mạnh mẽ, nhưng nó cũng có một số hạn chế. Ví dụ, nó không dễ dàng áp dụng cho các hệ thống tiêu tán năng lượng hoặc các hệ thống có ràng buộc phức tạp. Trong những trường hợp này, các phương pháp khác như phương pháp Hamiltonian có thể phù hợp hơn. Ngoài ra, việc tìm mật độ Lagrangian phù hợp cho một hệ vật lý cụ thể đôi khi có thể là một thách thức.

Kết luận

Mật độ Lagrangian là một công cụ quan trọng và cơ bản trong vật lý lý thuyết. Nó cung cấp một cách tiếp cận thanh lịch và hiệu quả để mô tả các hệ thống vật lý, từ các hệ cổ điển đơn giản đến các lý thuyết trường lượng tử phức tạp. Việc hiểu rõ về mật độ Lagrangian là cần thiết để nắm bắt được nhiều khái niệm quan trọng trong vật lý hiện đại.

• L.D. Landau & E.M. Lifshitz, Mechanics, Vol. 1 of Course of Theoretical Physics.
• H. Goldstein, Classical Mechanics.
• M.E. Peskin & D.V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory.
• D. Tong, Lectures on Quantum Field Theory (available online).

Câu hỏi và Giải đáp

Làm thế nào để xây dựng mật độ Lagrangian cho một hệ vật lý cụ thể?

Trả lời: Việc xây dựng mật độ Lagrangian thường dựa trên các nguyên tắc vật lý cơ bản và các đối xứng của hệ. Đầu tiên, xác định các trường vật lý liên quan đến hệ. Sau đó, xây dựng các đại lượng động học và thế năng của các trường này. Cuối cùng, kết hợp chúng lại để tạo thành mật độ Lagrangian, đảm bảo rằng nó phù hợp với các đối xứng của hệ. Ví dụ, đối với một hạt tự do trong cơ học cổ điển, động năng là $\frac{1}{2}mv^2$, và không có thế năng, do đó Lagrangian là $L = \frac{1}{2}mv^2$. Trong trường hợp trường vô hướng, ta tổng quát hóa điều này cho mật độ Lagrangian $\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) – V(\phi)$, với $V(\phi)$ là thế năng của trường.

Sự khác biệt giữa Lagrangian và mật độ Lagrangian là gì?

Trả lời: Lagrangian ($L$) là một hàm số của tọa độ tổng quát và vận tốc tổng quát, và nó mô tả toàn bộ hệ. Mật độ Lagrangian ($\mathcal{L}$) là một hàm số của các trường, đạo hàm của chúng, và tọa độ không-thời gian. Lagrangian được tính bằng cách tích phân mật độ Lagrangian trên toàn bộ không gian: $L = int d^3x \mathcal{L}$. Sự khác biệt này rất quan trọng khi xử lý các hệ có vô số bậc tự do, như các trường.

Tại sao định lý Noether lại quan trọng trong formalization Lagrangian?

Trả lời: Định lý Noether thiết lập một mối liên hệ cơ bản giữa đối xứng và định luật bảo toàn. Nó phát biểu rằng mỗi đối xứng liên tục của mật độ Lagrangian tương ứng với một định luật bảo toàn. Điều này cho phép chúng ta suy ra các định luật bảo toàn quan trọng như bảo toàn năng lượng, động lượng, và momen động lượng từ các đối xứng của hệ.

Làm thế nào để sử dụng mật độ Lagrangian trong lý thuyết trường lượng tử?

Trả lời: Trong lý thuyết trường lượng tử, mật độ Lagrangian được sử dụng để xây dựng tích phân đường Feynman. Tích phân đường là một tổng cộng trên tất cả các lịch sử có thể có của một hệ, được đánh trọng số bởi một thừa số phức $e^{i S/\hbar}$, trong đó $S$ là tác dụng và $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn. Tích phân đường cho phép chúng ta tính toán biên độ xác suất của các quá trình lượng tử.

Hạn chế của việc sử dụng mật độ Lagrangian là gì?

Trả lời: Mặc dù rất mạnh mẽ, phương pháp Lagrangian gặp khó khăn khi áp dụng cho các hệ thống tiêu tán năng lượng, tức là các hệ thống mà năng lượng không được bảo toàn. Trong những trường hợp này, các formalization khác như formalization Hamiltonian, hoặc các phương trình chuyển động trực tiếp, có thể phù hợp hơn. Ngoài ra, việc tìm mật độ Lagrangian cho các hệ phức tạp có thể là một thách thức.