Mô hình khí Fermi (Fermi gas model)

Các Giả thiết

Mô hình khí Fermi dựa trên một số giả thiết cơ bản sau:

• Không tương tác: Các hạt fermion trong mô hình được giả sử không tương tác với nhau, ngoại trừ việc chúng tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli. Điều này có nghĩa là năng lượng tổng cộng của hệ chỉ đơn giản là tổng năng lượng của từng hạt riêng lẻ. Tuy nhiên, trong thực tế, các fermion có thể tương tác với nhau, ví dụ như tương tác Coulomb giữa các electron. Việc bỏ qua tương tác này là một xấp xỉ, nhưng nó cho phép đơn giản hóa việc phân tích và vẫn đưa ra được những kết quả hữu ích.
• Giam cầm: Các hạt được giam cầm trong một thể tích xác định $V$. Thể tích này có thể là một hộp ba chiều, một mạng tinh thể, hoặc một vùng không gian xác định khác. Hình dạng của thể tích giam cầm có thể ảnh hưởng đến các tính chất của hệ.
• Nguyên lý loại trừ Pauli: Mỗi trạng thái lượng tử chỉ có thể bị chiếm bởi tối đa một fermion. Nguyên lý này là một đặc điểm cơ bản của các fermion và là yếu tố quyết định trong việc xác định phân bố năng lượng của các hạt trong hệ. Do nguyên lý loại trừ Pauli, các fermion bị buộc phải chiếm các mức năng lượng cao hơn ngay cả ở nhiệt độ không tuyệt đối, tạo nên áp suất suy biến.

Phân bố Fermi-Dirac

Ở nhiệt độ $T$, xác suất một trạng thái lượng tử có năng lượng $\epsilon$ bị chiếm bởi một fermion được cho bởi phân bố Fermi-Dirac:

$f(\epsilon) = \frac{1}{e^{(\epsilon – \mu)/k_BT} + 1}$

trong đó:

• $\mu$ là thế hóa học (chemical potential), đại lượng điều chỉnh số hạt tổng cộng trong hệ. Giá trị của $\mu$ phụ thuộc vào nhiệt độ và mật độ hạt.
• $k_B$ là hằng số Boltzmann.

Ở nhiệt độ không tuyệt đối ($T = 0$), phân bố Fermi-Dirac trở thành một hàm bước:

$f(\epsilon) = \begin{cases} 1, & \epsilon < \epsilon_F \ 0, & \epsilon > \epsilon_F \end{cases}$

trong đó $\epsilon_F$ là năng lượng Fermi, là năng lượng của trạng thái bị chiếm cao nhất ở $T=0$. Nói cách khác, ở nhiệt độ không tuyệt đối, tất cả các trạng thái có năng lượng nhỏ hơn năng lượng Fermi đều bị chiếm bởi các fermion, và các trạng thái có năng lượng lớn hơn đều trống.

Năng lượng Fermi

Năng lượng Fermi $\epsilon_F$ có thể được tính theo mật độ số hạt $n = N/V$ (với $N$ là tổng số hạt):

Đối với hệ ba chiều: $\epsilon_F = \frac{\hbar^2}{2m} (3\pi^2 n)^{2/3}$

trong đó:

• $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn.
• $m$ là khối lượng của fermion.

Năng lượng Fermi đại diện cho năng lượng động học tối đa của fermion trong hệ ở nhiệt độ không tuyệt đối.

Ứng dụng

Mô hình khí Fermi được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực vật lý, bao gồm:

• Electron trong kim loại: Mô hình này giúp giải thích các tính chất điện và nhiệt của kim loại, chẳng hạn như tính dẫn điện và nhiệt dung riêng. Mô hình khí Fermi giải thích tại sao kim loại có tính dẫn điện tốt, do sự tồn tại của các electron tự do gần mức Fermi.
• Sao lùn trắng: Áp suất thoái hóa electron, xuất phát từ nguyên lý loại trừ Pauli, ngăn cản sao lùn trắng sụp đổ dưới lực hấp dẫn. Khi một ngôi sao có khối lượng nhỏ đến trung bình cạn kiệt nhiên liệu, nó sẽ trở thành sao lùn trắng, được duy trì bởi áp suất thoái hóa electron.
• Sao neutron: Tương tự như sao lùn trắng, áp suất thoái hóa neutron giữ cho sao neutron ổn định. Sao neutron được hình thành từ sự sụp đổ của các ngôi sao có khối lượng lớn hơn, và được duy trì bởi áp suất thoái hóa neutron.
• Vật lý hạt nhân: Mô hình khí Fermi được sử dụng để mô tả các nucleon trong hạt nhân nguyên tử. Mô hình này giúp hiểu được cấu trúc và tính chất của hạt nhân.

Hạn chế

Mặc dù đơn giản và hữu ích, mô hình khí Fermi có những hạn chế nhất định:

• Bỏ qua tương tác: Việc bỏ qua tương tác giữa các fermion có thể không chính xác trong một số trường hợp. Ví dụ, trong kim loại, tương tác Coulomb giữa các electron có thể ảnh hưởng đáng kể đến tính chất của hệ.
• Giả thiết giam cầm: Mô hình giả sử các hạt bị giam cầm trong một thể tích xác định, điều này không phải lúc nào cũng đúng trong thực tế. Ví dụ, trong một số hệ, các hạt có thể di chuyển tự do trong không gian.

Mặc dù có những hạn chế, mô hình khí Fermi vẫn là một công cụ quan trọng để hiểu về hành vi của các hệ fermion và cung cấp một điểm khởi đầu tốt cho các mô hình phức tạp hơn.

Mật độ Trạng thái

Một khái niệm quan trọng trong mô hình khí Fermi là mật độ trạng thái $g(\epsilon)$, đại lượng này cho biết số trạng thái lượng tử có năng lượng nằm trong khoảng $\epsilon$ đến $\epsilon + d\epsilon$. Đối với hệ ba chiều, mật độ trạng thái được tính bằng:

$g(\epsilon) = \frac{V}{2\pi^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \epsilon^{1/2}$

Các đại lượng nhiệt động lực học

Từ phân bố Fermi-Dirac và mật độ trạng thái, ta có thể tính được các đại lượng nhiệt động lực học của hệ, ví dụ như năng lượng tổng cộng $U$, áp suất $P$, và entropy $S$.

• Năng lượng tổng cộng: $U = \int_0^\infty \epsilon f(\epsilon) g(\epsilon) d\epsilon$
• Áp suất: $P = -\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S,N}$. Ở nhiệt độ không tuyệt đối ($T=0$), áp suất được gọi là áp suất thoái hóa và được tính bằng: $P = \frac{2}{5} n \epsilon_F$. Áp suất thoái hóa này xuất hiện do nguyên lý loại trừ Pauli, ngay cả khi không có chuyển động nhiệt.
• Entropy: $S = -k_B \int_0^\infty [f(\epsilon) \ln f(\epsilon) + (1-f(\epsilon)) \ln(1-f(\epsilon))] g(\epsilon) d\epsilon$

Khí Fermi ở nhiệt độ thấp

Khi $T << T_F$ (với $T_F = \epsilon_F / k_B$ là nhiệt độ Fermi), nhiều tính chất của hệ có thể được xấp xỉ bằng cách khai triển theo chuỗi lũy thừa của $T/T_F$. Ví dụ, nhiệt dung riêng điện tử ở thể tích không đổi $C_V$ được cho bởi:

$C_V = \frac{\pi^2}{2} N k_B \frac{T}{T_F}$

Nhiệt độ Fermi $T_F$ là một đại lượng đặc trưng cho hệ Fermi, và thường rất cao đối với kim loại (hàng chục nghìn Kelvin). Do đó, ở nhiệt độ phòng, $T << T_F$, và nhiều tính chất của kim loại được quyết định bởi các electron gần mức Fermi.

Mô hình Khí Fermi tương tác yếu

Trong thực tế, các hạt fermion thường tương tác với nhau. Khi tương tác yếu, ta có thể xem xét ảnh hưởng của chúng bằng lý thuyết nhiễu loạn. Một ví dụ là tương tác Coulomb giữa các electron trong kim loại.

Ứng dụng nâng cao

Ngoài các ứng dụng đã đề cập, mô hình khí Fermi còn được sử dụng trong:

• Vật lý chất rắn: Nghiên cứu các hệ electron tương quan mạnh, siêu dẫn.
• Vật lý hạt nhân: Mô tả các tính chất của vật chất hạt nhân ở mật độ cao.
• Vũ trụ học: Nghiên cứu sao neutron và vật chất tối.

• Statistical Mechanics, R.K. Pathria and P.D. Beale, 3rd edition, Elsevier (2011).
• Introduction to Solid State Physics, Charles Kittel, 8th edition, Wiley (2004).
• Quantum Theory of Many-Particle Systems, Alexander L. Fetter and John Dirk Walecka, Dover Publications (2003).

Câu hỏi và Giải đáp

Mô hình khí Fermi giả sử các fermion không tương tác. Vậy điều gì xảy ra khi ta xét đến tương tác giữa các hạt?

Trả lời: Việc xét đến tương tác giữa các fermion làm cho mô hình phức tạp hơn đáng kể. Đối với tương tác yếu, ta có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn để tính toán các hiệu chỉnh cho các đại lượng vật lý. Tuy nhiên, đối với tương tác mạnh, cần sử dụng các phương pháp phức tạp hơn như lý thuyết trường lượng tử nhiều vật thể. Tương tác giữa các fermion có thể dẫn đến các hiện tượng mới như siêu dẫn, từ tính và các trạng thái vật chất kỳ lạ khác.

Làm thế nào để tính nhiệt dung riêng của khí Fermi ở nhiệt độ hữu hạn?

Trả lời: Nhiệt dung riêng ở thể tích không đổi $C_V$ được tính bằng đạo hàm của năng lượng trong theo nhiệt độ: $C_V = left(\frac{\partial U}{\partial T}right)_V$. Ở nhiệt độ thấp ($T << T_F$), $C_V$ tỷ lệ thuận với $T$, thể hiện sự đóng góp của các electron gần bề mặt Fermi. Việc tính toán $C_V$ ở nhiệt độ hữu hạn nói chung yêu cầu các tích phân số phức tạp.

Mô hình khí Fermi áp dụng như thế nào cho sao neutron, nơi các hạt tương tác mạnh với nhau thông qua lực hạt nhân mạnh?

Trả lời: Mặc dù lực hạt nhân mạnh rất mạnh, mô hình khí Fermi vẫn cung cấp một điểm khởi đầu hữu ích để hiểu về cấu trúc của sao neutron. Trong trường hợp này, ta xem neutron như một khí Fermi thoái hóa, chịu áp suất thoái hóa ngăn cản sự sụp đổ hấp dẫn. Tuy nhiên, để mô tả chính xác sao neutron, cần phải xét đến tương tác mạnh và các hiệu ứng tương đối tính.

Mật độ trạng thái $g(\epsilon)$ có ý nghĩa vật lý gì và tại sao nó quan trọng?

Trả lời: Mật độ trạng thái $g(\epsilon) d\epsilon$ cho biết số trạng thái lượng tử có năng lượng nằm trong khoảng từ $\epsilon$ đến $\epsilon + d\epsilon$. Đại lượng này rất quan trọng vì nó quyết định cách các fermion được phân bố theo năng lượng và đóng góp vào các đại lượng nhiệt động lực học của hệ. Ví dụ, nhiệt dung riêng tỷ lệ với mật độ trạng thái tại năng lượng Fermi.

Ngoài electron trong kim loại, sao lùn trắng và sao neutron, còn có ứng dụng nào khác của mô hình khí Fermi?

Trả lời: Mô hình khí Fermi còn được ứng dụng rộng rãi trong vật lý hạt nhân (mô tả nucleon trong hạt nhân), vật lý chất rắn (nghiên cứu kim loại và bán dẫn), và thậm chí trong vũ trụ học (nghiên cứu vật chất tối). Nó cũng là nền tảng cho việc phát triển các mô hình phức tạp hơn, xét đến tương tác giữa các hạt và các hiệu ứng lượng tử khác.