Mômen động lượng (Angular momentum)

Định nghĩa:

• Đối với chất điểm: Mômen động lượng của một chất điểm đối với một điểm O được định nghĩa là tích vectơ của vectơ vị trí $\vec{r}$ (từ điểm O đến chất điểm) và động lượng $\vec{p}$ của chất điểm:

$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$

Trong đó:

• $\vec{L}$ là vectơ mômen động lượng.
• $\vec{r}$ là vectơ vị trí.
• $\vec{p}$ là vectơ động lượng ($\vec{p} = m\vec{v}$, với $m$ là khối lượng và $\vec{v}$ là vận tốc của chất điểm).
• Đối với vật rắn: Mômen động lượng của một vật rắn quay quanh một trục cố định được tính bằng:

$L = I\omega$

Trong đó:

• $L$ là độ lớn mômen động lượng.
• $I$ là mômen quán tính của vật đối với trục quay.
• $\omega$ là tốc độ góc của vật.

Đơn vị

Đơn vị của mômen động lượng trong hệ SI là kg.m²/s.

Tính chất

• Vectơ: Mômen động lượng là một đại lượng vectơ, có cả độ lớn và hướng. Hướng của vectơ mômen động lượng được xác định theo quy tắc bàn tay phải khi đặt các ngón tay theo chiều quay của vật, ngón cái sẽ chỉ hướng của vectơ mômen động lượng.
• Bảo toàn: Trong một hệ kín (không có mômen lực ngoài tác dụng), tổng mômen động lượng của hệ được bảo toàn. Điều này có nghĩa là nếu mômen quán tính của vật thay đổi, tốc độ góc của vật cũng phải thay đổi để giữ cho mômen động lượng không đổi. Ví dụ: một vận động viên trượt băng thu tay lại (giảm mômen quán tính) sẽ quay nhanh hơn.
• Liên hệ với mômen lực: Tốc độ thay đổi mômen động lượng theo thời gian bằng mômen lực tác dụng lên vật:

$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt}$

Trong đó:

• $\vec{\tau}$ là vectơ mômen lực.

Ứng dụng

Mômen động lượng có nhiều ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật, bao gồm:

• Phân tích chuyển động quay: Mômen động lượng là công cụ quan trọng để phân tích chuyển động quay của các vật, từ các hạt cơ bản đến các thiên thể.
• Thiết kế con quay hồi chuyển: Con quay hồi chuyển hoạt động dựa trên nguyên lý bảo toàn mômen động lượng, được sử dụng trong la bàn, hệ thống dẫn đường và ổn định tàu thuyền, máy bay.
• Vật lý thiên văn: Mômen động lượng đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và tiến hóa của các sao, hành tinh và các thiên hà.

Ví dụ

Một ví dụ điển hình về bảo toàn mômen động lượng là người trượt băng. Khi người trượt băng dang rộng tay, mômen quán tính lớn, tốc độ góc nhỏ. Khi họ thu tay lại, mômen quán tính giảm, tốc độ góc tăng lên, khiến họ quay nhanh hơn.

Tóm lại, mômen động lượng là một đại lượng vật lý quan trọng miêu tả chuyển động quay. Tính chất bảo toàn của nó có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật.

Mômen động lượng trong hệ quy chiếu khác nhau

Việc tính toán mômen động lượng phụ thuộc vào điểm gốc của hệ quy chiếu. Mômen động lượng của cùng một vật có thể khác nhau khi được tính toán đối với các điểm gốc khác nhau. Nếu ta biết mômen động lượng $\vec{L}O$ của một hệ chất điểm đối với điểm O và muốn tính mômen động lượng $\vec{L}{O’}$ đối với điểm O’, ta có thể sử dụng công thức sau:

$\vec{L}_{O’} = \vec{L}O + \vec{r}{OO’} \times \vec{P}$

Trong đó:

• $\vec{r}_{OO’}$ là vectơ vị trí từ điểm O đến điểm O’.
• $\vec{P}$ là tổng động lượng của hệ chất điểm.

Mômen động lượng và năng lượng động học quay

Năng lượng động học quay của một vật rắn quay quanh một trục cố định có thể được biểu diễn theo mômen động lượng và tốc độ góc:

$K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{L^2}{2I}$

Trong đó:

• $K$ là năng lượng động học quay.

Mômen động lượng trong cơ học lượng tử

Trong cơ học lượng tử, mômen động lượng bị lượng tử hóa, nghĩa là nó chỉ có thể nhận những giá trị rời rạc. Mômen động lượng spin nội tại của các hạt cơ bản cũng là một dạng mômen động lượng, không liên quan đến chuyển động trong không gian.

Ví dụ nâng cao

Một ví dụ phức tạp hơn về bảo toàn mômen động lượng là sự precession của một con quay. Khi một con quay quay và bị tác dụng bởi một mômen lực (ví dụ như trọng lực), trục quay của nó sẽ không đổ xuống ngay lập tức mà thay vào đó sẽ quay quanh một trục thẳng đứng, tạo thành một hình nón. Hiện tượng này được gọi là precession và được giải thích bằng sự bảo toàn mômen động lượng.

Phân biệt giữa Mômen động lượng và Động lượng

Mặc dù có sự tương đồng, mômen động lượng và động lượng là hai đại lượng khác nhau. Động lượng miêu tả xu hướng của một vật tiếp tục chuyển động thẳng đều, trong khi mômen động lượng miêu tả xu hướng của một vật tiếp tục chuyển động quay. Động lượng phụ thuộc vào khối lượng và vận tốc, trong khi mômen động lượng phụ thuộc vào mômen quán tính và tốc độ góc (hoặc khối lượng, vận tốc và vị trí đối với chất điểm).

• Halliday, Resnick, and Walker. Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons.
• Serway and Jewett. Physics for Scientists and Engineers. Cengage Learning.
• Feynman, Leighton, and Sands. The Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesley.
• Marion, Thornton. Classical Dynamics of Particles and Systems. Brooks/Cole.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa mômen động lượng của một chất điểm và mômen động lượng của một vật rắn quay quanh một trục cố định là gì?

Trả lời: Mômen động lượng của một chất điểm được định nghĩa bằng tích vectơ của vectơ vị trí và động lượng: $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$. Nó phụ thuộc vào vị trí của chất điểm so với điểm gốc. Đối với vật rắn quay quanh trục cố định, mômen động lượng được tính bằng $L = I\omega$, trong đó $I$ là mômen quán tính và $\omega$ là tốc độ góc. Sự khác biệt chính nằm ở việc mômen động lượng của vật rắn được tính toán dựa trên sự phân bố khối lượng của nó (thể hiện qua mômen quán tính) và tốc độ quay, trong khi mômen động lượng của chất điểm phụ thuộc vào cả vị trí và động lượng tức thời của nó.

Làm thế nào để giải thích hiện tượng precession của con quay hồi chuyển bằng định luật bảo toàn mômen động lượng?

Trả lời: Khi một con quay đang quay và chịu tác dụng của một mômen lực (ví dụ, trọng lực), mômen lực này làm thay đổi hướng của vectơ mômen động lượng. Vì mômen lực vuông góc với mômen động lượng, nó không làm thay đổi độ lớn của mômen động lượng mà chỉ làm thay đổi hướng của nó. Sự thay đổi hướng này biểu hiện dưới dạng chuyển động quay của trục quay quanh một trục thẳng đứng, gọi là precession. Nếu không có mômen lực, con quay sẽ tiếp tục quay với trục quay cố định.

Mômen động lượng có liên quan gì đến định luật Kepler thứ hai về chuyển động của các hành tinh?

Trả lời: Định luật Kepler thứ hai, còn được gọi là định luật diện tích, phát biểu rằng đường nối giữa một hành tinh và Mặt Trời quét những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Điều này có thể được giải thích bằng bảo toàn mômen động lượng. Mômen động lượng của hành tinh đối với Mặt Trời là hằng số. Diện tích quét được bởi đường nối hành tinh-Mặt Trời tỷ lệ với mômen động lượng, do đó diện tích quét được trong những khoảng thời gian bằng nhau là bằng nhau.

Tại sao mômen động lượng lại bị lượng tử hóa trong cơ học lượng tử?

Trả lời: Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lý như năng lượng, động lượng và mômen động lượng thường bị lượng tử hóa, có nghĩa là chúng chỉ có thể nhận những giá trị rời rạc chứ không phải liên tục. Sự lượng tử hóa này là một hệ quả của tính chất sóng của vật chất và các điều kiện biên áp đặt lên hàm sóng. Đối với mômen động lượng, sự lượng tử hóa này thể hiện rõ nhất trong mômen động lượng quỹ đạo và mômen động lượng spin của các hạt.

Cho ví dụ về một hệ vật lý mà trong đó mômen động lượng không được bảo toàn.

Trả lời: Mômen động lượng không được bảo toàn khi có mômen lực ngoài tác dụng lên hệ. Một ví dụ đơn giản là một bánh xe đang quay chậm dần lại do ma sát. Lực ma sát tạo ra một mômen lực chống lại chuyển động quay, làm giảm mômen động lượng của bánh xe theo thời gian. Một ví dụ khác là một vật thể rơi trong không khí chịu tác dụng của lực cản. Lực cản tạo ra một mômen lực làm thay đổi mômen động lượng của vật thể.