Nguyên lý d’Alembert (d’Alembert’s principle)

Phát biểu:

Đối với một hệ các hạt, tổng của các lực tác dụng và lực quán tính tác dụng lên mỗi hạt, nhân với độ dịch chuyển ảo tương ứng của hạt, bằng không. Điều này có thể được biểu diễn bằng công thức:

$\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{F}_i – m_i\mathbf{a}_i) \cdot \delta\mathbf{r}_i = 0$

Trong đó:

• $\mathbf{F}_i$ là tổng các lực tác dụng lên hạt thứ $i$.
• $m_i$ là khối lượng của hạt thứ $i$.
• $\mathbf{a}_i$ là gia tốc của hạt thứ $i$.
• $\delta\mathbf{r}_i$ là độ dịch chuyển ảo của hạt thứ $i$.

Lưu ý: Độ dịch chuyển ảo là một độ dịch chuyển nhỏ, tức thời và tuân theo các ràng buộc của hệ. Nó khác với độ dịch chuyển thực tế mà hạt trải qua theo thời gian.

Công thức và Giải thích

Công thức của nguyên lý d’Alembert được biểu diễn như sau:

$\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{F}_i – m_i\mathbf{a}_i) \cdot \delta\mathbf{r}_i = 0$

Trong đó:

• $n$ là số hạt trong hệ.
• $\mathbf{F}_i$ là tổng các lực thực tác dụng lên hạt thứ $i$ (ngoại lực và nội lực).
• $m_i$ là khối lượng của hạt thứ $i$.
• $\mathbf{a}_i$ là gia tốc của hạt thứ $i$.
• $\delta\mathbf{r}_i$ là độ dịch chuyển ảo của hạt thứ $i$.

Giải thích các thành phần:

• Lực quán tính: $-m_i\mathbf{a}_i$ là lực quán tính, một lực “ảo” được đưa ra để cân bằng với lực thực tác dụng và gia tốc của hạt. Nó có cùng độ lớn nhưng ngược chiều với lực cần thiết để gây ra gia tốc $\mathbf{a}_i$. Việc đưa vào lực quán tính cho phép chúng ta xem xét bài toán động lực học như một bài toán tĩnh học, nơi tổng các lực (thực và ảo) bằng không.
• Độ dịch chuyển ảo: $\delta\mathbf{r}_i$ là một độ dịch chuyển nhỏ, tức thời và tương thích với các ràng buộc của hệ. Điều này có nghĩa là độ dịch chuyển ảo không vi phạm bất kỳ ràng buộc nào của hệ. Ví dụ, nếu một hạt bị ràng buộc di chuyển trên một bề mặt, thì độ dịch chuyển ảo của nó phải nằm trên tiếp tuyến của bề mặt đó. Lưu ý rằng độ dịch chuyển ảo không nhất thiết phải là độ dịch chuyển thực tế của hạt theo thời gian.

Ứng dụng

Nguyên lý d’Alembert được sử dụng rộng rãi trong cơ học cổ điển, đặc biệt là trong:

• Cơ học Lagrange: Nguyên lý d’Alembert là cơ sở để xây dựng phương trình Lagrange, một công cụ mạnh mẽ để phân tích hệ động lực học, đặc biệt là hệ có ràng buộc. Phương trình Lagrange cho phép chúng ta mô tả chuyển động của hệ mà không cần phải trực tiếp xét đến các lực ràng buộc.
• Cơ học của vật rắn: Nguyên lý d’Alembert giúp đơn giản hóa việc phân tích chuyển động của vật rắn, bao gồm cả chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến.
• Động lực học máy: Nguyên lý này được sử dụng để phân tích chuyển động của các hệ cơ khí phức tạp, như robot và máy móc. Nó cung cấp một phương pháp hiệu quả để mô hình hóa và mô phỏng chuyển động của các hệ này.

Ví dụ

Ví dụ đơn giản:

Xét một khối trượt trên mặt phẳng nghiêng không ma sát. Lực tác dụng lên khối là trọng lực. Áp dụng nguyên lý d’Alembert:

$(mg\sin\theta – ma)\delta r = 0$

Vì $\delta r$ là tùy ý và khác không, ta có:

$mg\sin\theta – ma = 0$

$a = g\sin\theta$

Đây chính là kết quả chúng ta mong đợi từ định luật II Newton.

So sánh với định luật II Newton:

Mặc dù nguyên lý d’Alembert tương đương với định luật II Newton, nhưng nó có một số lợi thế:

• Đơn giản hóa việc xử lý ràng buộc: Bằng cách sử dụng độ dịch chuyển ảo, chúng ta có thể loại bỏ lực ràng buộc khỏi phương trình.
• Dẫn đến các phương pháp tổng quát hơn: Nguyên lý d’Alembert là nền tảng cho các phương pháp mạnh mẽ hơn như phương trình Lagrange và Hamilton.

Ví dụ phức tạp hơn (con lắc đơn giản):

Xét một con lắc đơn giản với chiều dài $l$ và khối lượng $m$. Tọa độ tổng quát là góc $\theta$. Độ dịch chuyển ảo là $l\delta\theta$. Áp dụng nguyên lý d’Alembert:

$(-mg\sin\theta – ml\d\dot{\theta})l\delta\theta = 0$

Vì $\delta\theta$ là tùy ý và khác không, ta có:

$-mg\sin\theta – ml\d\dot{\theta} = 0$

$\d\dot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$

Đây chính là phương trình chuyển động của con lắc đơn giản.

Hạn chế của Nguyên lý d’Alembert

Mặc dù mạnh mẽ, nguyên lý d’Alembert cũng có một số hạn chế:

• Chỉ áp dụng cho các ràng buộc lý tưởng: Nguyên lý này giả định rằng các ràng buộc là lý tưởng, nghĩa là chúng không có ma sát và không làm mất năng lượng. Trong thực tế, hầu hết các ràng buộc đều có một mức độ ma sát nào đó.
• Độ dịch chuyển ảo có thể khó xác định: Trong các hệ phức tạp, việc xác định các độ dịch chuyển ảo tương thích với tất cả các ràng buộc có thể khó khăn.
• Không trực tiếp cung cấp thông tin về lực ràng buộc: Mặc dù nguyên lý d’Alembert cho phép ta bỏ qua lực ràng buộc trong phương trình chuyển động, nhưng nó không trực tiếp cung cấp thông tin về độ lớn của các lực này. Để tìm lực ràng buộc, cần phải sử dụng các phương pháp khác.

Mối liên hệ với Công ảo

Nguyên lý d’Alembert có liên quan chặt chẽ với nguyên lý công ảo. Công ảo của lực quán tính là:

$\delta WI = -\sum{i=1}^{n} m_i\mathbf{a}_i \cdot \delta\mathbf{r}_i$

Nguyên lý d’Alembert có thể được viết lại dưới dạng:

$\delta W – \delta W_I = 0$

hoặc

$\delta W = \delta W_I$

Trong đó $\delta W$ là công ảo của các lực tác dụng. Điều này có nghĩa là công ảo thực hiện bởi các lực tác dụng bằng công ảo thực hiện bởi lực quán tính.

Phương trình Lagrange từ nguyên lý d’Alembert

Phương trình Lagrange, một công cụ mạnh mẽ trong cơ học phân tích, có thể được suy ra từ nguyên lý d’Alembert. Việc suy ra này liên quan đến việc biểu diễn độ dịch chuyển ảo theo các tọa độ tổng quát và vận tốc tổng quát, và sử dụng phép tính biến phân. Kết quả là một tập hợp các phương trình vi phân bậc hai mô tả chuyển động của hệ. Việc sử dụng phương trình Lagrange thường đơn giản hơn so với việc áp dụng trực tiếp định luật II Newton, đặc biệt là trong các hệ có ràng buộc.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa việc áp dụng định luật II Newton trực tiếp và sử dụng nguyên lý d’Alembert để giải quyết bài toán động lực học là gì?

Trả lời: Định luật II Newton yêu cầu ta xét tất cả các lực tác dụng lên một vật, bao gồm cả lực ràng buộc, thường khó xác định. Nguyên lý d’Alembert cho phép ta bỏ qua lực ràng buộc bằng cách đưa ra khái niệm lực quán tính và sử dụng độ dịch chuyển ảo tương thích với các ràng buộc. Điều này đơn giản hóa việc phân tích, đặc biệt là trong các hệ phức tạp.

Độ dịch chuyển ảo $\delta\vec{r}$ khác với độ dịch chuyển thực $\Delta\vec{r}$ như thế nào?

Trả lời: Độ dịch chuyển ảo $\delta\vec{r}$ là một độ dịch chuyển nhỏ, tức thời và tương thích với các ràng buộc của hệ. Nó không nhất thiết phải là độ dịch chuyển thực tế của hạt. Trong khi đó, $\Delta\vec{r}$ là độ dịch chuyển thực tế của hạt trong một khoảng thời gian hữu hạn.

Làm thế nào để áp dụng nguyên lý d’Alembert cho một hệ có nhiều hơn một bậc tự do?

Trả lời: Đối với hệ có $n$ bậc tự do, ta cần chọn $n$ tọa độ tổng quát độc lập. Sau đó, ta biểu diễn độ dịch chuyển ảo $\delta\vec{r}i$ theo các tọa độ tổng quát này và áp dụng nguyên lý d’Alembert: $\sum{i=1}^{N} (\vec{F}_i – m_i\vec{a}_i) \cdot \delta\vec{r}_i = 0$. Điều này sẽ dẫn đến $n$ phương trình chuyển động độc lập.

Nguyên lý d’Alembert có áp dụng được cho các hệ phi bảo toàn (có ma sát) không? Nếu có, cần điều chỉnh như thế nào?

Trả lời: Nguyên lý d’Alembert ở dạng cơ bản giả định các ràng buộc lý tưởng (không ma sát). Đối với hệ phi bảo toàn, ta cần bổ sung công ảo của lực ma sát vào phương trình: $\sum_{i=1}^{n} (\vec{F}_i – m_i\vec{a}i + \vec{F}{mi}) \cdot \delta\vec{r}i = 0$, trong đó $\vec{F}{mi}$ là lực ma sát tác dụng lên hạt thứ $i$.

Mối liên hệ giữa nguyên lý d’Alembert và phương trình Lagrange là gì?

Trả lời: Phương trình Lagrange, một công cụ mạnh mẽ trong cơ học phân tích, có thể được suy ra từ nguyên lý d’Alembert. Việc suy ra này liên quan đến việc biểu diễn độ dịch chuyển ảo và gia tốc theo các tọa độ tổng quát và vận tốc tổng quát, và sử dụng phép tính biến phân. Phương trình Lagrange cung cấp một cách tiếp cận hệ thống và hiệu quả để phân tích chuyển động của các hệ phức tạp.