Nguyên lý hành động tối thiểu (Principle of least action)

Định nghĩa Hành Động (S)

Hành động (ký hiệu là S) là một đại lượng vật lý có thứ nguyên của năng lượng nhân với thời gian (joule-giây trong hệ SI). Nó được định nghĩa là tích phân của Lagrangian (L) theo thời gian giữa hai thời điểm t₁ và t₂:

$S = \int_{t_1}^{t_2} L dt$

Lagrangian (L) là một hàm của tọa độ tổng quát, vận tốc tổng quát và thời gian, được định nghĩa là hiệu giữa động năng (T) và thế năng (V) của hệ: $L = T – V$. Việc tìm cực trị của hành động $S$ dẫn đến các phương trình Euler-Lagrange, một tập hợp các phương trình vi phân mô tả chuyển động của hệ. Do đó, thay vì sử dụng định luật II Newton, ta có thể sử dụng nguyên lý hành động tối thiểu để suy ra các phương trình chuyển động.

Lagrangian (L)

Lagrangian (L) của một hệ thống là hiệu giữa động năng (T) và thế năng (V) của hệ:

$L = T – V$

Cả động năng và thế năng đều được biểu diễn dưới dạng các tọa độ suy rộng $q_i$ và vận tốc suy rộng $\dot{q}_i$. Việc lựa chọn tọa độ suy rộng phù hợp có thể đơn giản hóa đáng kể việc tính toán Lagrangian và áp dụng nguyên lý hành động tối thiểu.

Phương trình Euler-Lagrange

Nguyên lý hành động tối thiểu phát biểu rằng quỹ đạo thực tế của hệ thống sẽ làm cho hành động đạt cực trị. Điều này dẫn đến các phương trình Euler-Lagrange, là tập hợp các phương trình vi phân mô tả chuyển động của hệ thống:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) – \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

Trong đó:

• $q_i$ là tọa độ suy rộng thứ i của hệ.
• $\dot{q}_i$ là đạo hàm thời gian của $q_i$ (vận tốc suy rộng).

Các phương trình Euler-Lagrange cung cấp một phương pháp mạnh mẽ để tìm ra phương trình chuyển động mà không cần phải sử dụng trực tiếp định luật II Newton.

Ý nghĩa và Ứng dụng

Nguyên lý hành động tối thiểu có ý nghĩa sâu sắc trong vật lý:

• Tính tổng quát: Nó cung cấp một khuôn khổ chung để mô tả chuyển động của các hệ thống vật lý, từ cơ học cổ điển đến thuyết tương đối và lý thuyết trường lượng tử. Nó áp dụng được cho cả hệ thống có ràng buộc và hệ thống không có ràng buộc.
• Tính đối xứng và định luật bảo toàn: Các đối xứng của Lagrangian dẫn đến các định luật bảo toàn thông qua định lý Noether. Ví dụ, sự bất biến của Lagrangian theo thời gian dẫn đến định luật bảo toàn năng lượng. Tương tự, sự bất biến theo các tọa độ suy rộng khác có thể dẫn đến bảo toàn động lượng, mô men động lượng, v.v.
• Đơn giản hóa việc giải quyết bài toán: Trong nhiều trường hợp, việc sử dụng phương pháp Lagrangian và nguyên lý hành động tối thiểu đơn giản hơn so với việc sử dụng các định luật Newton trực tiếp, đặc biệt là đối với các hệ phức tạp với nhiều bậc tự do hoặc ràng buộc. Nó cho phép ta làm việc với các tọa độ suy rộng phù hợp với bài toán, thay vì phải làm việc với hệ tọa độ Descartes.

Ví dụ

Xét một vật rơi tự do trong trường trọng lực. Động năng là $T = \frac{1}{2}m\dot{y}^2$ và thế năng là $V = mgy$, với $y$ là độ cao của vật so với mặt đất. Lagrangian là:

$L = \frac{1}{2}m\dot{y}^2 – mgy$

Áp dụng phương trình Euler-Lagrange, ta được:

$\frac{d}{dt}(m\dot{y}) – (-mg) = 0$

$m\d\dot{y} + mg = 0$

$\d\dot{y} = -g$

Đây chính là phương trình quen thuộc của chuyển động rơi tự do. Lưu ý rằng $\d\dot{y}$ là gia tốc của vật theo phương $y$.

Hạn chế

Nguyên lý hành động tối thiểu không thể áp dụng trực tiếp cho các hệ thống tiêu tán năng lượng do ma sát hoặc các lực không bảo toàn khác. Trong những trường hợp này, cần phải sửa đổi Lagrangian bằng cách thêm vào các thành phần phi bảo toàn hoặc sử dụng các phương pháp khác. Ví dụ, có thể thêm các lực ma sát vào phương trình Euler-Lagrange bằng cách sử dụng lực suy rộng.

Hành động trong Thuyết Tương Đối

Trong thuyết tương đối hẹp, hành động của một hạt tự do được cho bởi:

$S = -mc\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 – \frac{v^2}{c^2}} dt$

Trong đó:

• $m$ là khối lượng nghỉ của hạt.
• $c$ là tốc độ ánh sáng.
• $v$ là vận tốc của hạt.

Công thức này thể hiện sự khác biệt so với cơ học cổ điển ở tốc độ cao, khi $v$ tiệm cận $c$.

Hành động trong Lý thuyết Trường Lượng tử

Trong lý thuyết trường lượng tử, hành động được viết dưới dạng tích phân trên toàn bộ không-thời gian của mật độ Lagrangian ($\mathcal{L}$):

$S = \int \mathcal{L} d^4x$

Mật độ Lagrangian chứa thông tin về các trường và tương tác của chúng. Ví dụ, trong điện động lực học lượng tử, mật độ Lagrangian bao gồm các trường điện từ và trường Dirac của electron.

Nguyên lý Hành động Tối thiểu và Cơ học Lượng tử

Trong cơ học lượng tử, tích phân đường Feynman cung cấp một cách diễn đạt khác của nguyên lý hành động tối thiểu. Biên độ xác suất cho một hạt đi từ điểm A đến điểm B được cho bởi tổng của các đóng góp từ tất cả các đường đi có thể có giữa hai điểm đó, với mỗi đường đi được gán một pha tỉ lệ với hành động của đường đi đó:

$\langle x_f, t_f | x_i, t_i \rangle = \int \mathcal{D}x(t) e^{\frac{i}{\hbar}S[x(t)]}$

Trong đó:

• $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn.
• $S[x(t)]$ là hành động của đường đi $x(t)$.

So sánh với Phương pháp Newton

Trong khi phương pháp Newton dựa trên việc xem xét các lực tác dụng lên một vật, phương pháp Lagrangian và nguyên lý hành động tối thiểu tập trung vào năng lượng của hệ thống. Phương pháp Lagrangian thường thuận tiện hơn khi xử lý các hệ thống phức tạp với nhiều ràng buộc hoặc tọa độ suy rộng.

Các biến thể của nguyên lý hành động

Có một số biến thể của nguyên lý hành động, bao gồm nguyên lý Maupertuis, tập trung vào việc tối thiểu hóa năng lượng của hệ thống cho một đường đi cố định.

Câu hỏi và Giải đáp

Làm thế nào để áp dụng nguyên lý hành động tối thiểu cho một hệ có ràng buộc, ví dụ như một con lắc đơn?

Trả lời: Đối với hệ có ràng buộc, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Ràng buộc được biểu diễn bằng phương trình $\phi(q_i, t) = 0$. Lagrangian mới được định nghĩa là $L’ = L + \lambda \phi$, với $\lambda$ là nhân tử Lagrange. Sau đó, ta áp dụng phương trình Euler-Lagrange cho Lagrangian $L’$ và giải hệ phương trình kết hợp với phương trình ràng buộc để tìm quỹ đạo của hệ.

Nguyên lý hành động tối thiểu có liên quan gì đến khái niệm entropy trong nhiệt động lực học?

Trả lời: Mặc dù trông có vẻ khác biệt, cả nguyên lý hành động tối thiểu và nguyên lý entropy cực đại đều thể hiện một dạng “tối ưu hóa” trong tự nhiên. Nguyên lý hành động tối thiểu tìm kiếm quỹ đạo với hành động cực trị, trong khi nguyên lý entropy cực đại tìm kiếm trạng thái cân bằng với entropy cực đại. Tuy nhiên, chúng mô tả các hiện tượng vật lý khác nhau và không có mối liên hệ trực tiếp về mặt toán học.

Tại sao hành động được định nghĩa là tích phân của Lagrangian theo thời gian, chứ không phải là một đại lượng khác?

Trả lời: Việc định nghĩa hành động là tích phân của Lagrangian theo thời gian đảm bảo rằng nguyên lý hành động tối thiểu dẫn đến các phương trình Euler-Lagrange, mô tả chính xác chuyển động của hệ thống. Đây là một kết quả của phép tính biến phân. Nếu hành động được định nghĩa khác đi, nó sẽ không dẫn đến các phương trình chuyển động đúng.

Làm thế nào để mở rộng nguyên lý hành động tối thiểu cho các hệ có lực không bảo toàn, ví dụ như ma sát?

Trả lời: Đối với hệ có lực không bảo toàn, nguyên lý hành động tối thiểu ở dạng chuẩn không áp dụng trực tiếp. Có một số cách để xử lý các lực không bảo toàn, bao gồm việc sửa đổi Lagrangian bằng cách thêm các hạng bổ sung hoặc sử dụng các phương trình Lagrange dạng tiêu tán.

Tích phân đường Feynman có ý nghĩa vật lý như thế nào và nó khác gì so với cách hiểu cổ điển về quỹ đạo?

Trả lời: Tích phân đường Feynman thể hiện ý tưởng rằng một hạt lượng tử không đi theo một quỹ đạo xác định duy nhất mà “khám phá” tất cả các đường đi có thể có giữa hai điểm. Biên độ xác suất cho một hạt đi từ điểm A đến điểm B được tính bằng cách tổng hợp đóng góp từ tất cả các đường đi, mỗi đường đi được gán một pha $e^{\frac{i}{\hbar}S}$. Điều này khác với cơ học cổ điển, nơi hạt chỉ đi theo một quỹ đạo duy nhất xác định bởi nguyên lý hành động tối thiểu.