Phương trình Euler-Lagrange (Euler-Lagrange equation)

Hàm tác dụng (Action)

Trong cơ học cổ điển, hàm tác dụng (ký hiệu là S) được định nghĩa là tích phân của Lagrangian (L) theo thời gian giữa hai thời điểm t₁ và t₂:

$S = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt$

Lagrangian (L) thường được biểu diễn dưới dạng hiệu của động năng (T) và thế năng (V) của hệ:

$L = T – V$

Nguyên lý tác dụng tối thiểu (Principle of least action) phát biểu rằng quỹ đạo thực tế của một hệ thống vật lý giữa hai trạng thái được xác định bởi việc cực tiểu hóa hàm tác dụng. Nói cách khác, hệ thống sẽ “chọn” quỹ đạo sao cho hàm tác dụng đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc trong một số trường hợp, lớn nhất). Phương trình Euler-Lagrange chính là công cụ toán học để tìm ra quỹ đạo này.

Phương trình Euler-Lagrange

Phương trình Euler-Lagrange cung cấp điều kiện cần để hàm tác dụng đạt cực trị. Đối với một hệ có n bậc tự do, với các tọa độ tổng quát $q_i(t)$ (i = 1, 2, …, n) và đạo hàm theo thời gian của chúng $\dot{q}_i(t)$, phương trình Euler-Lagrange được viết là:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) – \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$ (với i = 1, 2, …, n)

Ý nghĩa vật lý

Trong cơ học cổ điển, phương trình Euler-Lagrange tương đương với các định luật Newton về chuyển động. Nó cung cấp một cách tiếp cận tổng quát và hiệu quả hơn để giải quyết các bài toán cơ học, đặc biệt là đối với các hệ phức tạp. Phương trình này thể hiện nguyên lý tác dụng tối thiểu, nghĩa là hệ thống sẽ di chuyển theo quỹ đạo làm cho hàm tác dụng đạt cực tiểu.

Ví dụ: Con lắc đơn

Xét một con lắc đơn chiều dài l và khối lượng m. Tọa độ tổng quát là góc lệch $\theta(t)$. Động năng và thế năng của con lắc được cho bởi:

$T = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2$

$V = -mgl \cos\theta$

Lagrangian của hệ là:

$L = T – V = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + mgl \cos\theta$

Áp dụng phương trình Euler-Lagrange:

$\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) – \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$

$\frac{d}{dt} (ml^2 \dot{\theta}) + mgl \sin\theta = 0$

$ml^2 \d\dot{\theta} + mgl \sin\theta = 0$

$\d\dot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0$

Đây chính là phương trình vi phân điều khiển chuyển động của con lắc đơn.

Ưu điểm của phương pháp Lagrange: Phương pháp sử dụng Lagrangian và phương trình Euler-Lagrange thường đơn giản hơn so với việc áp dụng trực tiếp các định luật Newton, đặc biệt là cho các hệ có ràng buộc hoặc nhiều bậc tự do. Việc biểu diễn hệ thống thông qua Lagrangian cho phép ta tập trung vào năng lượng của hệ thay vì phải xét từng lực tác dụng.

Các dạng mở rộng của phương trình Euler-Lagrange

Phương trình Euler-Lagrange cơ bản, như đã trình bày ở trên, có thể được mở rộng cho các trường hợp phức tạp hơn.

• Đạo hàm bậc cao: Nếu Lagrangian phụ thuộc vào các đạo hàm bậc cao hơn của $q_i$, ví dụ $\d\dot{q}_i$, phương trình Euler-Lagrange trở thành:

$\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{d^k}{dt^k} \left( \frac{\partial L}{\partial q_i^{(k)}} \right) = 0$

với $q_i^{(k)}$ là đạo hàm bậc k của $q_i$ theo thời gian.

• Nhiều biến độc lập: Nếu Lagrangian phụ thuộc vào nhiều biến độc lập, ví dụ $L(x, y, u, u_x, u_y)$ với $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ và $u_y = \frac{\partial u}{\partial y}$, phương trình Euler-Lagrange trở thành:

$\frac{\partial L}{\partial u} – \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial L}{\partial u_x}\right) – \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial L}{\partial u_y}\right) = 0$

• Ràng buộc: Khi hệ có ràng buộc, ta có thể sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị của hàm tác dụng. Nếu ràng buộc được biểu diễn dưới dạng $\phi(q_1, q_2, …, q_n) = 0$, Lagrangian mở rộng được viết là:

$L’ = L + \lambda \phi$

với $\lambda$ là nhân tử Lagrange. Phương trình Euler-Lagrange cho $L’$ sẽ bao gồm cả phương trình ràng buộc.

Ứng dụng trong các lĩnh vực khác

Ngoài cơ học cổ điển, phương trình Euler-Lagrange còn được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác, bao gồm:

• Quang học: Nguyên lý Fermat, phát biểu rằng ánh sáng di chuyển theo đường đi tốn thời gian ngắn nhất, có thể được biểu diễn dưới dạng một bài toán biến phân và giải bằng phương trình Euler-Lagrange.
• Lý thuyết trường: Phương trình Euler-Lagrange được sử dụng để tìm các phương trình chuyển động của các trường, ví dụ như trường điện từ hay trường hấp dẫn. Mật độ Lagrangian được sử dụng thay cho Lagrangian thông thường.
• Kinh tế học: Trong kinh tế học, phương trình Euler-Lagrange được sử dụng trong các mô hình tối ưu hóa, ví dụ như mô hình tăng trưởng kinh tế. Nó giúp xác định các quyết định tối ưu theo thời gian.

• Classical Mechanics by Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr., and John L. Safko
• Mathematics for Classical Mechanics by John V. Jose and Eugene J. Saletan
• Calculus of Variations by I. M. Gelfand and S. V. Fomin

Câu hỏi và Giải đáp

Phương trình Euler-Lagrange có thể được áp dụng cho các hệ có lực ma sát không? Nếu có, làm thế nào?

Trả lời: Phương trình Euler-Lagrange ở dạng cơ bản không trực tiếp xử lý được lực ma sát. Lực ma sát là một lực không bảo toàn, nghĩa là công của lực ma sát phụ thuộc vào đường đi. Tuy nhiên, ta có thể mở rộng phương pháp Lagrangian bằng cách thêm các hàm Rayleigh (Rayleigh dissipation function) để mô tả lực ma sát. Hàm Rayleigh, ký hiệu là R, thường được biểu diễn dưới dạng $R = \frac{1}{2} \sum_i c_i \dot{q}_i^2$, với $c_i$ là hệ số ma sát. Phương trình Euler-Lagrange được sửa đổi thành:

$\frac{d}{dt} left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} right) – \frac{\partial L}{\partial q_i} + \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_i} = 0$

Nếu Lagrangian phụ thuộc vào thời gian một cách tường minh, điều gì sẽ thay đổi trong phương trình Euler-Lagrange?

Trả lời: Phương trình Euler-Lagrange vẫn giữ nguyên dạng. Việc Lagrangian phụ thuộc vào thời gian một cách tường minh không làm thay đổi dạng của phương trình, nhưng nó ảnh hưởng đến kết quả tính toán và có thể dẫn đến việc năng lượng của hệ không được bảo toàn.

Làm thế nào để áp dụng phương trình Euler-Lagrange cho một hệ có ràng buộc holonomic?

Trả lời: Ràng buộc holonomic là ràng buộc có thể được biểu diễn dưới dạng một phương trình đại số liên hệ các tọa độ tổng quát. Ta có thể sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Nếu ràng buộc được cho bởi $\phi(q_1, q_2, …, q_n, t) = 0$, ta xây dựng Lagrangian mở rộng $L’ = L + \lambda \phi$, với $\lambda$ là nhân tử Lagrange. Sau đó, áp dụng phương trình Euler-Lagrange cho $L’$ và phương trình ràng buộc $\phi = 0$ để giải tìm các $q_i$ và $\lambda$.

Mối liên hệ giữa phương trình Euler-Lagrange và nguyên lý tác dụng tối thiểu là gì?

Trả lời: Phương trình Euler-Lagrange là điều kiện cần để hàm tác dụng đạt cực trị (cực tiểu hoặc cực đại). Nguyên lý tác dụng tối thiểu phát biểu rằng quỹ đạo thực tế của một hệ vật lý là quỹ đạo làm cho hàm tác dụng đạt cực tiểu. Do đó, phương trình Euler-Lagrange cung cấp công cụ toán học để tìm ra quỹ đạo thỏa mãn nguyên lý tác dụng tối thiểu.

Tại sao việc sử dụng phương pháp Lagrangian thường thuận lợi hơn so với việc áp dụng trực tiếp định luật II Newton?

Trả lời: Phương pháp Lagrangian có một số ưu điểm so với phương pháp Newton. Đầu tiên, nó dựa trên các đại lượng vô hướng (Lagrangian và hàm tác dụng) thay vì các đại lượng vectơ (lực và gia tốc), giúp đơn giản hóa việc tính toán. Thứ hai, nó xử lý các ràng buộc holonomic một cách dễ dàng hơn thông qua phương pháp nhân tử Lagrange. Cuối cùng, nó cung cấp một cái nhìn tổng quát hơn về cơ học và dễ dàng mở rộng sang các lĩnh vực khác như lý thuyết trường.