Phương trình Hamilton (Hamilton’s equations)

1. Định nghĩa:

Phương trình Hamilton được cho bởi:

$ \frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i} $

$ \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i} $

Trong đó:

• $q_i$ là các tọa độ suy rộng (generalized coordinates) mô tả vị trí của hệ.
• $p_i$ là các động lượng suy rộng (generalized momenta) liên hợp với các tọa độ $q_i$.
• $t$ là thời gian.
• $H = H(q_1, …, q_n, p_1, …, p_n, t)$ là hàm Hamiltonian, đại diện cho tổng năng lượng của hệ, là hàm của các tọa độ suy rộng, động lượng suy rộng, và có thể phụ thuộc vào thời gian. Nếu $H$ không phụ thuộc tường minh vào thời gian, hệ được gọi là hệ tự trị (autonomous system).
• $n$ là số bậc tự do của hệ.
• $\frac{\partial}{\partial x}$ biểu thị đạo hàm riêng theo biến $x$.

Lưu ý rằng mỗi bậc tự do $i$ tương ứng với một cặp phương trình Hamilton. Do đó, một hệ có $n$ bậc tự do sẽ được mô tả bởi $2n$ phương trình vi phân bậc nhất.

2. Ý nghĩa vật lý:

• Phương trình đầu tiên $ \frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p_i} $ mô tả cách tọa độ suy rộng thay đổi theo thời gian, tỷ lệ với đạo hàm riêng của Hamiltonian theo động lượng suy rộng tương ứng. Nó cho biết “vận tốc suy rộng” của hệ.
• Phương trình thứ hai $ \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q_i} $ mô tả cách động lượng suy rộng thay đổi theo thời gian, tỷ lệ với đạo hàm riêng của Hamiltonian theo tọa độ suy rộng tương ứng, nhưng với dấu âm. Nó tương tự như định luật 2 Newton, thể hiện “lực suy rộng” tác động lên hệ thống.

3. Hamiltonian:

Hamiltonian thường được biểu diễn dưới dạng tổng của động năng ($T$) và thế năng ($V$) của hệ:

$ H = T + V $

Trong nhiều trường hợp, động năng có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của động lượng suy rộng, và thế năng được biểu diễn dưới dạng hàm của tọa độ suy rộng. Khi đó, Hamiltonian trở thành hàm của $q_i$ và $p_i$. Ví dụ, đối với một hạt có khối lượng $m$ chuyển động trong trường thế $V(q)$, Hamiltonian có dạng:

$H = \frac{p^2}{2m} + V(q)$

4. Ưu điểm của phương trình Hamilton:

• Cung cấp một cái nhìn tổng quan và thanh lịch hơn về động lực học của hệ thống, đặc biệt là cho các hệ phức tạp. Việc sử dụng tọa độ và động lượng suy rộng cho phép mô tả hệ thống một cách hiệu quả hơn.
• Dễ dàng áp dụng cho các biến đổi tọa độ, cho phép đơn giản hóa việc giải quyết các bài toán cơ học. Đặc biệt, phương pháp biến đổi chính tắc (canonical transformations) có thể được sử dụng để tìm các tọa độ mới giúp đơn giản hóa phương trình Hamilton.
• Là nền tảng cho nhiều lĩnh vực vật lý khác, bao gồm cơ học thống kê, cơ học lượng tử và lý thuyết trường lượng tử. Cơ học Hamilton cung cấp một cầu nối tự nhiên giữa cơ học cổ điển và cơ học lượng tử.

5. Ví dụ:

Xét một con lắc đơn với chiều dài $l$ và khối lượng $m$. Tọa độ suy rộng là góc $\theta$, và động lượng suy rộng là $p_\theta = ml^2 \dot{\theta}$. Hamiltonian của hệ là:

$ H = \frac{p_\theta^2}{2ml^2} + mgl(1 – \cos\theta) $

Phương trình Hamilton là:

$ \frac{d\theta}{dt} = \frac{p_\theta}{ml^2} $

$ \frac{dp_\theta}{dt} = -mgl\sin\theta $

6. Vai trò của phương trình Hamilton:

Phương trình Hamilton là một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu động lực học của các hệ vật lý. Chúng cung cấp một công thức thay thế cho các định luật Newton và thường thuận tiện hơn cho việc phân tích các hệ thống phức tạp. Sự hiểu biết về phương trình Hamilton là cần thiết cho việc nghiên cứu sâu hơn về cơ học cổ điển và các lĩnh vực vật lý liên quan khác.

7. Bảo toàn năng lượng:

Nếu Hamiltonian không phụ thuộc tường minh vào thời gian (tức là $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$), thì năng lượng của hệ được bảo toàn. Điều này có thể được chứng minh bằng cách lấy đạo hàm của Hamiltonian theo thời gian:

$\frac{dH}{dt} = \sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{dq_i}{dt} + \frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{dp_i}{dt} \right) + \frac{\partial H}{\partial t}$

Thay phương trình Hamilton vào, ta được:

$\frac{dH}{dt} = \sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} \frac{\partial H}{\partial p_i} – \frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i} \right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t}$

Vậy nếu $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$, thì $\frac{dH}{dt} = 0$, nghĩa là $H$ là một hằng số theo thời gian, hay năng lượng được bảo toàn.

8. Mối liên hệ với cơ học Lagrange:

Phương trình Hamilton có thể được suy ra từ phương trình Lagrange bằng một phép biến đổi Legendre. Phương trình Lagrange được cho bởi:

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) – \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$

Trong đó $L(q_i, \dot{q_i}, t)$ là hàm Lagrange, thường bằng hiệu của động năng và thế năng ($L = T – V$). Động lượng suy rộng được định nghĩa là:

$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$

Hamiltonian được định nghĩa thông qua biến đổi Legendre:

$H = \sum_i p_i \dot{q_i} – L$

Từ đây, có thể suy ra phương trình Hamilton.

9. Ứng dụng trong cơ học lượng tử:

Phương trình Hamilton đóng vai trò quan trọng trong việc chuyển đổi từ cơ học cổ điển sang cơ học lượng tử. Trong cơ học lượng tử, các tọa độ và động lượng suy rộng được thay thế bằng các toán tử, và Hamiltonian trở thành toán tử Hamiltonian. Phương trình Schrödinger, phương trình cơ bản của cơ học lượng tử, có thể được viết dưới dạng:

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi$

Trong đó $\hat{H}$ là toán tử Hamiltonian, $\psi$ là hàm sóng, và $\hbar$ là hằng số Planck rút gọn. Nguyên lý tương ứng (correspondence principle) chỉ ra rằng trong giới hạn cổ điển, toán tử Hamiltonian trở về hàm Hamiltonian cổ điển.

• Classical Mechanics, Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko (3rd Edition).
• Mechanics, L.D. Landau and E.M. Lifshitz (Course of Theoretical Physics, Volume 1).
• Introduction to Classical Mechanics: With Problems and Solutions, David Morin.

Câu hỏi và Giải đáp

Phương trình Hamilton có ưu điểm gì so với định luật II Newton ($F=ma$) trong việc mô tả chuyển động của hệ vật lý?

Trả lời: Định luật II Newton làm việc trực tiếp với lực và gia tốc, thường phức tạp khi xử lý hệ nhiều hạt hoặc ràng buộc. Phương trình Hamilton sử dụng năng lượng (Hamiltonian) và không gian pha, cho phép tiếp cận tổng quát hơn, dễ dàng xử lý các hệ phức tạp, biến đổi hệ tọa độ và là cầu nối sang cơ học lượng tử.

Làm thế nào để xác định động lượng suy rộng ($p_i$) cho một hệ cụ thể?

Trả lời: Động lượng suy rộng được định nghĩa là đạo hàm riêng của hàm Lagrange ($L$) theo vận tốc suy rộng ($\dot{q_i}$): $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$. Hàm Lagrange được định nghĩa là hiệu của động năng ($T$) và thế năng ($V$): $L = T – V$.

Nếu Hamiltonian phụ thuộc tường minh vào thời gian (tức là $\frac{\partial H}{\partial t} \neq 0$), điều gì xảy ra với năng lượng của hệ?

Trả lời: Nếu Hamiltonian phụ thuộc tường minh vào thời gian, năng lượng của hệ không được bảo toàn. Như đã chứng minh ở phần 7, $\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t}$. Nếu $\frac{\partial H}{\partial t} \neq 0$, thì $\frac{dH}{dt} \neq 0$, nghĩa là năng lượng của hệ thay đổi theo thời gian.

Không gian pha là gì và tại sao nó lại quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình Hamilton?

Trả lời: Không gian pha là một không gian đa chiều, trong đó mỗi chiều tương ứng với một tọa độ suy rộng ($q_i$) hoặc một động lượng suy rộng ($p_i$). Mỗi điểm trong không gian pha đại diện cho một trạng thái của hệ. Phương trình Hamilton mô tả sự di chuyển của điểm đại diện này trong không gian pha, cung cấp một bức tranh hình học về sự tiến hóa của hệ.

Làm thế nào để chuyển từ phương trình Hamilton sang phương trình Schrödinger trong cơ học lượng tử?

Trả lời: Việc chuyển đổi này được thực hiện bằng cách thay thế các tọa độ suy rộng ($q_i$) và động lượng suy rộng ($p_i$) bằng các toán tử tương ứng ($\hat{q_i}$ và $\hat{p_i}$) thỏa mãn mối quan hệ giao hoán chính tắc: $[\hat{q_i}, \hat{pj}] = i\hbar\delta{ij}$. Hamiltonian cổ điển $H(q_i, p_i)$ được thay thế bằng toán tử Hamiltonian $\hat{H}(\hat{q_i}, \hat{p_i})$. Phương trình Schrödinger sau đó được viết là $i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi$.