Phương trình Maxwell (Maxwell’s equations)

Bốn phương trình Maxwell (dạng vi phân) là:

1. Định luật Gauss cho điện trường: Mô tả mối quan hệ giữa điện thông qua một mặt kín và tổng điện tích nằm bên trong mặt đó. Nó phát biểu rằng điện trường được tạo ra bởi điện tích.$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$Trong đó:
   • $\nabla \cdot \mathbf{E}$ là divergence của điện trường $\mathbf{E}$.
   • $\rho$ là mật độ điện tích thể tích.
   • $\epsilon_0$ là hằng số điện môi của chân không.
2. Định luật Gauss cho từ trường: Mô tả tính chất không tồn tại đơn cực từ. Tổng từ thông qua một mặt kín luôn bằng không.$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$Trong đó:
   • $\nabla \cdot \mathbf{B}$ là divergence của từ trường $\mathbf{B}$.
3. Định luật Faraday về cảm ứng điện từ: Mô tả sự tạo ra điện trường bởi từ trường biến thiên theo thời gian. Sự biến thiên của từ thông qua một vòng kín sẽ tạo ra một điện trường xoáy (hay còn gọi là trường điện cảm ứng) dọc theo vòng kín đó.$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$Trong đó:
   • $\nabla \times \mathbf{E}$ là rotation của điện trường $\mathbf{E}$.
   • $\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ là đạo hàm riêng của từ trường $\mathbf{B}$ theo thời gian $t$.
4. Định luật Ampère-Maxwell: Mô tả sự tạo ra từ trường bởi dòng điện và điện trường biến thiên theo thời gian. Đây là phiên bản tổng quát của định luật Ampère, được Maxwell bổ sung thêm thành phần dòng điện dịch.$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$Trong đó:
   • $\nabla \times \mathbf{B}$ là rotation của từ trường $\mathbf{B}$.
   • $\mu_0$ là hằng số từ thẩm của chân không.
   • $\mathbf{J}$ là mật độ dòng điện.
   • $\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ là dòng điện dịch.

Ý nghĩa và ứng dụng

Phương trình Maxwell có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong vật lý và kỹ thuật. Chúng là nền tảng cho việc hiểu và ứng dụng các hiện tượng điện từ trong đời sống, ví dụ như:

• Truyền sóng điện từ: Phương trình Maxwell dự đoán sự tồn tại của sóng điện từ, bao gồm sóng radio, vi sóng, ánh sáng, tia X và tia gamma.
• Thiết kế các thiết bị điện tử: Từ điện thoại di động, máy tính, đến các hệ thống radar và vệ tinh đều dựa trên nguyên tắc của phương trình Maxwell.
• Nghiên cứu về quang học: Phương trình Maxwell là cơ sở cho việc nghiên cứu về sự tương tác giữa ánh sáng và vật chất.
• Phát triển công nghệ năng lượng: Phương trình Maxwell được sử dụng trong việc thiết kế các máy phát điện, động cơ điện và các hệ thống truyền tải điện năng.

Tóm lại, phương trình Maxwell là một bộ công cụ mạnh mẽ giúp chúng ta hiểu và khai thác sức mạnh của điện từ học, đóng góp to lớn vào sự phát triển của khoa học và công nghệ hiện đại.

Dạng tích phân của phương trình Maxwell

Ngoài dạng vi phân, phương trình Maxwell còn có thể được biểu diễn dưới dạng tích phân, sử dụng định lý Stokes và định lý Gauss:

1. Định luật Gauss cho điện trường (dạng tích phân):
   $\oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{Q}{\epsilon_0}$Trong đó:
   • $\oint_S $ là tích phân mặt kín trên mặt S.
   • $\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$ là điện thông qua phần tử diện tích $d\mathbf{A}$.
   • $Q$ là tổng điện tích nằm bên trong mặt S.
2. Định luật Gauss cho từ trường (dạng tích phân):$\oint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A} = 0$
3. Định luật Faraday (dạng tích phân):$\oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt} \int_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}$Trong đó:
   • $\oint_C$ là tích phân đường theo đường cong kín C.
   • $\int_S$ là tích phân mặt trên mặt S giới hạn bởi đường cong C.
4. Định luật Ampère-Maxwell (dạng tích phân):$\oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$Trong đó:
   • $I$ là dòng điện đi qua mặt S.

Sóng điện từ

Một trong những hệ quả quan trọng nhất của phương trình Maxwell là sự dự đoán về sự tồn tại của sóng điện từ. Bằng cách kết hợp các phương trình, Maxwell đã tìm ra phương trình sóng cho cả điện trường và từ trường, chứng minh rằng chúng lan truyền trong không gian với tốc độ ánh sáng $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$. Sóng điện từ là sóng ngang, với điện trường và từ trường dao động vuông góc với nhau và vuông góc với hướng lan truyền.

Các trường hợp đặc biệt

Phương trình Maxwell có thể được đơn giản hóa trong một số trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như:

• Tĩnh điện: Khi không có dòng điện và điện tích không thay đổi theo thời gian, phương trình Maxwell rút gọn thành định luật Coulomb và định luật Gauss cho tĩnh điện. Trong trường hợp này, điện trường và từ trường không phụ thuộc lẫn nhau.
• Tĩnh từ: Khi không có điện trường biến thiên và dòng điện không đổi theo thời gian, phương trình Maxwell rút gọn thành định luật Biot-Savart và định luật Gauss cho tĩnh từ. Tương tự như tĩnh điện, điện trường và từ trường không liên quan đến nhau trong trường hợp này.

• David J. Griffiths, “Introduction to Electrodynamics”, 4th Edition, Pearson, 2013.
• John R. Reitz, Frederick J. Milford, Robert W. Christy, “Foundations of Electromagnetic Theory”, 4th Edition, Addison-Wesley, 1993.
• Edward M. Purcell, David J. Morin, “Electricity and Magnetism”, 3rd Edition, Cambridge University Press, 2013.

Câu hỏi và Giải đáp

Phương trình Maxwell được biểu diễn dưới dạng vi phân và tích phân. Sự khác biệt giữa hai dạng này là gì và khi nào nên sử dụng dạng nào?

Trả lời: Dạng vi phân của phương trình Maxwell mô tả mối quan hệ giữa các trường tại một điểm trong không gian, trong khi dạng tích phân mô tả mối quan hệ giữa các trường trên một vùng không gian hoặc một bề mặt. Dạng vi phân thường được sử dụng khi mật độ điện tích và dòng điện được biết đến, trong khi dạng tích phân hữu ích khi tổng điện tích và dòng điện được biết đến. Ví dụ, khi xét điện trường của một điện tích điểm, ta thường dùng dạng vi phân. Khi xét điện thông qua một mặt Gauss bao quanh một phân bố điện tích, ta dùng dạng tích phân.

Dòng điện dịch $ \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $ trong định luật Ampère-Maxwell có ý nghĩa vật lý như thế nào?

Trả lời: Dòng điện dịch, mặc dù không phải là dòng điện do chuyển động của các điện tích, nhưng nó có vai trò tương tự dòng điện trong việc tạo ra từ trường. Nó đại diện cho sự biến thiên của điện trường theo thời gian. Sự xuất hiện của dòng điện dịch đảm bảo tính đối xứng giữa điện trường và từ trường, và là yếu tố quan trọng để giải thích sự lan truyền của sóng điện từ. Nếu không có dòng điện dịch, sóng điện từ sẽ không tồn tại.

Làm thế nào để từ phương trình Maxwell suy ra phương trình sóng điện từ?

Trả lời: Bằng cách áp dụng toán tử rot lên cả hai vế của định luật Faraday và định luật Ampère-Maxwell, kết hợp với đẳng thức vectơ $ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) – \nabla^2 \mathbf{A} $ và giả sử trong chân không ($ \rho = 0 $, $ \mathbf{J} = 0 $), ta có thể thu được phương trình sóng cho điện trường và từ trường:

$ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $

$ \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $

Các phương trình này có dạng của phương trình sóng, với tốc độ lan truyền $ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} $, chính là tốc độ ánh sáng.

Tại sao phương trình Maxwell lại quan trọng đối với thuyết tương đối hẹp?

Trả lời: Phương trình Maxwell bất biến dưới phép biến đổi Lorentz, có nghĩa là chúng giữ nguyên dạng khi chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính khác nhau. Điều này mâu thuẫn với các phép biến đổi Galilei của cơ học cổ điển. Thuyết tương đối hẹp của Einstein được xây dựng dựa trên nguyên lý bất biến của tốc độ ánh sáng, mà chính phương trình Maxwell đã tiên đoán. Do đó, phương trình Maxwell phù hợp với thuyết tương đối và đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của lý thuyết này.

Ngoài việc mô tả sóng điện từ, phương trình Maxwell còn có ứng dụng gì khác trong khoa học và kỹ thuật?

Trả lời: Phương trình Maxwell là nền tảng cho rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật, bao gồm:

• Thiết kế và phân tích các mạch điện và thiết bị điện tử.
• Nghiên cứu về quang học, tương tác giữa ánh sáng và vật chất.
• Phát triển công nghệ viễn thông, như anten, radar, và hệ thống truyền thông vệ tinh.
• Nghiên cứu về plasma và vật lý hạt nhân.
• Mô phỏng các hiện tượng điện từ trong các hệ thống phức tạp.