Phương trình Navier-Stokes (Navier-Stokes equations)

Nội dung:

Phương trình Navier-Stokes thể hiện định luật bảo toàn động lượng và khối lượng cho chất lỏng. Dạng tổng quát của phương trình cho chất lỏng Newton (chất lỏng có độ nhớt không đổi theo tốc độ biến dạng) là:

• Phương trình bảo toàn động lượng:

$ \rho (\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f}$

• Phương trình bảo toàn khối lượng (Phương trình liên tục):

$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0 $

Trong đó:

• $ \rho $: mật độ chất lỏng (kg/m³).
• $ \mathbf{u} $: trường vận tốc của chất lỏng (m/s), là một vectơ với các thành phần u, v, w theo các hướng x, y, z.
• $ t $: thời gian (s).
• $ p $: áp suất (Pa).
• $ \mu $: độ nhớt động học (Pa.s).
• $ \nabla $: toán tử nabla, biểu diễn gradient, divergence, và Laplacian.
• $ \nabla^2 $: toán tử Laplace.
• $ \mathbf{f} $: lực ngoài tác dụng lên chất lỏng (N/m³), ví dụ như trọng lực.

Các dạng đơn giản hóa

Phương trình Navier-Stokes ở dạng tổng quát rất phức tạp và khó giải chính xác. Vì vậy, người ta thường sử dụng các dạng đơn giản hóa tùy thuộc vào bài toán cụ thể:

• Dòng chảy không nén được (Incompressible flow): Mật độ chất lỏng được giả sử là hằng số. Phương trình liên tục trở thành: $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$.
• Dòng chảy tĩnh (Steady flow): Các đại lượng không thay đổi theo thời gian. $\frac{\partial}{\partial t} = 0$.
• Dòng chảy phi nhớt (Inviscid flow): Độ nhớt được bỏ qua. $\mu = 0$. Phương trình này được gọi là phương trình Euler.

Ý nghĩa các thành phần

• $\rho \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}$: gia tốc cục bộ, biểu diễn sự thay đổi vận tốc theo thời gian tại một điểm cố định.
• $\rho (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$: gia tốc đối lưu, biểu diễn sự thay đổi vận tốc do chất lỏng di chuyển từ vùng này sang vùng khác.
• $-\nabla p$: lực do chênh lệch áp suất.
• $\mu \nabla^2 \mathbf{u}$: lực nhớt, biểu diễn ma sát nội tại của chất lỏng.

Bài toán thiên niên kỷ

Việc tìm ra lời giải tổng quát cho phương trình Navier-Stokes là một trong bảy bài toán thiên niên kỷ của Viện Toán học Clay. Cho đến nay, vẫn chưa có ai tìm ra được lời giải này. Việc chứng minh sự tồn tại và tính trơn của nghiệm cho phương trình Navier-Stokes ba chiều vẫn là một thách thức lớn đối với các nhà toán học.

Ứng dụng

Phương trình Navier-Stokes có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, bao gồm:

• Dự báo thời tiết
• Thiết kế máy bay và tàu thủy
• Mô phỏng dòng chảy trong đường ống
• Nghiên cứu dòng chảy máu
• Kỹ thuật dầu khí
• Và nhiều ứng dụng khác…

Phương pháp giải

Do tính phi tuyến và phức tạp của phương trình Navier-Stokes, việc tìm ra nghiệm giải tích (nghiệm chính xác) thường rất khó, chỉ có thể thực hiện được trong một số trường hợp đơn giản hóa. Vì vậy, các phương pháp số (numerical methods) thường được sử dụng để giải xấp xỉ phương trình này. Một số phương pháp phổ biến bao gồm:

• Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method – FDM): Chia miền tính toán thành lưới các điểm rời rạc và xấp xỉ các đạo hàm bằng sai phân.
• Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM): Chia miền tính toán thành các phần tử nhỏ và xấp xỉ nghiệm trên mỗi phần tử.
• Phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method – FVM): Tích phân phương trình trên các thể tích kiểm soát nhỏ.
• Phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method – BEM): Biến đổi phương trình thành tích phân biên và chỉ cần chia lưới trên biên của miền tính toán.

Số Reynolds (Reynolds number)

Số Reynolds (Re) là một đại lượng không thứ nguyên quan trọng trong cơ học chất lỏng, được định nghĩa là tỷ số giữa lực quán tính và lực nhớt:

$ Re = \frac{\rho U L}{\mu} $

Trong đó:

• $U$: vận tốc đặc trưng của dòng chảy (m/s)
• $L$: chiều dài đặc trưng (m)

Số Reynolds giúp phân loại dòng chảy thành dòng chảy tầng (laminar flow) và dòng chảy rối (turbulent flow). Dòng chảy tầng xảy ra khi Re nhỏ, dòng chảy trơn tru và có trật tự. Dòng chảy rối xảy ra khi Re lớn, dòng chảy hỗn loạn và không đều.

Ví dụ ứng dụng

• Mô phỏng dòng chảy quanh cánh máy bay: Phương trình Navier-Stokes được sử dụng để tính toán lực nâng và lực cản tác dụng lên cánh máy bay, từ đó tối ưu hóa thiết kế cánh.
• Dự báo thời tiết: Phương trình Navier-Stokes được sử dụng trong các mô hình dự báo thời tiết để mô phỏng chuyển động của không khí và dự đoán các hiện tượng thời tiết như mưa, gió, bão.
• Thiết kế hệ thống ống dẫn: Phương trình Navier-Stokes giúp tính toán áp suất và lưu lượng trong hệ thống ống dẫn, từ đó tối ưu hóa thiết kế hệ thống.

Hạn chế

Mặc dù có ứng dụng rộng rãi, phương trình Navier-Stokes vẫn có một số hạn chế:

• Độ phức tạp: Phương trình Navier-Stokes rất phức tạp và khó giải chính xác, đặc biệt là trong trường hợp dòng chảy rối.
• Giả định chất lỏng Newton: Phương trình Navier-Stokes chỉ áp dụng cho chất lỏng Newton. Đối với chất lỏng phi Newton, cần sử dụng các mô hình phức tạp hơn.

• Batchelor, G. K. (2000). An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press.
• White, F. M. (2006). Viscous fluid flow. McGraw-Hill.
• Anderson, J. D. (2017). Fundamentals of aerodynamics. McGraw-Hill Education.
• Tritton, D. J. (1988). Physical fluid dynamics. Oxford science publications.
• Chorin, A. J., & Marsden, J. E. (2000). A mathematical introduction to fluid mechanics. Springer.

Câu hỏi và Giải đáp

Sự khác biệt chính giữa phương trình Navier-Stokes và phương trình Euler là gì?

Trả lời: Phương trình Euler là một dạng đặc biệt của phương trình Navier-Stokes khi bỏ qua độ nhớt ($\mu = 0$). Do đó, phương trình Euler mô tả dòng chảy phi nhớt, trong khi phương trình Navier-Stokes mô tả dòng chảy nhớt. Sự khác biệt này rất quan trọng vì hầu hết các chất lỏng thực tế đều có độ nhớt.

Tại sao bài toán chứng minh sự tồn tại và trơn của nghiệm cho phương trình Navier-Stokes 3 chiều lại khó đến vậy?

Trả lời: Độ khó của bài toán này xuất phát từ tính phi tuyến của phương trình. Thành phần $(\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u}$ trong phương trình bảo toàn động lượng tạo ra sự tương tác phức tạp giữa các thành phần vận tốc, khiến việc phân tích toán học trở nên rất khó khăn. Chưa có ai tìm ra được một phương pháp chung để kiểm soát sự phát triển của nghiệm theo thời gian và chứng minh rằng nghiệm luôn tồn tại và trơn.

Số Reynolds ảnh hưởng đến việc lựa chọn phương pháp giải số như thế nào?

Trả lời: Số Reynolds quyết định chế độ dòng chảy (tầng hay rối). Đối với dòng chảy tầng (Re nhỏ), các phương pháp số đơn giản hơn có thể cho kết quả chính xác. Tuy nhiên, đối với dòng chảy rối (Re lớn), cần sử dụng các phương pháp phức tạp hơn và lưới tính toán dày đặc hơn để nắm bắt được các cấu trúc xoáy phức tạp.

Ngoài trọng lực, hãy cho ví dụ về các lực ngoài $\mathbf{f}$ khác có thể tác dụng lên chất lỏng trong phương trình Navier-Stokes.

Trả lời: Lực ngoài $\mathbf{f}$ có thể bao gồm lực điện từ (trong trường hợp chất lỏng dẫn điện), lực Coriolis (trong các hệ quy chiếu quay), lực nổi (do chênh lệch mật độ), lực bề mặt (do sức căng bề mặt), và các lực khác tùy thuộc vào bài toán cụ thể.

Làm thế nào để đơn giản hóa phương trình Navier-Stokes cho dòng chảy không nén được và tĩnh?

Trả lời: Đối với dòng chảy không nén được, phương trình liên tục được đơn giản hóa thành $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$. Đối với dòng chảy tĩnh, các đạo hàm theo thời gian bằng 0, tức là $\frac{\partial}{\partial t} = 0$. Kết hợp cả hai điều kiện này, phương trình Navier-Stokes được đơn giản hóa thành:

$ \rho (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{f} $

và

$ \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 $